狀態空間分析法的主要特點及其應用

摘 要：利用狀態空間分析法結構動力響應問題，根據結構動力學方程，引入系統的狀態變量，建立狀態方程，并給出非奇次狀態方程的解。對于求解矩陣函數有多種解法。對結構動力響應建立了計算格式，并在文末給出了數值算例，其計算結果表明，狀態空間分析結構動力響應，其精度好，效率高，是一種非常有效的方法。

關鍵詞：狀態空間分析法；結構動力響應；狀態方程

1 狀態空間分析法的主要特點

狀態空間分析法可解決多輸入、多輸出、多變量的系統問題，且系統可以是線性的或非線性的，定常的與時變的，集中參數的或分布參數的，也可以是連續型或離散型的。由于借助計算機，整個過程在時間域內可實時控制，對設計性能指標可或得最優控制。由于它的突出特點，不但在國防工業尖端部門，也在其他一些部門獲得迅速的應用。近10多年來，狀態空間法開始在建筑、路橋、水利、機械、環境等工程領域活躍起來。

應用狀態空間理論進行的結構的動力分析具有精度高的特點。近年來，現代控制論中的狀態空間理論逐步應用到固體力學、復合材料力學、彈性力學等力學領域中，使這些學科獲得了新的活力和發展前景。特別是利用狀態空間理論對建筑結構的動力問題的研究獲得了很大的成功，為新技術的應用奠定了理論基礎。在用狀態空間發分析系統時，系統的動態特性是由狀態變量構成的一階微分方程組來描述的，它能反應系統的全部獨立變量的變換，從而能同時確定系統的全部內部運動狀態，而且還可以方便地處理初始條件。這樣，在設計控制系統時，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，因而可以應用于非線性系統、時變系統、多輸入—多輸出系統以及隨機過程等。狀態空間理論在結構動力問題中的應用涉及了很多方面，主要集中在結構動力特性、結構動態響應和結構的主動控制等三個方面。一個用n階微分方程描述的系統，就有n個獨立變量，當把它寫成狀態方程的話，那么這個狀態方程將能完全地描述系統的運動，只要確定了任一時刻的狀態變量，就能知道結構在任一時刻的狀態。而用傳統的微分方程進行描述的話，某些內部的中間變量將不便加以描述，因而不能包括系統的所有信息，這有著其分析動力問題的不足之處。狀態方程形式簡單、規范，任何階的運動微分方程都可化為形式如的狀態方程。特別提出的是，數學中微分方程數值計算的標準式子和狀態方程的標準形式十分相近，這就為把數值計算應用到狀態方程求解中來提供了極大的方便，有利于結構動力問題的計算機模擬和計算。狀態方程的系統矩陣包括了內部狀態的全部聯系。一個系統矩陣就決定了該系統的動力特性，不像微分方程那樣，它的動力特性是有剛度矩陣、質量矩陣、阻尼矩陣三者所決定的，這就為用系統矩陣分析結構的動力特性提供了方便。

總之利用傳統的方法分析結構動力問題有其天生的局限性，如果不添加新鮮血液的話，那么它的發展空間終究有限。把狀態理論應用到結構動力問題的研究中來，正是針對其局限性，開辟了一條新的道路。可見，利用狀態空間理論研究結構動力問題有著重大的意義。

2 方程的建立及其解法

結構在地震、風等作用下的動態響應一直是人們研究的課題之一。因為建筑結構，特別是高層結構的自由度非常多，且地震、風等載荷是高度非線性的，想要用傳統的二階微分運動方程直接求解是不可能的，即使是使用數值求解，也必須進行一些假設，而且計算十分繁瑣和復雜。在這方面，把建筑結構用狀態空間變量描述寫成狀態空間方程，其形式簡單、規范，為直接求解提供了可能，且利于計算機數值計算。在這些方面，已經有一些人進行了研究，如基于狀態空間理論的多量樣條元法和迭代法等。這些方法在數學方面有現成的成果，理論研究成熟，為結構的動態分析提供了一條廣闊的道路。

結構的動力響應分析是一個多自由度系統問題，由于狀態方程具有可分離的數學結構，因此比傳統的方法優越。特別對于多激勵輸入與輸出，狀態空間法有明顯的優越性。它不僅可以求解多變量問題，還能擴大解題范圍。對于結構承受動力載荷作用時，其動力方程為：

式（3）為結構動力響應分析的狀態方程。狀態方程是描述一個動態過程，并可用一階微分方程組來表示。不論系統多么復雜，狀態空間的描述總是具有像式（3）這種統一簡潔的形式。并可用多種分析技術在計算機上進行數值計算。根據狀態空間理論，狀態方程的解答為（5）；（5）式中：；

。有2n個動力響應量，即n個位移響應量與n個速度響應

量。

參考文獻

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作者簡介

方未（1991-），湖北人，碩士研究生，研究方向：機械監測與故障診斷。