基本不等式中幾種常見題型剖析

董文娟

摘 要： 不等式在高考試題中占有非常重要的地位，與其他數學知識存在密切聯系，在近幾年的高考中是考查熱門。如何用好基本不等式，學生需要理解并掌握三個原則：一正二定三相等，并能在解題中靈活運用，特別是“等”的檢驗.

關鍵詞： 基本不等式 最值 定值 構造

近年基本不等式在求函數的最值、求參數范圍的過程中頻頻出現，且形式靈活，是重點；指對不等式、絕對值不等式、含參不等式成為小題中的考查熱點；函數導數綜合題中不等式結合參數討論是永恒的主題，包括在圓錐曲線中不等式也是無處不在.根據新課標的要求，本節重點是應用數形結合的思想方法理解基本不等式，并能從不同的角度探索基本不等式的證明過程，難點主要是讓學生明白如何運用基本不等式求最值.下面結合課本中的例題及課后習題，給出以下幾種常見題型的解析.

一、直接利用基本不等式求解最值

例1：已知x>0，y>0，且2x+5y=20，求lgx+lgy的最大值.

思路分析：由于lgx+lgy=lgxy，因此只需尋找xy的最大值即可.

解：∵x>0，y>0，由基本不等式可得2x+5y≥2■，

∴xy≤10，當且僅當x=y=■時取到等號.

∵lgx+lgy=lgxy≤lg10=1，∴lgx+lgy的最大值為1.

變式1：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

思路分析：由基本不等式ab≤（■）■，可知2xy≤（■）■，因此x+2y+2xy=8可構造出關于x+2y的二次不等式.

解：∵2xy≤（■）■，∴x+2y+2xy≤（x+2y）+（■）■，

即（x+2y）+（■）■≥8.又∵x>0，y>0，解得x+2y≥4，當且僅當x=2y，即x=2，y=1，∴x+2y的最小值為4.

二、構造和或積為定值，再利用不等式求解最值

例2：已知0

思路分析：由基本不等式ab≤（■）■可知，需構造某個和為定值，可考慮把括號內外x的系數變成互為相反數.

解：∵00.

∴y=x（1-3x）=■·3x（1-3x）≤■[■]■=■，

當且僅當3x=1-3x，即x=■時，等號成立.∴x=■時，函數取得最大值■.

變式1：當x>-1時，求f（x）=x+■的最小值.

思路分析：因為x>-1可得x+1>0，變x=x+1-1時構造出x+1與■的積為常數.

解：∵x>-1，∴x+1>0.∴f（x）=x+■=x+1+■-1≥2■-1=1.

當且僅當x+1=■，即x=0時，取得等號.∴f（x）■=1.

三、利用“1”的代換構造出和的定值

例3：已知x>0，y>0，且■+■=1，求x+y的最小值.

思路分析：要求x+y的最小值，由基本不等式a+b≥2■，應構建某個積為定值，這需要對條件進行必要的變形，所以利用“1”的代換是本題型基本的方法.

解：∵■+■=1，∴x+y=（x+y）·（■+■）=10+■+■.

∵x>0，y>0，∴■+■≥2■=6.當且僅當■=■，即y=3x時，取等號.

又■+■=1，∴x=4，y=12.∴當x=4，y=12時，x+y取得最小值16.

變式1：設x，y是正實數，且x+y=1，求■+■的最小值.

思路分析：由于x+y=1，發現兩個分式的分母相加（x+2）+（y+1）=3，因此本題可轉化為例3同類型題目.

解：令m=x+2，n=y+1，則m+n=4，x=m-2，y=n-1

∴■+■=■+■=m+n-6+■+■=■+■-2.

又∵m+n=4，∴（■+■）（m+n）×■=■（5+■+■）≥■（5+2■）=■

當且僅當■=■，即m=■，n=■時，即x=■，y=■時，∴■+■的最小值為■.

變式2：設0

思路分析：由于■+■≥k恒成立，只需求■+■的最小值即可.

解：∵00，

∴■+■=（2m+1-2m）（■+■）=4+■+■.

又∵■+■≥4，當且僅當m=■時取得等號，

∴■+■的最小值為8，∴k≤8，即得k的最大值為8.

四、基本不等式的應用

例4：若x，y，z>0，證明：（x+y）（x+z）（y+z）≥8xyz.

思路分析：由基本不等式可知x+y≥2■，同理可得x+z≥2■，y+z≥2■，所得不等式可證.

解：由基本不等式可得x+y≥2■，x+z≥2■，y+z≥2■.

由不等式性質可得（x+y）（x+z）（y+z）≥8■■■，當且僅當x=y=z取得等號即得（x+y）（x+z）（y+z）≥8xyz.

變式1：若x，y，z>0，且x+y+z=1，證明：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz.

思路分析：由題意可知x+y+z=1，可得1-x=y+z，1-y=x+z，1-z=x+y，結合例4的證明可得結論.

解：∵x+y+z=1，∴1-x=y+z，1-y=x+z，1-y=x+z，1-z=x+y，

所以（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥8xyz，

當且僅當x=y=z取得等號，所以得證.

變式2：若0

思路分析：觀察目標式子的分子可得m+n+（1-m-n）=1，式子暗含變式1中的條件.

解：令x=m，y=n，z=1-m-n，從而有x+y+z=1.

并有m+n=1-z，1-m=1-x，1-n=1-y，

所以原式■轉化為■.

由（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz，得到■≤■，

當且僅當m=n=1-m-n取得等號，即m=n=■時取到等號，

從而得到■的最大值為■.

由以上幾個典例分析可知，對于很多函數求最值問題，我們都可以直接運用基本不等式或者構造出和或積為定值再利用基本不等式進行求解，但是必須遵循基本不等式的三個原則：一正二定三相等，否則通過函數的相關知識進行求解.

參考文獻：

[1]張振華，李平.如何求基本不等式的最值[J].第二課堂（高中），2010（12）.

[2]周倦寶，黃愛民.運用基本不等式解題常見問題對策[J].第二課堂（高中版），2008（02）.

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