基于知識(shí)表征的數(shù)學(xué)綜合題教學(xué)實(shí)踐與思考

劉海濤

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題教學(xué)，在安德森對(duì)知識(shí)的分類(lèi)中，解題屬程序性知識(shí)。綜合題主要考查學(xué)生初中階段所學(xué)的核心基本知識(shí)、基本技能以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。題目靈活多變，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求比較高，學(xué)生要綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，還要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)討論思想等常用的數(shù)學(xué)思想方法。綜合題因解法多維，故屬?gòu)?fù)雜性操作技能，因此，學(xué)生對(duì)綜合題的表征不可能達(dá)到自動(dòng)化的程度，是教學(xué)中的難點(diǎn)。如何表征，才能形成對(duì)綜合題比較科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生解答綜合性問(wèn)題的能力，本文就此談?wù)劰P者的實(shí)踐與思考。

一、 “圖形”基本化

圖形基本化是指在復(fù)雜圖形中分離出解題所需要的基本圖形，利用基本圖形的性質(zhì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，空間形式具有復(fù)雜性，但很多復(fù)雜的圖形是由基本圖形組合而成，運(yùn)用基本圖形去研究復(fù)雜圖形，把復(fù)雜圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本圖形的問(wèn)題解決，是人類(lèi)智慧的結(jié)晶。因此，基本圖形的性質(zhì)以及如何從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，是學(xué)生心須進(jìn)行重點(diǎn)表征的。初中幾何知識(shí)中，有很多基本圖形，如相似形中的A型圖、8型圖、一線(xiàn)三等角、子母三角形等，這些基本圖形的識(shí)別與依據(jù)其性質(zhì)靈活運(yùn)用是學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題思維載體。學(xué)生對(duì)這此基本圖形的運(yùn)用要達(dá)到自動(dòng)化程度，也就是要形成簡(jiǎn)單操作性技能 （達(dá)到自動(dòng)化），在解答問(wèn)題時(shí)，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形來(lái)解決，從而提高解答問(wèn)題的能力。

例1：如圖1，⊙O的半徑為6，線(xiàn)段AB與⊙O相交于點(diǎn)C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB與⊙O相交于點(diǎn)E，設(shè)OA=x， CD=y．

圖1

（1） 求BD長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；

（3）當(dāng)CE⊥OD時(shí)，求AO的長(zhǎng)．

分析；此題由已知條件圖形化之后，不難發(fā)現(xiàn)第 （1）問(wèn)運(yùn)用△ACO∽△ODB從而求出BD長(zhǎng)。第 （2）問(wèn)以第 （1）問(wèn)為線(xiàn)索，從圖形中分離出來(lái)子母三角形△ACO∽△AOB（如圖2），可順利解答此問(wèn)。第 （3）問(wèn)顯然要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題。

圖2

思考：基本圖形的形狀性質(zhì)是教學(xué)中的重中之重，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須有基本圖形清晰的表象，才能夠與新的圖形剌激產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，從而激活已經(jīng)有的知識(shí)鏈，分離出基本圖形。解題時(shí)，一是通過(guò)已知條件獲得解題線(xiàn)索。此例中把已知條件圖形化后，很快會(huì)發(fā)現(xiàn)相似的圖形。二是通過(guò)敏銳的觀(guān)察能力與表征的基本圖形聯(lián)結(jié)獲得解題線(xiàn)索。此例中有幾對(duì)子母三角形，那么在解題中運(yùn)用哪一對(duì)呢？通過(guò)分析已知與未知所要的關(guān)系式，不難發(fā)現(xiàn)是運(yùn)用△ACO∽△AOB這個(gè)線(xiàn)索。

二、 “動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化

動(dòng)態(tài)靜態(tài)化是指把動(dòng)態(tài)問(wèn)題通過(guò)動(dòng)態(tài)不變性法轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題來(lái)解決。動(dòng)態(tài)問(wèn)題是近幾年的熱點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)態(tài)問(wèn)題反映的是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，此類(lèi)題目往往以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題出現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是指以幾何圖形為背景的圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)或弧線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，與其他定點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形的一類(lèi)開(kāi)放性題目。此類(lèi)題目靈活多變，動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，惟妙惟肖，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形中存在動(dòng)態(tài)不變性，學(xué)生只有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的這個(gè)規(guī)律，巧妙利用這個(gè)規(guī)律，綜合運(yùn)用初中階段所學(xué)習(xí)的主要知識(shí)，才能解決問(wèn)題。圖形的動(dòng)態(tài)不變性，是初中幾何學(xué)重點(diǎn)研究的問(wèn)題，例如：不論什么類(lèi)型的三角形，內(nèi)角和為180°，這就是一個(gè)動(dòng)態(tài)不變的性質(zhì)。但是對(duì)不同的題目其動(dòng)態(tài)不變性是不同的，因此學(xué)生在表征此類(lèi)題目時(shí)，可把動(dòng)態(tài)不變性進(jìn)行分類(lèi)表征，如：角度不變性，相似不變性等。

例2：如圖2，已知扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，且不與A、B重合，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D。

①若BC=1，求OD的長(zhǎng)；

②在△DOE中，是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊，若存在，求出該邊的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

圖3

③設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域.

分析：如圖4，本題第①問(wèn)學(xué)生可順利解答。第②問(wèn)對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定困難，原因是學(xué)生觀(guān)察圖形的能力以及對(duì)圖形的感悟不理想，從中分析不出來(lái)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，點(diǎn)D與點(diǎn)E始終分別是弦BC與AC的中點(diǎn)這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，因此未能獲得解題線(xiàn)索，不能順利解答此問(wèn)。事實(shí)上，如果分析出這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，聯(lián)結(jié)AB即可得線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是不變的，始終是線(xiàn)段AB的一半。第③問(wèn)要求△DOE的面積為y，依據(jù)三角形面積公式，必須知道一邊及這邊上的高，從已知不難發(fā)現(xiàn)OD是可用含x代數(shù)式來(lái)表示出來(lái)的，就是在△DOE中，知道了一條邊，根據(jù)解三角形知識(shí)，可知還少一個(gè)角，如果再知道一個(gè)角，問(wèn)題即可解決，通過(guò)觀(guān)察圖形不難發(fā)現(xiàn)聯(lián)結(jié)OC可得∠DOE在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其度數(shù)是不變的，始終是45°，抓住這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，通過(guò)添加輔助線(xiàn)DF⊥OE，利用解直角三角形知識(shí)，可順利解答此題。

（2） 略， DE=2

（3）如圖4，連結(jié)OC，作DF⊥OE交OE于點(diǎn)F

因?yàn)镺D⊥BC，OE⊥AC，所以∠1=∠2，∠3=∠4又因?yàn)椤螦OB=90°，所以

即∠DOE=45°又因?yàn)镈F⊥OE，所以∠OFD=90°

圖4

思考：在解答此類(lèi)試題時(shí)，一定要詳細(xì)觀(guān)察圖形，分析出在動(dòng)點(diǎn)變化過(guò)程中的圖形不變性質(zhì)，以此為線(xiàn)索運(yùn)用所學(xué)的基本知識(shí)；另外，在教學(xué)中，要培學(xué)生對(duì)圖形的觀(guān)察能力，使學(xué)生善于從動(dòng)態(tài)變化的圖形中通過(guò)分類(lèi)、比較、辨析、探索出圖形的動(dòng)態(tài)不變性質(zhì)；最后，要使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能夠形成一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。

三、 “典型”對(duì)象化

典形對(duì)象化是指對(duì)非常典型的問(wèn)題，以對(duì)象的形式進(jìn)行表征。對(duì)象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個(gè)對(duì)象解決一類(lèi)問(wèn)題。布魯納認(rèn)為： “學(xué)習(xí)就是類(lèi)目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個(gè)類(lèi)目指一組有關(guān)的對(duì)象或事件，它可以是一個(gè)概念，也可以是一條規(guī)則。”〔1〕對(duì)象由問(wèn)題及問(wèn)題的解決方法組成，封裝是指把問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法表征放在一起，組成一個(gè)關(guān)聯(lián)的整體，也即類(lèi)目。繼承是指把問(wèn)題的已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，形成問(wèn)題域，繼承原問(wèn)題的解決方法。多態(tài)是指進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多非常典型的例題，是一類(lèi)題目的突出代表，學(xué)生解答此類(lèi)題能用典型題這一把 “鑰匙”開(kāi)一類(lèi) “鎖”，以達(dá)到 “做一題，通一類(lèi)，會(huì)一片”的效果。

其次，問(wèn)題與解決方法封裝在一起有利于知識(shí)的提取。學(xué)生解題時(shí)，需從長(zhǎng)時(shí)記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識(shí)信息時(shí)，因?yàn)閱?wèn)題與解決問(wèn)題的方法進(jìn)行了封裝，因此可形成組塊被提取到工作記憶中，有利于運(yùn)用此知識(shí)信息進(jìn)行新的信息加工。而對(duì)問(wèn)題的的條件進(jìn)行等價(jià)變式，有利于擴(kuò)大問(wèn)題的類(lèi)比入口，從而在類(lèi)比運(yùn)用時(shí)容易被檢索到。在解新題中，運(yùn)用類(lèi)比遷移進(jìn)行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對(duì)題目條件進(jìn)行充分變式后，就能夠擴(kuò)大題目的類(lèi)比范圍，從而提高典型問(wèn)題的類(lèi)比率。還有，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。發(fā)散性思維能力是創(chuàng)新思維能力的核心，一題多解可打開(kāi)學(xué)生的解決問(wèn)題的思路，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問(wèn)題。一題多變可擴(kuò)大問(wèn)題本身的作用范圍，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問(wèn)題系，豐富問(wèn)題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D。

圖5

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置．將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；

（3）設(shè) （2）中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1．點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿(mǎn)足△PBB1的面積是△PDD1面積的倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

分析： （1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，2）， 再由tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)， 將二點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖象，故圖象開(kāi)口大小、對(duì)稱(chēng)軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)作標(biāo)即可求解。

（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問(wèn)題，第一，對(duì)問(wèn)題可尋求多種解法。第二，對(duì)求二次函數(shù)解析式問(wèn)題，可對(duì)條件進(jìn)行充分的變式，例如：可給出AB=5，OB=2等。第三，可將此題與其它二次函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)系，形成問(wèn)題系，如例4等。

例4：已知：如圖，拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B （0，3），且∠OAB的余切值為

（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，BC與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)E．點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，如果點(diǎn)D是△PBC的重心，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

圖6

圖7

（3） 在 （2） 的條件下， 將 （1） 所求得的拋物線(xiàn)沿y軸向上或向下平移后頂點(diǎn)為點(diǎn)P，寫(xiě)出平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式.點(diǎn)M在平移后的拋物線(xiàn)上，且△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

思考：此題是典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，學(xué)生在解答此題時(shí)，順利畫(huà)出圖形是獲取解題思路的重要步驟。函數(shù)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線(xiàn)索。教學(xué)實(shí)踐表明，如果題目本身有圖，學(xué)生解答起來(lái)比較容易解答，如果題目沒(méi)有圖形，需學(xué)生自己畫(huà)圖，就增加了題目的難度，因此教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，從而運(yùn)用幾何直觀(guān)理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題對(duì)象化后，會(huì)在長(zhǎng)時(shí)記憶中形成此對(duì)象的清晰表征，便于需要時(shí)提取，同時(shí)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)變式訓(xùn)練可達(dá)到自動(dòng)化程度。

四、 “局部”過(guò)程化

局部過(guò)程化是指對(duì)綜合題的局部解題方法進(jìn)行過(guò)程化，使學(xué)生對(duì)這些過(guò)程的表征形成簡(jiǎn)單操作技能。綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過(guò)程中，還是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過(guò)的，簡(jiǎn)言之綜合題也是由簡(jiǎn)單的問(wèn)題組合而成的。因此把這些動(dòng)態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡(jiǎn)單操作技能供解題需要時(shí)提取，從而提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖8，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點(diǎn)為M的拋物線(xiàn)y=ax2+bx(a＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=BO=2， ∠AOM=120°。

（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖8

圖9

分析：如圖9，此題的第 （3）問(wèn)，點(diǎn)C是X軸上動(dòng)點(diǎn)，且△ABC與△AOM相似，此類(lèi)問(wèn)題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常常見(jiàn)的一個(gè)問(wèn)題，二個(gè)三角形相似分類(lèi)討論問(wèn)題。此題二個(gè)三角形相似需兩個(gè)條件，而題目中，隱含給一個(gè)角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對(duì)角相等，夾角兩邊對(duì)應(yīng)成比例，然后分類(lèi)討論解答此題。

解： （1） 過(guò)程略

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4， 0） 或 （8， 0） ．

思考：綜合題靈活多變，解題不能形成一個(gè)自動(dòng)化的程序，但是，初中數(shù)學(xué)中的一些基本問(wèn)題，其變化是有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，因此，這些問(wèn)題雖屬程序性知識(shí)，但因解題的思維過(guò)程比較固定，因此表征時(shí)可形成一個(gè)簡(jiǎn)單的操作技能，待需要時(shí)可快速提取運(yùn)用于解決問(wèn)題的過(guò)程中。

總之，綜合題的解答對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，雖然每個(gè)學(xué)生用自己的習(xí)慣表征不同的數(shù)學(xué)知識(shí)信息，但教學(xué)中，教師可通過(guò)顯現(xiàn)知識(shí)不同方式及教學(xué)策略，改變學(xué)生的知識(shí)表征策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理的對(duì)綜合題的教學(xué)進(jìn)行合理表征，這樣才能優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；才能提高學(xué)生的思維品質(zhì)；才能提高學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

①孔凡哲，曾崢著.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué) 〔M〕.北京：北京大學(xué)出版社， 2009 （3）： 43.

②張學(xué)民.實(shí)驗(yàn)心理學(xué) 〔M〕.北京：北京師范大學(xué)出版社2009（8）： 583.