類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用研究

幸垂燕

一、類比推理的概念及現(xiàn)實意義

類比推理是一種認知活動，它能夠根據(jù)兩個或兩類對象之間的相似屬性進行推理和判斷，是人類認知的核心.它能夠幫助人們形成新的概念，將已學(xué)過的知識和概念遷移到新的情境中，形成適合當(dāng)下情景需要的理論概念、問題和解決問題的方式.在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中主要是依賴歸納和類比推理來得出結(jié)論、證明思路.目前我國很多高中生在歸納和類比推理能力方面還很欠缺，不能很好地根據(jù)前提條件預(yù)測結(jié)果，也不能很好地根據(jù)結(jié)果推出原因.在新一輪數(shù)學(xué)課改中，合情推理第一次作為專題內(nèi)容——“推理與證明”進入高中新課程教材中（選修系列1-2和選修系列2-2）.對學(xué)生進行類比推理能力的培養(yǎng)，有助于提高學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，適應(yīng)當(dāng)下國家發(fā)展對創(chuàng)新性人才的需求.因此，將推理能力融入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中就具有了十分重要的現(xiàn)實意義.

二、類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)概念形成過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是理論性的數(shù)學(xué)知識，需要學(xué)生理解并記憶.雖然數(shù)學(xué)概念并不是數(shù)學(xué)知識的全部，在教材中的分布也比較分散，但是它們之間也存在一定的相似性和內(nèi)在聯(lián)系.因此，教師應(yīng)該積極地引入類比推理，在教學(xué)過程中，幫助學(xué)生掌握和區(qū)分不同概念，形成完整的數(shù)學(xué)理論知識體系.比如在二面角概念的教學(xué)中教師就可以引入角的概念類比推理出二面角的概念，如表1.

在高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列相關(guān)知識的教學(xué)時，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的相關(guān)知識，然后將“差”和“比”的概念進行對比，幫助學(xué)生了解兩者之間的區(qū)別，再鼓勵學(xué)生將等差數(shù)列替換為等比數(shù)列，鼓勵學(xué)生根據(jù)自己的理解給出等比數(shù)列的概念.在充分了解學(xué)生對等比數(shù)列的理解以后，再根據(jù)學(xué)生理解的不足和疑問，進行分析，給出科學(xué)的等比數(shù)列的概念，然后給學(xué)生足夠的時間去思考這兩類數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別，明白“差”與“比”概念的區(qū)別，從而掌握等比數(shù)列的相關(guān)知識.在這個舊知識-類比-新知識的過程中，建立起學(xué)生類比推理的思維，實現(xiàn)類比推理能力的提高.

（二） 知識整合中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識中有很多概念系統(tǒng)，即一類概念中存在多個子概念，它們之間既相互聯(lián)系又相互區(qū)別，這時教師就可以教運用類比推理來進行知識的歸納整合.比如在學(xué)習(xí)向量知識的時，教師就可以從共線向量、共面向量和空間向量這三個知識點入手，采用循序漸進的教學(xué)方法，先介紹共線向量的相關(guān)知識；再運用類比推理，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握平面向量；最后再推及空間向量，在這個過程中尤其要注意三種向量之間的區(qū)別.在完成這樣的類比過程之后，教師還要幫助學(xué)生進行共線向量、平面向量、空間向量三者之間的對比歸納異同和聯(lián)系，整合大腦中有關(guān)向量的所有知識，形成一個較完整的向量知識體系.另外，在更大范圍和更高層面的數(shù)學(xué)知識整合過程中，類比推理也能起到非常重要的作用，提高知識整合的效率.比如，在高中幾何有關(guān)扇形面積公式學(xué)習(xí)之后，要注意總結(jié)多種空間幾何體面積計算相關(guān)知識的復(fù)習(xí)和總結(jié)，比如圓柱、棱錐的表面積就是各個面的面積之和，圓柱就需要知道上下兩個面的面積公式（S=πr2，r為圓的半徑）以及圓周的面積計算公式（圓周面積為S=L·h，圓周長L=2πR，h為圓柱體高），圓柱面積就是兩者之和.同上，棱錐就要知道底面積和周圍各個面的面積.采用類比教學(xué)的方法帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)棱柱、圓柱、圓錐、圓臺、球體的表面積，將它們的計算公式進行歸納總結(jié)，加深學(xué)生的理解和聯(lián)想記憶，用類比的方式強化對知識的整合.

（三） 提出問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求學(xué)生不僅要掌握知識還要善于思考，在思考中發(fā)現(xiàn)自己所掌握的知識中存在的聯(lián)系、問題和疑惑，這樣學(xué)生就能向老師提出問題，幫助加深對知識的理解和內(nèi)化程度.比如在集合概念的學(xué)習(xí)中，將子集和空集的概念都交給學(xué)生以后，讓學(xué)生去思考集合、子集、空集三者之間的關(guān)系，然后組織學(xué)生進行討論，有學(xué)生就會思考空集是不是集合的子集呢？當(dāng)學(xué)生提出這樣的問題的時候，教師就可以教學(xué)生運用類比推理解決疑惑了.同時，向?qū)W生提出有關(guān)生活中的集合概念，讓學(xué)生進行思考解答，比如以學(xué)校為例，采用年級、班級、學(xué)生性別進行分類，分別找出這幾個集合中的相關(guān)子集，這樣才能夠加深對知識點的區(qū)分和理解，幫助形成課堂與生活實際有機結(jié)合的完整知識體系.

（四）解決問題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題中教師通常會讓學(xué)生總結(jié)題型和解題方法，以達到舉一反三的目的，這就是類比推理在數(shù)學(xué)問題解決中的運用.類比推理不僅是概念到概念間的推理，也是解題思路和解題方法間的推理.比如在幾何學(xué)習(xí)中，教師可以將對平面數(shù)學(xué)問題的解題思路展示給學(xué)生，并逐步將解題思路引入到空間問題的解決中，并在這個過程中不斷地進行類比，幫助學(xué)生理解和形成空間問題解決的思路和方法.鼓勵學(xué)生運用類比推理來解決高中數(shù)學(xué)問題，不僅可以突出問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生找到解決問題的方法和途徑，還可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力.

比如在學(xué)習(xí)圓錐體的體積時，教師在分析了圓柱體和圓錐體的關(guān)系后，再帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)圓柱體體積運算公式：圓柱體體積=底面積×高（即V=S·h，S：圓柱體底面積；h：圓柱體高），由此引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓錐體體積公式：V=1/3S·h，S：圓椎體底面積，h：圓錐體高.最后給出一個圓錐體的模型，要求學(xué)生根據(jù)已知數(shù)據(jù)求解該圓錐體的體積，并鼓勵學(xué)生在現(xiàn)實生活中尋找圓錐體的事物，通過實際的測量圓的半徑和圓錐體的高，運用所學(xué)公式進行體積計算，這樣將學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)與實際生活充分聯(lián)系起來，提高學(xué)生解決實際問題的能力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

一、類比推理的概念及現(xiàn)實意義

類比推理是一種認知活動，它能夠根據(jù)兩個或兩類對象之間的相似屬性進行推理和判斷，是人類認知的核心.它能夠幫助人們形成新的概念，將已學(xué)過的知識和概念遷移到新的情境中，形成適合當(dāng)下情景需要的理論概念、問題和解決問題的方式.在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中主要是依賴歸納和類比推理來得出結(jié)論、證明思路.目前我國很多高中生在歸納和類比推理能力方面還很欠缺，不能很好地根據(jù)前提條件預(yù)測結(jié)果，也不能很好地根據(jù)結(jié)果推出原因.在新一輪數(shù)學(xué)課改中，合情推理第一次作為專題內(nèi)容——“推理與證明”進入高中新課程教材中（選修系列1-2和選修系列2-2）.對學(xué)生進行類比推理能力的培養(yǎng)，有助于提高學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，適應(yīng)當(dāng)下國家發(fā)展對創(chuàng)新性人才的需求.因此，將推理能力融入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中就具有了十分重要的現(xiàn)實意義.

二、類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)概念形成過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是理論性的數(shù)學(xué)知識，需要學(xué)生理解并記憶.雖然數(shù)學(xué)概念并不是數(shù)學(xué)知識的全部，在教材中的分布也比較分散，但是它們之間也存在一定的相似性和內(nèi)在聯(lián)系.因此，教師應(yīng)該積極地引入類比推理，在教學(xué)過程中，幫助學(xué)生掌握和區(qū)分不同概念，形成完整的數(shù)學(xué)理論知識體系.比如在二面角概念的教學(xué)中教師就可以引入角的概念類比推理出二面角的概念，如表1.

在高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列相關(guān)知識的教學(xué)時，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的相關(guān)知識，然后將“差”和“比”的概念進行對比，幫助學(xué)生了解兩者之間的區(qū)別，再鼓勵學(xué)生將等差數(shù)列替換為等比數(shù)列，鼓勵學(xué)生根據(jù)自己的理解給出等比數(shù)列的概念.在充分了解學(xué)生對等比數(shù)列的理解以后，再根據(jù)學(xué)生理解的不足和疑問，進行分析，給出科學(xué)的等比數(shù)列的概念，然后給學(xué)生足夠的時間去思考這兩類數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別，明白“差”與“比”概念的區(qū)別，從而掌握等比數(shù)列的相關(guān)知識.在這個舊知識-類比-新知識的過程中，建立起學(xué)生類比推理的思維，實現(xiàn)類比推理能力的提高.

（二） 知識整合中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識中有很多概念系統(tǒng)，即一類概念中存在多個子概念，它們之間既相互聯(lián)系又相互區(qū)別，這時教師就可以教運用類比推理來進行知識的歸納整合.比如在學(xué)習(xí)向量知識的時，教師就可以從共線向量、共面向量和空間向量這三個知識點入手，采用循序漸進的教學(xué)方法，先介紹共線向量的相關(guān)知識；再運用類比推理，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握平面向量；最后再推及空間向量，在這個過程中尤其要注意三種向量之間的區(qū)別.在完成這樣的類比過程之后，教師還要幫助學(xué)生進行共線向量、平面向量、空間向量三者之間的對比歸納異同和聯(lián)系，整合大腦中有關(guān)向量的所有知識，形成一個較完整的向量知識體系.另外，在更大范圍和更高層面的數(shù)學(xué)知識整合過程中，類比推理也能起到非常重要的作用，提高知識整合的效率.比如，在高中幾何有關(guān)扇形面積公式學(xué)習(xí)之后，要注意總結(jié)多種空間幾何體面積計算相關(guān)知識的復(fù)習(xí)和總結(jié)，比如圓柱、棱錐的表面積就是各個面的面積之和，圓柱就需要知道上下兩個面的面積公式（S=πr2，r為圓的半徑）以及圓周的面積計算公式（圓周面積為S=L·h，圓周長L=2πR，h為圓柱體高），圓柱面積就是兩者之和.同上，棱錐就要知道底面積和周圍各個面的面積.采用類比教學(xué)的方法帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)棱柱、圓柱、圓錐、圓臺、球體的表面積，將它們的計算公式進行歸納總結(jié)，加深學(xué)生的理解和聯(lián)想記憶，用類比的方式強化對知識的整合.

（三） 提出問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求學(xué)生不僅要掌握知識還要善于思考，在思考中發(fā)現(xiàn)自己所掌握的知識中存在的聯(lián)系、問題和疑惑，這樣學(xué)生就能向老師提出問題，幫助加深對知識的理解和內(nèi)化程度.比如在集合概念的學(xué)習(xí)中，將子集和空集的概念都交給學(xué)生以后，讓學(xué)生去思考集合、子集、空集三者之間的關(guān)系，然后組織學(xué)生進行討論，有學(xué)生就會思考空集是不是集合的子集呢？當(dāng)學(xué)生提出這樣的問題的時候，教師就可以教學(xué)生運用類比推理解決疑惑了.同時，向?qū)W生提出有關(guān)生活中的集合概念，讓學(xué)生進行思考解答，比如以學(xué)校為例，采用年級、班級、學(xué)生性別進行分類，分別找出這幾個集合中的相關(guān)子集，這樣才能夠加深對知識點的區(qū)分和理解，幫助形成課堂與生活實際有機結(jié)合的完整知識體系.

（四）解決問題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題中教師通常會讓學(xué)生總結(jié)題型和解題方法，以達到舉一反三的目的，這就是類比推理在數(shù)學(xué)問題解決中的運用.類比推理不僅是概念到概念間的推理，也是解題思路和解題方法間的推理.比如在幾何學(xué)習(xí)中，教師可以將對平面數(shù)學(xué)問題的解題思路展示給學(xué)生，并逐步將解題思路引入到空間問題的解決中，并在這個過程中不斷地進行類比，幫助學(xué)生理解和形成空間問題解決的思路和方法.鼓勵學(xué)生運用類比推理來解決高中數(shù)學(xué)問題，不僅可以突出問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生找到解決問題的方法和途徑，還可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力.

比如在學(xué)習(xí)圓錐體的體積時，教師在分析了圓柱體和圓錐體的關(guān)系后，再帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)圓柱體體積運算公式：圓柱體體積=底面積×高（即V=S·h，S：圓柱體底面積；h：圓柱體高），由此引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓錐體體積公式：V=1/3S·h，S：圓椎體底面積，h：圓錐體高.最后給出一個圓錐體的模型，要求學(xué)生根據(jù)已知數(shù)據(jù)求解該圓錐體的體積，并鼓勵學(xué)生在現(xiàn)實生活中尋找圓錐體的事物，通過實際的測量圓的半徑和圓錐體的高，運用所學(xué)公式進行體積計算，這樣將學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)與實際生活充分聯(lián)系起來，提高學(xué)生解決實際問題的能力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

一、類比推理的概念及現(xiàn)實意義

類比推理是一種認知活動，它能夠根據(jù)兩個或兩類對象之間的相似屬性進行推理和判斷，是人類認知的核心.它能夠幫助人們形成新的概念，將已學(xué)過的知識和概念遷移到新的情境中，形成適合當(dāng)下情景需要的理論概念、問題和解決問題的方式.在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中主要是依賴歸納和類比推理來得出結(jié)論、證明思路.目前我國很多高中生在歸納和類比推理能力方面還很欠缺，不能很好地根據(jù)前提條件預(yù)測結(jié)果，也不能很好地根據(jù)結(jié)果推出原因.在新一輪數(shù)學(xué)課改中，合情推理第一次作為專題內(nèi)容——“推理與證明”進入高中新課程教材中（選修系列1-2和選修系列2-2）.對學(xué)生進行類比推理能力的培養(yǎng)，有助于提高學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，適應(yīng)當(dāng)下國家發(fā)展對創(chuàng)新性人才的需求.因此，將推理能力融入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中就具有了十分重要的現(xiàn)實意義.

二、類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)概念形成過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是理論性的數(shù)學(xué)知識，需要學(xué)生理解并記憶.雖然數(shù)學(xué)概念并不是數(shù)學(xué)知識的全部，在教材中的分布也比較分散，但是它們之間也存在一定的相似性和內(nèi)在聯(lián)系.因此，教師應(yīng)該積極地引入類比推理，在教學(xué)過程中，幫助學(xué)生掌握和區(qū)分不同概念，形成完整的數(shù)學(xué)理論知識體系.比如在二面角概念的教學(xué)中教師就可以引入角的概念類比推理出二面角的概念，如表1.

在高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列相關(guān)知識的教學(xué)時，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的相關(guān)知識，然后將“差”和“比”的概念進行對比，幫助學(xué)生了解兩者之間的區(qū)別，再鼓勵學(xué)生將等差數(shù)列替換為等比數(shù)列，鼓勵學(xué)生根據(jù)自己的理解給出等比數(shù)列的概念.在充分了解學(xué)生對等比數(shù)列的理解以后，再根據(jù)學(xué)生理解的不足和疑問，進行分析，給出科學(xué)的等比數(shù)列的概念，然后給學(xué)生足夠的時間去思考這兩類數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別，明白“差”與“比”概念的區(qū)別，從而掌握等比數(shù)列的相關(guān)知識.在這個舊知識-類比-新知識的過程中，建立起學(xué)生類比推理的思維，實現(xiàn)類比推理能力的提高.

（二） 知識整合中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識中有很多概念系統(tǒng)，即一類概念中存在多個子概念，它們之間既相互聯(lián)系又相互區(qū)別，這時教師就可以教運用類比推理來進行知識的歸納整合.比如在學(xué)習(xí)向量知識的時，教師就可以從共線向量、共面向量和空間向量這三個知識點入手，采用循序漸進的教學(xué)方法，先介紹共線向量的相關(guān)知識；再運用類比推理，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握平面向量；最后再推及空間向量，在這個過程中尤其要注意三種向量之間的區(qū)別.在完成這樣的類比過程之后，教師還要幫助學(xué)生進行共線向量、平面向量、空間向量三者之間的對比歸納異同和聯(lián)系，整合大腦中有關(guān)向量的所有知識，形成一個較完整的向量知識體系.另外，在更大范圍和更高層面的數(shù)學(xué)知識整合過程中，類比推理也能起到非常重要的作用，提高知識整合的效率.比如，在高中幾何有關(guān)扇形面積公式學(xué)習(xí)之后，要注意總結(jié)多種空間幾何體面積計算相關(guān)知識的復(fù)習(xí)和總結(jié)，比如圓柱、棱錐的表面積就是各個面的面積之和，圓柱就需要知道上下兩個面的面積公式（S=πr2，r為圓的半徑）以及圓周的面積計算公式（圓周面積為S=L·h，圓周長L=2πR，h為圓柱體高），圓柱面積就是兩者之和.同上，棱錐就要知道底面積和周圍各個面的面積.采用類比教學(xué)的方法帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)棱柱、圓柱、圓錐、圓臺、球體的表面積，將它們的計算公式進行歸納總結(jié)，加深學(xué)生的理解和聯(lián)想記憶，用類比的方式強化對知識的整合.

（三） 提出問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求學(xué)生不僅要掌握知識還要善于思考，在思考中發(fā)現(xiàn)自己所掌握的知識中存在的聯(lián)系、問題和疑惑，這樣學(xué)生就能向老師提出問題，幫助加深對知識的理解和內(nèi)化程度.比如在集合概念的學(xué)習(xí)中，將子集和空集的概念都交給學(xué)生以后，讓學(xué)生去思考集合、子集、空集三者之間的關(guān)系，然后組織學(xué)生進行討論，有學(xué)生就會思考空集是不是集合的子集呢？當(dāng)學(xué)生提出這樣的問題的時候，教師就可以教學(xué)生運用類比推理解決疑惑了.同時，向?qū)W生提出有關(guān)生活中的集合概念，讓學(xué)生進行思考解答，比如以學(xué)校為例，采用年級、班級、學(xué)生性別進行分類，分別找出這幾個集合中的相關(guān)子集，這樣才能夠加深對知識點的區(qū)分和理解，幫助形成課堂與生活實際有機結(jié)合的完整知識體系.

（四）解決問題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題中教師通常會讓學(xué)生總結(jié)題型和解題方法，以達到舉一反三的目的，這就是類比推理在數(shù)學(xué)問題解決中的運用.類比推理不僅是概念到概念間的推理，也是解題思路和解題方法間的推理.比如在幾何學(xué)習(xí)中，教師可以將對平面數(shù)學(xué)問題的解題思路展示給學(xué)生，并逐步將解題思路引入到空間問題的解決中，并在這個過程中不斷地進行類比，幫助學(xué)生理解和形成空間問題解決的思路和方法.鼓勵學(xué)生運用類比推理來解決高中數(shù)學(xué)問題，不僅可以突出問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生找到解決問題的方法和途徑，還可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力.

比如在學(xué)習(xí)圓錐體的體積時，教師在分析了圓柱體和圓錐體的關(guān)系后，再帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)圓柱體體積運算公式：圓柱體體積=底面積×高（即V=S·h，S：圓柱體底面積；h：圓柱體高），由此引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓錐體體積公式：V=1/3S·h，S：圓椎體底面積，h：圓錐體高.最后給出一個圓錐體的模型，要求學(xué)生根據(jù)已知數(shù)據(jù)求解該圓錐體的體積，并鼓勵學(xué)生在現(xiàn)實生活中尋找圓錐體的事物，通過實際的測量圓的半徑和圓錐體的高，運用所學(xué)公式進行體積計算，這樣將學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)與實際生活充分聯(lián)系起來，提高學(xué)生解決實際問題的能力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.