狀態(tài)空間分析法的主要特點及其應用

摘 要：利用狀態(tài)空間分析法結構動力響應問題，根據(jù)結構動力學方程，引入系統(tǒng)的狀態(tài)變量，建立狀態(tài)方程，并給出非奇次狀態(tài)方程的解。對于求解矩陣函數(shù)有多種解法。對結構動力響應建立了計算格式，并在文末給出了數(shù)值算例，其計算結果表明，狀態(tài)空間分析結構動力響應，其精度好，效率高，是一種非常有效的方法。

關鍵詞：狀態(tài)空間分析法；結構動力響應；狀態(tài)方程

1 狀態(tài)空間分析法的主要特點

狀態(tài)空間分析法可解決多輸入、多輸出、多變量的系統(tǒng)問題，且系統(tǒng)可以是線性的或非線性的，定常的與時變的，集中參數(shù)的或分布參數(shù)的，也可以是連續(xù)型或離散型的。由于借助計算機，整個過程在時間域內可實時控制，對設計性能指標可或得最優(yōu)控制。由于它的突出特點，不但在國防工業(yè)尖端部門，也在其他一些部門獲得迅速的應用。近10多年來，狀態(tài)空間法開始在建筑、路橋、水利、機械、環(huán)境等工程領域活躍起來。

應用狀態(tài)空間理論進行的結構的動力分析具有精度高的特點。近年來，現(xiàn)代控制論中的狀態(tài)空間理論逐步應用到固體力學、復合材料力學、彈性力學等力學領域中，使這些學科獲得了新的活力和發(fā)展前景。特別是利用狀態(tài)空間理論對建筑結構的動力問題的研究獲得了很大的成功，為新技術的應用奠定了理論基礎。在用狀態(tài)空間發(fā)分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是由狀態(tài)變量構成的一階微分方程組來描述的，它能反應系統(tǒng)的全部獨立變量的變換，從而能同時確定系統(tǒng)的全部內部運動狀態(tài)，而且還可以方便地處理初始條件。這樣，在設計控制系統(tǒng)時，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，因而可以應用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、多輸入—多輸出系統(tǒng)以及隨機過程等。狀態(tài)空間理論在結構動力問題中的應用涉及了很多方面，主要集中在結構動力特性、結構動態(tài)響應和結構的主動控制等三個方面。一個用n階微分方程描述的系統(tǒng)，就有n個獨立變量，當把它寫成狀態(tài)方程的話，那么這個狀態(tài)方程將能完全地描述系統(tǒng)的運動，只要確定了任一時刻的狀態(tài)變量，就能知道結構在任一時刻的狀態(tài)。而用傳統(tǒng)的微分方程進行描述的話，某些內部的中間變量將不便加以描述，因而不能包括系統(tǒng)的所有信息，這有著其分析動力問題的不足之處。狀態(tài)方程形式簡單、規(guī)范，任何階的運動微分方程都可化為形式如的狀態(tài)方程。特別提出的是，數(shù)學中微分方程數(shù)值計算的標準式子和狀態(tài)方程的標準形式十分相近，這就為把數(shù)值計算應用到狀態(tài)方程求解中來提供了極大的方便，有利于結構動力問題的計算機模擬和計算。狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣包括了內部狀態(tài)的全部聯(lián)系。一個系統(tǒng)矩陣就決定了該系統(tǒng)的動力特性，不像微分方程那樣，它的動力特性是有剛度矩陣、質量矩陣、阻尼矩陣三者所決定的，這就為用系統(tǒng)矩陣分析結構的動力特性提供了方便。

總之利用傳統(tǒng)的方法分析結構動力問題有其天生的局限性，如果不添加新鮮血液的話，那么它的發(fā)展空間終究有限。把狀態(tài)理論應用到結構動力問題的研究中來，正是針對其局限性，開辟了一條新的道路。可見，利用狀態(tài)空間理論研究結構動力問題有著重大的意義。

2 方程的建立及其解法

結構在地震、風等作用下的動態(tài)響應一直是人們研究的課題之一。因為建筑結構，特別是高層結構的自由度非常多，且地震、風等載荷是高度非線性的，想要用傳統(tǒng)的二階微分運動方程直接求解是不可能的，即使是使用數(shù)值求解，也必須進行一些假設，而且計算十分繁瑣和復雜。在這方面，把建筑結構用狀態(tài)空間變量描述寫成狀態(tài)空間方程，其形式簡單、規(guī)范，為直接求解提供了可能，且利于計算機數(shù)值計算。在這些方面，已經(jīng)有一些人進行了研究，如基于狀態(tài)空間理論的多量樣條元法和迭代法等。這些方法在數(shù)學方面有現(xiàn)成的成果，理論研究成熟，為結構的動態(tài)分析提供了一條廣闊的道路。

結構的動力響應分析是一個多自由度系統(tǒng)問題，由于狀態(tài)方程具有可分離的數(shù)學結構，因此比傳統(tǒng)的方法優(yōu)越。特別對于多激勵輸入與輸出，狀態(tài)空間法有明顯的優(yōu)越性。它不僅可以求解多變量問題，還能擴大解題范圍。對于結構承受動力載荷作用時，其動力方程為：

式（3）為結構動力響應分析的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程是描述一個動態(tài)過程，并可用一階微分方程組來表示。不論系統(tǒng)多么復雜，狀態(tài)空間的描述總是具有像式（3）這種統(tǒng)一簡潔的形式。并可用多種分析技術在計算機上進行數(shù)值計算。根據(jù)狀態(tài)空間理論，狀態(tài)方程的解答為（5）；（5）式中：；

。有2n個動力響應量，即n個位移響應量與n個速度響應

量。

參考文獻

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作者簡介

方未（1991-），湖北人，碩士研究生，研究方向：機械監(jiān)測與故障診斷。