對人教版教科書《數學·A版》的又22條修改建議

甘志國

筆者著《教材教法》（哈爾濱工業大學出版社，2014）對普通高中課程標準實驗教科書《數學·A版》提出了若干修改建議，下面再提出22條修改建議，不當之處，敬請讀者批評指正.1 對《必修1》的又4條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學1·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第8次印刷）（本文簡稱《必修1》）再給出以下4條修改建議.

i）第17頁倒數第九行中的“的集合分別表示為”改為“的集合用區間分別表示為”.

ⅱ）第18頁的旁白“你也可以利用計算器或計算機畫出例2中四個函數的圖象，根據圖象進行判斷”有誤：因為利用當前的計算器或計算機畫出（4）y=x2x與y=x的函數的圖象完全一致.

ⅲ）建議把第28頁的兩處“定義域I內”均改為“定義域I上”.

ⅳ）第101頁頭三段話的敘述有誤，因為可舉出反例：

在（0，+∞）上函數g（x）=-1x，h（x）=1-1x2都是增函數且都是二階可導函數，h′（x）=2x3是減函數，limx→+∞h′（x）g′（x）=limx→+∞2x31x2=limx→+∞2x=0，但可證g（x）<；h（x）（x>；1）恒成立.

詳細論述及修改建議可見筆者發表于《中小學數學（高中）》（高中）2014年第9期第37—38頁的文章《“增長速度快，函數值就會超過”嗎》.2 對《必修2》的又2條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學2·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）（本文簡稱《必修2》）再給出以下2條修改建議.

ⅰ）建議把《必修2》第133頁習題第5題（即最后一題）改為：

已知點P（-2，-3）和以Q為圓心的圓C：（x-4）2+（y-2）2=9.

（1）畫出以PQ為直徑，Q′為圓心的圓C′，再求出它的方程；

（2）作出圓C和第（1）問中的圓C′的兩個交點A，B后，直線PA，PB均是圓C的切線嗎？為什么？

（3）對于第（2）問的點A，B，求直線AB的方程.

ⅱ）《必修2》的“本書部分數學符號”中寫道“a∩b=A”表示“指直線a與直線b相交于點A”，“a∩α=A”表示“指直線a與平面α相交于點A”.

而《必修1》第10頁又寫道“直線l1，l2相交于一點P，可表示為l1∩l2={點P}”.

這兩者的表示不一致（顯然《必修1》的表示規范些，《必修2》的表示是一種約定俗成），建議《必修2》中第一次出現這種表述時（在第43頁例1的解答中），以旁注的形式作出說明：在立體幾何中，為了簡便，就把“a∩α={點A}”，“a∩l={點P}”分別寫成“a∩α=A”、“a∩l=P”，等等.3 對《必修5》的又2條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）（本文簡稱《必修5》）再給出以下2條修改建議.

ⅰ）建議把《必修5》第27頁的敘述“數列可以看成定義在正整數集或其有限子集上的函數”改為“數列可以看成定義在正整數集或其有限子集{1，2，…，n}上的函數當自變量從小到大取值時對應的一列函數值”.

ⅱ）建議把《必修5》第46頁第4題中的“所有各邊”改成“各邊”.4 對《選修21》的又4條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修21·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文簡稱《選修21》）再給出以下4條修改建議.

ⅰ）建議對《選修21》第37頁習題2.1的B組第1題作改動.

這道題是：

過點P（3，4）的動直線與兩坐標軸的交點分別為A，B，過A，B分別作兩軸的垂線交于點M，求點M的軌跡方程.

與《選修21》配套使用的《教師教學用書》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《教師用書21》，下同）第40頁給出的解答如下：

由題意，設經過點P的直線l的方程為xa+yb=1.因直線l過點P（3，4），則3a+4b=1，即ab-4a-3b=0.由已知點M的坐標為（a，b），故點M的軌跡方程為xy-4x-3y=0.

筆者認為解答本題須分類討論.

可不妨設點A，B分別在x軸，y軸上.須分兩種情形來求解：

（1）若過點A作y軸的垂線，則過點B作x軸的垂線，則兩垂線的交點M就是坐標原點O（0，0），得此時點M的軌跡方程為x2+y2=0.

（2）若過點A作x軸的垂線，則過點B作y軸的垂線，又分兩種情形：

①當過點P的動直線過坐標原點O時，得點O，A，B，M重合，所以M（0，0）.

②當過點P的動直線不過坐標原點O時，可設該動直線的方程為xa+yb=1，得M（a，b）.

因直線l過點P（3，4），所以3a+4b=1，即ab-4a-3b=0（ab≠0）.

總之，可得點M的軌跡方程為xy-4x-3y=0.

筆者建議把這道題改述為：

過點P（3，4）的動直線與x軸，y軸的交點分別為A，B，過點A，B分別作x軸，y軸的垂線交于點M，求點M的軌跡方程.

另解1 設點M（x，y），則A（x，0），B（0，y），AP=（3-x，4），BP=（3，4-y）.

因為AP∥BP，所以（4-y）（3-x）=3×4，即xy-4x-3y=0，此即點M的軌跡方程.

另解2 可設直線ABP的方程為y-4=k（x-3）（k≠0），得A3-4k，0，B（0，4-3k）.

設點M（x，y），得A（x，0），B（0，y），所以x=3-4k，y=4-3k，消去參數k，得點M的軌跡方程為xy-4x-3y=0.

ⅱ）《教師用書21》第89頁對《選修21》第98頁第9題給出的答案中的“126”應改為“314”.

ⅲ）《教師用書21》第99頁對《選修21》第107頁第2題給出的答案“68”應改為“217”.

ⅳ）《教師用書21》第105頁給出的答案中的“a=（2-1，1）”應改為“a=（2，-1，1）”.5 對《選修22》的又3條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修22·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文簡稱《選修22》）再給出以下3條修改建議.

ⅰ）第71頁“歸納推理”的定義不對.

《選修22》第71頁寫道：

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.

筆者認為這段話是不對的：因為歸納包括完全歸納和不完全歸納.

建議把這段話改述為：

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，是不完全歸納推理（歸納推理簡稱歸納，包括完全歸納和不完全歸納）.簡言之，不完全歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.

ⅱ）建議把第81頁正文倒數第三行中的“扮演著重要角色”改為“扮演了重要角色”.

ⅲ）建議把第92頁第一段話最后一行中的“不敢肯定”改為“不能肯定”.6 對《選修23》的又6條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修23·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（本文簡稱《選修23》）再給出以下6條修改建議.

ⅰ）《教師用書23》第10頁對《選修23》第12頁第4題給出的答案是8，筆者認為應當這樣求解：每個開關有閉合、斷開兩種情形，得28=256種情形，可只考慮最下面的四個開關知，有且僅有7種斷開的情形，所以答案為256-7=249.

ⅱ）《教師用書23》第27頁對《選修23》第36頁第1題第（1）小題解答中的“P”應全部改為“p”.

ⅲ）建議把第31頁第3題中的“r”改為“k”.因為在大綱教材中二項式展開式的通項用Tr+1表示，而現行教材《選修23》第30頁中的通項用Tk+1表示.

ⅳ）《教師用書23》第30頁給出的《選修23》第41頁第1（6）題的答案“1或-1”應改為“（-1）n”，題目中最好也應添上條件“（n∈N*）”.

ⅴ）《教師用書23》第32頁《Ⅲ 自我檢測題》的第一題的第3題、第二題的第4題、第三題的第2（3）題及其參考答案分別是：

題1 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的左邊，那么不同的排法共有（ ）種.

A.60 B.48 C.36 D.24

參考答案 B.將A，B兩人作為一個整體，與C，D，E三人一起進行排列，得到不同的排法A44種.

題2 32+1250的二項展開式中，有理項共有 項.

參考答案 4.32+1250的二項展開式的通項是Tk+1=Ck50（3x）50-k（x）-k=Ck50x100-5k6，在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50時，100-5k6取正整數，即有理項有9項.

題3 現有6本書，如果平均分成三個組，求分法種數.

參考答案 C36×C23÷A33=10（種）.

筆者對參考答案的分析

對于題1，答案顯然是D（原書是印刷錯誤）.

對于題2，答案應改為：

9.32+1250的二項展開式的通項是

Tk+1=Ck50（32）50-k（2）-k=Ck502100-5k6.

在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50時，100-5k6取正整數，即有理項有9項.

對于題3，原解法顯然是錯誤的.這是典型的平均分組問題，答案為C26C24C22A33=15（種）.

ⅵ）對第53頁例2解法的商榷.

《選修23》第52頁介紹了下面兩個條件概率公式：

①若A，B為兩個事件，且P（A）>；0，則P（BA）=P（AB）P（A）；

②若B和C是兩個互斥事件，則P（B∪CA）=P（BA）+P（CA）.

《選修23》第53頁的例2及其解法是：

例2 一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可從0～9中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，求：

（1）任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率；

（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率.

解 設“第i次按對密碼”為事件Ai（i=1，2），則A=A1∪（A1A2）表示“不超過2次就按對密碼”.

（1）因為事件A1與A1A2互斥，由概率的加法公式得

P（A）=P（A1）+P（A1A2）=110+9×110×9=15.

（2）設“最后一位按偶數”為事件B，則

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=15+4×15×4=25.

顯然，第（2）問是條件概率，以上求解中先用的是條件概率公式②，但接下來求兩個條件概率P（A1B），P（A1A2B）時并沒有用條件概率公式①，而是直接按古典概型的計算公式來求解的.

接下來，若按條件概率公式①，得

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=P（A1B）P（B）+P（A1A2B）P（B）請注意，該式中的兩個“P（B）”的含義是不一樣的：前者表示“第一次按數字時按的是偶數”，所以P（B）=510=12；后者表示“第一次、第二次按數字時按的均是偶數”，所以P（B）=5×410×9=29.所以原解法應予以糾正（不能使用條件概率公式②求解）.

可這樣用條件概率公式①來求解第（2）問：

設“第i次按對密碼”為事件Ai（i=1，2），“第一次按數字時按的是偶數”為事件B，“第一次、第二次按數字時按的均是偶數”為事件C，則所求概率為

P（A1B）+P（A1A2C）=P（A1B）P（B）+P（A1A2C）P（C）=110510+4×110×95×410×9=15+4×15×4=25。7 對《選修41》的又1條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修41·A版·幾何證明選講》（人民教育出版社，2007年第2版）（本文簡稱《選修41》）再給出以下1條修改建議.

在第22頁的習題1.4中，“（第2題）”的圖形應刪去，“（第3題）”的圖即“（第2題）”的圖.

ⅱ）《教師用書21》第89頁對《選修21》第98頁第9題給出的答案中的“126”應改為“314”.

ⅲ）《教師用書21》第99頁對《選修21》第107頁第2題給出的答案“68”應改為“217”.

ⅳ）《教師用書21》第105頁給出的答案中的“a=（2-1，1）”應改為“a=（2，-1，1）”.5 對《選修22》的又3條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修22·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文簡稱《選修22》）再給出以下3條修改建議.

ⅰ）第71頁“歸納推理”的定義不對.

《選修22》第71頁寫道：

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.

筆者認為這段話是不對的：因為歸納包括完全歸納和不完全歸納.

建議把這段話改述為：

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，是不完全歸納推理（歸納推理簡稱歸納，包括完全歸納和不完全歸納）.簡言之，不完全歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.

ⅱ）建議把第81頁正文倒數第三行中的“扮演著重要角色”改為“扮演了重要角色”.

ⅲ）建議把第92頁第一段話最后一行中的“不敢肯定”改為“不能肯定”.6 對《選修23》的又6條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修23·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（本文簡稱《選修23》）再給出以下6條修改建議.

ⅰ）《教師用書23》第10頁對《選修23》第12頁第4題給出的答案是8，筆者認為應當這樣求解：每個開關有閉合、斷開兩種情形，得28=256種情形，可只考慮最下面的四個開關知，有且僅有7種斷開的情形，所以答案為256-7=249.

ⅱ）《教師用書23》第27頁對《選修23》第36頁第1題第（1）小題解答中的“P”應全部改為“p”.

ⅲ）建議把第31頁第3題中的“r”改為“k”.因為在大綱教材中二項式展開式的通項用Tr+1表示，而現行教材《選修23》第30頁中的通項用Tk+1表示.

ⅳ）《教師用書23》第30頁給出的《選修23》第41頁第1（6）題的答案“1或-1”應改為“（-1）n”，題目中最好也應添上條件“（n∈N*）”.

ⅴ）《教師用書23》第32頁《Ⅲ 自我檢測題》的第一題的第3題、第二題的第4題、第三題的第2（3）題及其參考答案分別是：

題1 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的左邊，那么不同的排法共有（ ）種.

A.60 B.48 C.36 D.24

參考答案 B.將A，B兩人作為一個整體，與C，D，E三人一起進行排列，得到不同的排法A44種.

題2 32+1250的二項展開式中，有理項共有 項.

參考答案 4.32+1250的二項展開式的通項是Tk+1=Ck50（3x）50-k（x）-k=Ck50x100-5k6，在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50時，100-5k6取正整數，即有理項有9項.

題3 現有6本書，如果平均分成三個組，求分法種數.

參考答案 C36×C23÷A33=10（種）.

筆者對參考答案的分析

對于題1，答案顯然是D（原書是印刷錯誤）.

對于題2，答案應改為：

9.32+1250的二項展開式的通項是

Tk+1=Ck50（32）50-k（2）-k=Ck502100-5k6.

在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50時，100-5k6取正整數，即有理項有9項.

對于題3，原解法顯然是錯誤的.這是典型的平均分組問題，答案為C26C24C22A33=15（種）.

ⅵ）對第53頁例2解法的商榷.

《選修23》第52頁介紹了下面兩個條件概率公式：

①若A，B為兩個事件，且P（A）>；0，則P（BA）=P（AB）P（A）；

②若B和C是兩個互斥事件，則P（B∪CA）=P（BA）+P（CA）.

《選修23》第53頁的例2及其解法是：

例2 一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可從0～9中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，求：

（1）任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率；

（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率.

解 設“第i次按對密碼”為事件Ai（i=1，2），則A=A1∪（A1A2）表示“不超過2次就按對密碼”.

（1）因為事件A1與A1A2互斥，由概率的加法公式得

P（A）=P（A1）+P（A1A2）=110+9×110×9=15.

（2）設“最后一位按偶數”為事件B，則

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=15+4×15×4=25.

顯然，第（2）問是條件概率，以上求解中先用的是條件概率公式②，但接下來求兩個條件概率P（A1B），P（A1A2B）時并沒有用條件概率公式①，而是直接按古典概型的計算公式來求解的.

接下來，若按條件概率公式①，得

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=P（A1B）P（B）+P（A1A2B）P（B）請注意，該式中的兩個“P（B）”的含義是不一樣的：前者表示“第一次按數字時按的是偶數”，所以P（B）=510=12；后者表示“第一次、第二次按數字時按的均是偶數”，所以P（B）=5×410×9=29.所以原解法應予以糾正（不能使用條件概率公式②求解）.

可這樣用條件概率公式①來求解第（2）問：

設“第i次按對密碼”為事件Ai（i=1，2），“第一次按數字時按的是偶數”為事件B，“第一次、第二次按數字時按的均是偶數”為事件C，則所求概率為

P（A1B）+P（A1A2C）=P（A1B）P（B）+P（A1A2C）P（C）=110510+4×110×95×410×9=15+4×15×4=25。7 對《選修41》的又1條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修41·A版·幾何證明選講》（人民教育出版社，2007年第2版）（本文簡稱《選修41》）再給出以下1條修改建議.

在第22頁的習題1.4中，“（第2題）”的圖形應刪去，“（第3題）”的圖即“（第2題）”的圖.

ⅱ）《教師用書21》第89頁對《選修21》第98頁第9題給出的答案中的“126”應改為“314”.

ⅲ）《教師用書21》第99頁對《選修21》第107頁第2題給出的答案“68”應改為“217”.

ⅳ）《教師用書21》第105頁給出的答案中的“a=（2-1，1）”應改為“a=（2，-1，1）”.5 對《選修22》的又3條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修22·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）（本文簡稱《選修22》）再給出以下3條修改建議.

ⅰ）第71頁“歸納推理”的定義不對.

《選修22》第71頁寫道：

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.

筆者認為這段話是不對的：因為歸納包括完全歸納和不完全歸納.

建議把這段話改述為：

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出這類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，是不完全歸納推理（歸納推理簡稱歸納，包括完全歸納和不完全歸納）.簡言之，不完全歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.

ⅱ）建議把第81頁正文倒數第三行中的“扮演著重要角色”改為“扮演了重要角色”.

ⅲ）建議把第92頁第一段話最后一行中的“不敢肯定”改為“不能肯定”.6 對《選修23》的又6條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修23·A版》（人民教育出版社2009年第3版）（本文簡稱《選修23》）再給出以下6條修改建議.

ⅰ）《教師用書23》第10頁對《選修23》第12頁第4題給出的答案是8，筆者認為應當這樣求解：每個開關有閉合、斷開兩種情形，得28=256種情形，可只考慮最下面的四個開關知，有且僅有7種斷開的情形，所以答案為256-7=249.

ⅱ）《教師用書23》第27頁對《選修23》第36頁第1題第（1）小題解答中的“P”應全部改為“p”.

ⅲ）建議把第31頁第3題中的“r”改為“k”.因為在大綱教材中二項式展開式的通項用Tr+1表示，而現行教材《選修23》第30頁中的通項用Tk+1表示.

ⅳ）《教師用書23》第30頁給出的《選修23》第41頁第1（6）題的答案“1或-1”應改為“（-1）n”，題目中最好也應添上條件“（n∈N*）”.

ⅴ）《教師用書23》第32頁《Ⅲ 自我檢測題》的第一題的第3題、第二題的第4題、第三題的第2（3）題及其參考答案分別是：

題1 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的左邊，那么不同的排法共有（ ）種.

A.60 B.48 C.36 D.24

參考答案 B.將A，B兩人作為一個整體，與C，D，E三人一起進行排列，得到不同的排法A44種.

題2 32+1250的二項展開式中，有理項共有 項.

參考答案 4.32+1250的二項展開式的通項是Tk+1=Ck50（3x）50-k（x）-k=Ck50x100-5k6，在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50時，100-5k6取正整數，即有理項有9項.

題3 現有6本書，如果平均分成三個組，求分法種數.

參考答案 C36×C23÷A33=10（種）.

筆者對參考答案的分析

對于題1，答案顯然是D（原書是印刷錯誤）.

對于題2，答案應改為：

9.32+1250的二項展開式的通項是

Tk+1=Ck50（32）50-k（2）-k=Ck502100-5k6.

在k=2，8，14，20，26，32，38，44，50時，100-5k6取正整數，即有理項有9項.

對于題3，原解法顯然是錯誤的.這是典型的平均分組問題，答案為C26C24C22A33=15（種）.

ⅵ）對第53頁例2解法的商榷.

《選修23》第52頁介紹了下面兩個條件概率公式：

①若A，B為兩個事件，且P（A）>；0，則P（BA）=P（AB）P（A）；

②若B和C是兩個互斥事件，則P（B∪CA）=P（BA）+P（CA）.

《選修23》第53頁的例2及其解法是：

例2 一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可從0～9中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，求：

（1）任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率；

（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率.

解 設“第i次按對密碼”為事件Ai（i=1，2），則A=A1∪（A1A2）表示“不超過2次就按對密碼”.

（1）因為事件A1與A1A2互斥，由概率的加法公式得

P（A）=P（A1）+P（A1A2）=110+9×110×9=15.

（2）設“最后一位按偶數”為事件B，則

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=15+4×15×4=25.

顯然，第（2）問是條件概率，以上求解中先用的是條件概率公式②，但接下來求兩個條件概率P（A1B），P（A1A2B）時并沒有用條件概率公式①，而是直接按古典概型的計算公式來求解的.

接下來，若按條件概率公式①，得

P（AB）=P（A1B）+P（A1A2B）=P（A1B）P（B）+P（A1A2B）P（B）請注意，該式中的兩個“P（B）”的含義是不一樣的：前者表示“第一次按數字時按的是偶數”，所以P（B）=510=12；后者表示“第一次、第二次按數字時按的均是偶數”，所以P（B）=5×410×9=29.所以原解法應予以糾正（不能使用條件概率公式②求解）.

可這樣用條件概率公式①來求解第（2）問：

設“第i次按對密碼”為事件Ai（i=1，2），“第一次按數字時按的是偶數”為事件B，“第一次、第二次按數字時按的均是偶數”為事件C，則所求概率為

P（A1B）+P（A1A2C）=P（A1B）P（B）+P（A1A2C）P（C）=110510+4×110×95×410×9=15+4×15×4=25。7 對《選修41》的又1條修改建議

對普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修41·A版·幾何證明選講》（人民教育出版社，2007年第2版）（本文簡稱《選修41》）再給出以下1條修改建議.

在第22頁的習題1.4中，“（第2題）”的圖形應刪去，“（第3題）”的圖即“（第2題）”的圖.