對北師大版教材《選修2—2》兩處知識點的質疑

最近，在北師大版教材《選修2-2》第三章導數應用的教學中，有兩處頗具爭議的知識點，會誤導學生.本文展現出來，以期加以修正.

誤導一 極值點一定是導數為0的點

教材第61頁歸納的求極值點的步驟：“一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數f（x）的極值點，首先求導，其次解方程f′（x0）=0，然后檢驗x0左右導數符號來判斷x0是否為函數極值點”，從教材歸納求函數極值點的步驟可看出，“函數的極值點一定是導數為0的點！”，這顯然是錯誤的.通過對學生的調查可知，學生普遍是這樣認為的.因為，極值點還有可能是導數不存在的點，例如，結合函數圖象知：x=0為函數y=x的極小值點，但函數y=x在x=0處的導數值不存在！導數只是研究可導函數極值的一種工具，對不可導函數求極值，導數法就失效了.

改進措施 在教材歸納求極值點的步驟前應加上條件“對可導函數而言”就完美了！容易知，教材所歸納求函數極值點的步驟是針對可導函數而言的，而教材在前一章的導數章節沒有介紹可導函數.所以建議在前一章節應加上可導函數這一概念.

誤導二 函數在閉區間端點處的導數值存在

教材第66頁例4，求函數y=f（x）=x3-2x2+5在區間[-2，2]上的最大值與最小值.教材對此題解析中的表3-6如下：

x-2（-2，0）00，434343，22f′（x）20+0-0+4y=f（x）-11↗極大值↘極小值↗5

從上表可知，f′（-2）=20，f′（2）=4，這顯然是錯誤的！因為函數在某點可導的充要條件是函數在該點的左右極限都存在且相等，也可以說是左導數和右導數都存在且相等.因為函數y=f（x）在x=-2處的左極限不存在，故函數在x=-2處的導數值不存在；函數y=f（x）在x=2處的右極限不存在，故函數在x=2處的導數值不存在.

改進措施 上表應改進為：將表格中x=-2與x=2處的導數值空著不填，或者填上“不存在”.

反思 教材出現的這兩處容易誤導學生的知識，歸根結底是由于教材在沒介紹極限知識而直接研究導數所致的.故建議教材能否考慮增加一章極限內容.我在教學中給學生補充了極限內容，學生學起來很輕松，對可導函數問題都能透徹理解，效果很好！

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.普通高中課程標準實驗教科書——數學選修2-2[M].北京：北京師范大學出版社，2008：61-66.

作者簡介 汪仁林，男，1980年11月生，陜西省商南縣人，中學一級教師.全國新青年數學教師工作室成員，主要從事數學教育與高考試題研究，發表文章80余篇，參編教輔用書3本.分別榮獲“中國教育改革優秀教師”、“咸陽市市級教學能手”、“市級學科帶頭人”、“咸陽市高中數學學科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數學聯賽優秀輔導教師”、“全國中學生數學能力競賽優秀指導教師”稱號.

最近，在北師大版教材《選修2-2》第三章導數應用的教學中，有兩處頗具爭議的知識點，會誤導學生.本文展現出來，以期加以修正.

誤導一 極值點一定是導數為0的點

教材第61頁歸納的求極值點的步驟：“一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數f（x）的極值點，首先求導，其次解方程f′（x0）=0，然后檢驗x0左右導數符號來判斷x0是否為函數極值點”，從教材歸納求函數極值點的步驟可看出，“函數的極值點一定是導數為0的點！”，這顯然是錯誤的.通過對學生的調查可知，學生普遍是這樣認為的.因為，極值點還有可能是導數不存在的點，例如，結合函數圖象知：x=0為函數y=x的極小值點，但函數y=x在x=0處的導數值不存在！導數只是研究可導函數極值的一種工具，對不可導函數求極值，導數法就失效了.

改進措施 在教材歸納求極值點的步驟前應加上條件“對可導函數而言”就完美了！容易知，教材所歸納求函數極值點的步驟是針對可導函數而言的，而教材在前一章的導數章節沒有介紹可導函數.所以建議在前一章節應加上可導函數這一概念.

誤導二 函數在閉區間端點處的導數值存在

教材第66頁例4，求函數y=f（x）=x3-2x2+5在區間[-2，2]上的最大值與最小值.教材對此題解析中的表3-6如下：

x-2（-2，0）00，434343，22f′（x）20+0-0+4y=f（x）-11↗極大值↘極小值↗5

從上表可知，f′（-2）=20，f′（2）=4，這顯然是錯誤的！因為函數在某點可導的充要條件是函數在該點的左右極限都存在且相等，也可以說是左導數和右導數都存在且相等.因為函數y=f（x）在x=-2處的左極限不存在，故函數在x=-2處的導數值不存在；函數y=f（x）在x=2處的右極限不存在，故函數在x=2處的導數值不存在.

改進措施 上表應改進為：將表格中x=-2與x=2處的導數值空著不填，或者填上“不存在”.

反思 教材出現的這兩處容易誤導學生的知識，歸根結底是由于教材在沒介紹極限知識而直接研究導數所致的.故建議教材能否考慮增加一章極限內容.我在教學中給學生補充了極限內容，學生學起來很輕松，對可導函數問題都能透徹理解，效果很好！

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.普通高中課程標準實驗教科書——數學選修2-2[M].北京：北京師范大學出版社，2008：61-66.

作者簡介 汪仁林，男，1980年11月生，陜西省商南縣人，中學一級教師.全國新青年數學教師工作室成員，主要從事數學教育與高考試題研究，發表文章80余篇，參編教輔用書3本.分別榮獲“中國教育改革優秀教師”、“咸陽市市級教學能手”、“市級學科帶頭人”、“咸陽市高中數學學科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數學聯賽優秀輔導教師”、“全國中學生數學能力競賽優秀指導教師”稱號.

最近，在北師大版教材《選修2-2》第三章導數應用的教學中，有兩處頗具爭議的知識點，會誤導學生.本文展現出來，以期加以修正.

誤導一 極值點一定是導數為0的點

教材第61頁歸納的求極值點的步驟：“一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數f（x）的極值點，首先求導，其次解方程f′（x0）=0，然后檢驗x0左右導數符號來判斷x0是否為函數極值點”，從教材歸納求函數極值點的步驟可看出，“函數的極值點一定是導數為0的點！”，這顯然是錯誤的.通過對學生的調查可知，學生普遍是這樣認為的.因為，極值點還有可能是導數不存在的點，例如，結合函數圖象知：x=0為函數y=x的極小值點，但函數y=x在x=0處的導數值不存在！導數只是研究可導函數極值的一種工具，對不可導函數求極值，導數法就失效了.

改進措施 在教材歸納求極值點的步驟前應加上條件“對可導函數而言”就完美了！容易知，教材所歸納求函數極值點的步驟是針對可導函數而言的，而教材在前一章的導數章節沒有介紹可導函數.所以建議在前一章節應加上可導函數這一概念.

誤導二 函數在閉區間端點處的導數值存在

教材第66頁例4，求函數y=f（x）=x3-2x2+5在區間[-2，2]上的最大值與最小值.教材對此題解析中的表3-6如下：

x-2（-2，0）00，434343，22f′（x）20+0-0+4y=f（x）-11↗極大值↘極小值↗5

從上表可知，f′（-2）=20，f′（2）=4，這顯然是錯誤的！因為函數在某點可導的充要條件是函數在該點的左右極限都存在且相等，也可以說是左導數和右導數都存在且相等.因為函數y=f（x）在x=-2處的左極限不存在，故函數在x=-2處的導數值不存在；函數y=f（x）在x=2處的右極限不存在，故函數在x=2處的導數值不存在.

改進措施 上表應改進為：將表格中x=-2與x=2處的導數值空著不填，或者填上“不存在”.

反思 教材出現的這兩處容易誤導學生的知識，歸根結底是由于教材在沒介紹極限知識而直接研究導數所致的.故建議教材能否考慮增加一章極限內容.我在教學中給學生補充了極限內容，學生學起來很輕松，對可導函數問題都能透徹理解，效果很好！

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.普通高中課程標準實驗教科書——數學選修2-2[M].北京：北京師范大學出版社，2008：61-66.

作者簡介 汪仁林，男，1980年11月生，陜西省商南縣人，中學一級教師.全國新青年數學教師工作室成員，主要從事數學教育與高考試題研究，發表文章80余篇，參編教輔用書3本.分別榮獲“中國教育改革優秀教師”、“咸陽市市級教學能手”、“市級學科帶頭人”、“咸陽市高中數學學科專家組成員”、“省級骨干班主任”、“全國高中數學聯賽優秀輔導教師”、“全國中學生數學能力競賽優秀指導教師”稱號.