教學中對知識內容拓展與引申的一些思考

黃冬娟

數學課堂中，對有關知識和能力作適當的拓展和引申是數學教師應該思考的基本問題，處理得好對學生的持續發展能夠起到不可小視的作用.對一些知識加以適當的拓展與引申，不僅能使學生鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力，而且對于溝通知識的聯系、開拓思路、培養創新思維和對數學探究的興趣都十分有益.

那么如何拓展和引申？拓展和引申到什么程度？對這些問題的把握至關重要.以個人之見，我對這樣的問題提出如下幾個原則，供同行們討論.1 低門檻原則

低門檻，就是在原來知識的基礎上，作小步伐的拓展和引申，又能得到實質性的提升.這樣做，常常會在不費吹灰之力的情況下，能夠得到很漂亮的結論，而且結論很實用.

例如，在學習基本不等式時，可以考慮推廣到n元基本不等式，即對n個正數a1，a2，…，an，都有a1+a2+…+ann≥na1a2…an（當且僅當a1=a2=…=an時，取得等號），這對將來進一步學習數學，具有重要意義.比如，有一類函數需要通過導數來研究函數的最值問題，如果有了推廣的基本不等式，就方便多了.

再如，函數y=x+ax是高中階段經常討論的，其實在學習函數性質（單調性和奇偶性）時，就完全可以把這樣的函數研究得比較透徹.在學習基本不等式的時候，可以進一步探討，來印證原來研究所得的結論.到了學習導數的時候，又有了更新的方法來研究這樣的函數.通過這樣幾個不同的階段來研究這樣的函數，那么對這樣的函數或者涉及這樣函數的問題，我們會把問題搞得十分清楚.2 類比性原則

數學中有很多結論可以通過類比猜想得到，當然不是盲目的猜想，是需要證明的.經常引導學生通過觀察類比，有助于培養和提高學生的思維品質.

例如，我們知道，如果點P（x0，y0）在⊙C：x2+y2=r2上，則方程x0x+y0y=r2表示過點P的⊙C的切線.其實這個結論完全可以類比到橢圓、雙曲線和拋物線這些圓錐曲線中，而且利用這樣的結論還可以得到圓錐曲線非常有趣的光學性質，學生會很有興趣的.在實際和科學技術上也得到了廣泛的應用.

再如，在平面直角坐標系中，直線可以用關于x，y的二元一次方程來表示，點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d=Ax0+By0+CA2+B2.類比到空間直角坐標系中，平面可以用關于x，y，z的三元一次方程來表示，點P（x0，y0，z0）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距離為d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.一般用向量的方法來求點到平面的距離的時候，有相當一部分問題都可以用這個公式來進行.3 趣味性原則

有相當一部分學生對數學的內容之多，已經覺得很累了，老師還要增加教材和考綱中沒有的東西，多無聊啊.所以我們應該拓展一些學生普遍都比較感興趣的內容，這樣才能取得良好的效果.

例如，利用導數研究三次函數問題是常見問題，資料上出現的頻率也很高，三次函數的形式本身不復雜，為什么很少有老師舍得花一點時間和學生一起來探討研究一下三次函數的圖像與性質呢？如果作一點研究后會發現：其圖像很規則，性質很穩定，尤其是圖像關于拐點對稱（這個性質可以解決一類流行性競賽題）.

再如，在圓錐曲線的一些綜合問題中，時常會從中發現、提煉出一些非常有趣的圓錐曲線具有普遍意義的共同的性質，結論真是太漂亮了，學生對這樣的探究也頗感興趣.經常做一些這樣的工作，對培養學生探究的熱情、培養學生對數學的學習興趣，是十分有益的.4 實用性原則

我們對一些知識作適當的拓展和引申，其很重要的一個因素是拓展和引申出來的東西有用嗎？這也會是學生經常會關注的問題.這樣的工作做得好，會對數學教學起到很重要的作用.學生對學到的東西會覺得學以致用，有成就感.

例如，圓錐曲線問題中，常常出現圓錐曲線上的點到焦點的線段（簡稱焦半徑）長度距離問題，利用圓錐曲線的第二定義，可以輕松地得到焦半徑公式，使用十分便捷.只是橢圓和雙曲線的焦半徑公式容易混淆，不易記憶，我們只要充分理解公式的由來，就可以方便的解題.

再如，從等差數列的通項公式與求和公式的代數形式上觀察，我們不難歸納出公式的另外一種形式，即an=An+B，Sn=An2+Bn.這種形式更加體現了數列函數的屬性，在解決相關問題時很實用.5 分階段原則

有些問題的拓展和引申，是循序漸進的，從學生的認知水平和知識水平上來說，都不能一下子到達一定的高度，這就需要在幾個不同的階段，對該問題作不同程度的拓展和引申.

例如，在高中數學必修1教材中有這樣兩個問題：

（1）已知函數f（x）=10x，x∈R，對任意x1，x2∈R，試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大小；

（2）已知函數f（x）=lgx，x∈（0，+∞），對任意x1，x2∈（0，+∞），試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大小；

這兩個問題，在基本不等式內容之前出現，似乎著急了一點，但是在教師的引導下，可以克服這個小小的遺憾.其實這兩個問題的出現，編者的真實意圖是想讓學生在大小關系的結論中，進一步體會圖像的凸性與大小的關系（盡管圖像的凸性不是教材要求內容），教師在引導解完問題后應該及時揭示，而這個圖像的凸性在圖像中是非常直觀的，但是在理論上如何進一步的研究函數圖像的凸性，學習了導數就不難發現函數圖像的凸性與函數的二階導數的符號有著密切的關系.

其實，在以上的一些例子中不難發現，有些例子同時符合幾個原則，那就體現了這些例子的拓展和引申更具有意義.哪些知識在課堂中值得拓展和引申、拓展和引申到什么程度？應該是教育長期探討研究的問題，總體應該符合以學生為本，以學生得到充分發展為前提.

數學課堂中，對有關知識和能力作適當的拓展和引申是數學教師應該思考的基本問題，處理得好對學生的持續發展能夠起到不可小視的作用.對一些知識加以適當的拓展與引申，不僅能使學生鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力，而且對于溝通知識的聯系、開拓思路、培養創新思維和對數學探究的興趣都十分有益.

那么如何拓展和引申？拓展和引申到什么程度？對這些問題的把握至關重要.以個人之見，我對這樣的問題提出如下幾個原則，供同行們討論.1 低門檻原則

低門檻，就是在原來知識的基礎上，作小步伐的拓展和引申，又能得到實質性的提升.這樣做，常常會在不費吹灰之力的情況下，能夠得到很漂亮的結論，而且結論很實用.

例如，在學習基本不等式時，可以考慮推廣到n元基本不等式，即對n個正數a1，a2，…，an，都有a1+a2+…+ann≥na1a2…an（當且僅當a1=a2=…=an時，取得等號），這對將來進一步學習數學，具有重要意義.比如，有一類函數需要通過導數來研究函數的最值問題，如果有了推廣的基本不等式，就方便多了.

再如，函數y=x+ax是高中階段經常討論的，其實在學習函數性質（單調性和奇偶性）時，就完全可以把這樣的函數研究得比較透徹.在學習基本不等式的時候，可以進一步探討，來印證原來研究所得的結論.到了學習導數的時候，又有了更新的方法來研究這樣的函數.通過這樣幾個不同的階段來研究這樣的函數，那么對這樣的函數或者涉及這樣函數的問題，我們會把問題搞得十分清楚.2 類比性原則

數學中有很多結論可以通過類比猜想得到，當然不是盲目的猜想，是需要證明的.經常引導學生通過觀察類比，有助于培養和提高學生的思維品質.

例如，我們知道，如果點P（x0，y0）在⊙C：x2+y2=r2上，則方程x0x+y0y=r2表示過點P的⊙C的切線.其實這個結論完全可以類比到橢圓、雙曲線和拋物線這些圓錐曲線中，而且利用這樣的結論還可以得到圓錐曲線非常有趣的光學性質，學生會很有興趣的.在實際和科學技術上也得到了廣泛的應用.

再如，在平面直角坐標系中，直線可以用關于x，y的二元一次方程來表示，點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d=Ax0+By0+CA2+B2.類比到空間直角坐標系中，平面可以用關于x，y，z的三元一次方程來表示，點P（x0，y0，z0）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距離為d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.一般用向量的方法來求點到平面的距離的時候，有相當一部分問題都可以用這個公式來進行.3 趣味性原則

有相當一部分學生對數學的內容之多，已經覺得很累了，老師還要增加教材和考綱中沒有的東西，多無聊啊.所以我們應該拓展一些學生普遍都比較感興趣的內容，這樣才能取得良好的效果.

例如，利用導數研究三次函數問題是常見問題，資料上出現的頻率也很高，三次函數的形式本身不復雜，為什么很少有老師舍得花一點時間和學生一起來探討研究一下三次函數的圖像與性質呢？如果作一點研究后會發現：其圖像很規則，性質很穩定，尤其是圖像關于拐點對稱（這個性質可以解決一類流行性競賽題）.

再如，在圓錐曲線的一些綜合問題中，時常會從中發現、提煉出一些非常有趣的圓錐曲線具有普遍意義的共同的性質，結論真是太漂亮了，學生對這樣的探究也頗感興趣.經常做一些這樣的工作，對培養學生探究的熱情、培養學生對數學的學習興趣，是十分有益的.4 實用性原則

我們對一些知識作適當的拓展和引申，其很重要的一個因素是拓展和引申出來的東西有用嗎？這也會是學生經常會關注的問題.這樣的工作做得好，會對數學教學起到很重要的作用.學生對學到的東西會覺得學以致用，有成就感.

例如，圓錐曲線問題中，常常出現圓錐曲線上的點到焦點的線段（簡稱焦半徑）長度距離問題，利用圓錐曲線的第二定義，可以輕松地得到焦半徑公式，使用十分便捷.只是橢圓和雙曲線的焦半徑公式容易混淆，不易記憶，我們只要充分理解公式的由來，就可以方便的解題.

再如，從等差數列的通項公式與求和公式的代數形式上觀察，我們不難歸納出公式的另外一種形式，即an=An+B，Sn=An2+Bn.這種形式更加體現了數列函數的屬性，在解決相關問題時很實用.5 分階段原則

有些問題的拓展和引申，是循序漸進的，從學生的認知水平和知識水平上來說，都不能一下子到達一定的高度，這就需要在幾個不同的階段，對該問題作不同程度的拓展和引申.

例如，在高中數學必修1教材中有這樣兩個問題：

（1）已知函數f（x）=10x，x∈R，對任意x1，x2∈R，試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大小；

（2）已知函數f（x）=lgx，x∈（0，+∞），對任意x1，x2∈（0，+∞），試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大小；

這兩個問題，在基本不等式內容之前出現，似乎著急了一點，但是在教師的引導下，可以克服這個小小的遺憾.其實這兩個問題的出現，編者的真實意圖是想讓學生在大小關系的結論中，進一步體會圖像的凸性與大小的關系（盡管圖像的凸性不是教材要求內容），教師在引導解完問題后應該及時揭示，而這個圖像的凸性在圖像中是非常直觀的，但是在理論上如何進一步的研究函數圖像的凸性，學習了導數就不難發現函數圖像的凸性與函數的二階導數的符號有著密切的關系.

其實，在以上的一些例子中不難發現，有些例子同時符合幾個原則，那就體現了這些例子的拓展和引申更具有意義.哪些知識在課堂中值得拓展和引申、拓展和引申到什么程度？應該是教育長期探討研究的問題，總體應該符合以學生為本，以學生得到充分發展為前提.

數學課堂中，對有關知識和能力作適當的拓展和引申是數學教師應該思考的基本問題，處理得好對學生的持續發展能夠起到不可小視的作用.對一些知識加以適當的拓展與引申，不僅能使學生鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力，而且對于溝通知識的聯系、開拓思路、培養創新思維和對數學探究的興趣都十分有益.

那么如何拓展和引申？拓展和引申到什么程度？對這些問題的把握至關重要.以個人之見，我對這樣的問題提出如下幾個原則，供同行們討論.1 低門檻原則

低門檻，就是在原來知識的基礎上，作小步伐的拓展和引申，又能得到實質性的提升.這樣做，常常會在不費吹灰之力的情況下，能夠得到很漂亮的結論，而且結論很實用.

例如，在學習基本不等式時，可以考慮推廣到n元基本不等式，即對n個正數a1，a2，…，an，都有a1+a2+…+ann≥na1a2…an（當且僅當a1=a2=…=an時，取得等號），這對將來進一步學習數學，具有重要意義.比如，有一類函數需要通過導數來研究函數的最值問題，如果有了推廣的基本不等式，就方便多了.

再如，函數y=x+ax是高中階段經常討論的，其實在學習函數性質（單調性和奇偶性）時，就完全可以把這樣的函數研究得比較透徹.在學習基本不等式的時候，可以進一步探討，來印證原來研究所得的結論.到了學習導數的時候，又有了更新的方法來研究這樣的函數.通過這樣幾個不同的階段來研究這樣的函數，那么對這樣的函數或者涉及這樣函數的問題，我們會把問題搞得十分清楚.2 類比性原則

數學中有很多結論可以通過類比猜想得到，當然不是盲目的猜想，是需要證明的.經常引導學生通過觀察類比，有助于培養和提高學生的思維品質.

例如，我們知道，如果點P（x0，y0）在⊙C：x2+y2=r2上，則方程x0x+y0y=r2表示過點P的⊙C的切線.其實這個結論完全可以類比到橢圓、雙曲線和拋物線這些圓錐曲線中，而且利用這樣的結論還可以得到圓錐曲線非常有趣的光學性質，學生會很有興趣的.在實際和科學技術上也得到了廣泛的應用.

再如，在平面直角坐標系中，直線可以用關于x，y的二元一次方程來表示，點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離為d=Ax0+By0+CA2+B2.類比到空間直角坐標系中，平面可以用關于x，y，z的三元一次方程來表示，點P（x0，y0，z0）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距離為d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2.一般用向量的方法來求點到平面的距離的時候，有相當一部分問題都可以用這個公式來進行.3 趣味性原則

有相當一部分學生對數學的內容之多，已經覺得很累了，老師還要增加教材和考綱中沒有的東西，多無聊啊.所以我們應該拓展一些學生普遍都比較感興趣的內容，這樣才能取得良好的效果.

例如，利用導數研究三次函數問題是常見問題，資料上出現的頻率也很高，三次函數的形式本身不復雜，為什么很少有老師舍得花一點時間和學生一起來探討研究一下三次函數的圖像與性質呢？如果作一點研究后會發現：其圖像很規則，性質很穩定，尤其是圖像關于拐點對稱（這個性質可以解決一類流行性競賽題）.

再如，在圓錐曲線的一些綜合問題中，時常會從中發現、提煉出一些非常有趣的圓錐曲線具有普遍意義的共同的性質，結論真是太漂亮了，學生對這樣的探究也頗感興趣.經常做一些這樣的工作，對培養學生探究的熱情、培養學生對數學的學習興趣，是十分有益的.4 實用性原則

我們對一些知識作適當的拓展和引申，其很重要的一個因素是拓展和引申出來的東西有用嗎？這也會是學生經常會關注的問題.這樣的工作做得好，會對數學教學起到很重要的作用.學生對學到的東西會覺得學以致用，有成就感.

例如，圓錐曲線問題中，常常出現圓錐曲線上的點到焦點的線段（簡稱焦半徑）長度距離問題，利用圓錐曲線的第二定義，可以輕松地得到焦半徑公式，使用十分便捷.只是橢圓和雙曲線的焦半徑公式容易混淆，不易記憶，我們只要充分理解公式的由來，就可以方便的解題.

再如，從等差數列的通項公式與求和公式的代數形式上觀察，我們不難歸納出公式的另外一種形式，即an=An+B，Sn=An2+Bn.這種形式更加體現了數列函數的屬性，在解決相關問題時很實用.5 分階段原則

有些問題的拓展和引申，是循序漸進的，從學生的認知水平和知識水平上來說，都不能一下子到達一定的高度，這就需要在幾個不同的階段，對該問題作不同程度的拓展和引申.

例如，在高中數學必修1教材中有這樣兩個問題：

（1）已知函數f（x）=10x，x∈R，對任意x1，x2∈R，試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大小；

（2）已知函數f（x）=lgx，x∈（0，+∞），對任意x1，x2∈（0，+∞），試比較f（x1）+f（x2）2與f（x1+x22）的大小；

這兩個問題，在基本不等式內容之前出現，似乎著急了一點，但是在教師的引導下，可以克服這個小小的遺憾.其實這兩個問題的出現，編者的真實意圖是想讓學生在大小關系的結論中，進一步體會圖像的凸性與大小的關系（盡管圖像的凸性不是教材要求內容），教師在引導解完問題后應該及時揭示，而這個圖像的凸性在圖像中是非常直觀的，但是在理論上如何進一步的研究函數圖像的凸性，學習了導數就不難發現函數圖像的凸性與函數的二階導數的符號有著密切的關系.

其實，在以上的一些例子中不難發現，有些例子同時符合幾個原則，那就體現了這些例子的拓展和引申更具有意義.哪些知識在課堂中值得拓展和引申、拓展和引申到什么程度？應該是教育長期探討研究的問題，總體應該符合以學生為本，以學生得到充分發展為前提.