解題過程的正確性源于數(shù)學(xué)理解的準(zhǔn)確性

劉希棟

在解決含x型的問題時，將數(shù)學(xué)式子兩邊平方是常見的一個變形，但由于“a=b”與“a2=b2”不等價，因此關(guān)注變形前后數(shù)學(xué)式子的等價性往往都引起師生的關(guān)注，但教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，如何準(zhǔn)確把握其中的等價性，師生在行為方面常常落后于意識方面（宏觀層面）的情況時有發(fā)生，究其原因，不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵在于沒有精準(zhǔn)弄清這種變形中造成等價性的具體所在（微觀層面），而這正是教學(xué)應(yīng)關(guān)注之處.本文擬對發(fā)生在高中教學(xué)實踐與研究中的幾個問題加以解析，以期對“等價性”教學(xué)有所幫助.1 教師的困惑

對于問題“若直線y=x+b與曲線y=1-x2有且僅有兩個公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（ ）.

A.（-2，2） B.[1，2）

C.[1，2]D.（-1，1）”正確答案B.

文[1]對下面的解法感到困惑：

“直線y=x+b與曲線y=1-x2有且僅有兩個公共點方程組y=x+b，

y=1-x2，有兩個不同實數(shù)解方程x+b=1-x2有兩個不同實數(shù)解方程2x2+2bx+b2-1=0在[-1，1]內(nèi)有兩個不同的解，令f（x）=2x2+2bx+b2-1，則問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象在[-1，1]內(nèi)與x軸有兩個交點，結(jié)合圖象知：

Δ=（2b）2-4×2×（b2-1）>；0，

-1<；b2<；1，

f（-1）≥0，

f（1）≥0，-2<；b<；2，

-2<；b<；2，

b∈R，

b∈R，-2<；b<；2，應(yīng)選A.”

解析 將x+b=1-x2“兩邊平方”，誰的取值范圍會變化？唯有x+b，故上述解題中“方程x+b=1-x2有兩個不同的實數(shù)解方程2x2+2bx+b2-1=0在[-1，1]內(nèi)有兩個不同的解”這一步是錯的，應(yīng)該是：

“方程x+b=1-x2有兩個不同的實數(shù)解”“x+b≥0，

2x2+2bx+b2-1=0，有兩個不同的解”，即2x2+2bx+b2-1=0在[-b，+∞）內(nèi)有兩個不同的解.

這樣可令f（x）=2x2+2bx+b2-1，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象在[-b，+∞）內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，結(jié)合圖形知：

Δ=（2b）2-4×2×（b2-1）>；0，

-b2>；-b，

f（-b）≥0，得-2<；b<；2，

b>；0，

b≥1或b≤-1，，故1≤b<；2，選B.

需要說明的是：方程2x2+2bx+b2-1=0，即（x+b）2=1-x2，只要該方程有兩個不同的實數(shù)解，由于自身隱含1-x2=（x+b）2≥0，其解必都在[-1，1]內(nèi)，刻意標(biāo)注“兩個實數(shù)解都在[-1，1]內(nèi)”，既會干擾，又是多余.在解題過程中，方程變形的這一步（x+b）2=1-x2不要省去.其次，方程兩邊平方導(dǎo)致x+b=1-x2與2x2+2bx+b2-1=0不等價，務(wù)必注意一定利用x+b≥0這一限制因素.2 學(xué)生的不足

文[2]從不同途徑，活用解題理論，研究問題（2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2題）函數(shù)y=x2+1x-1的值域.片斷如下：

“擬定計劃：

教師：函數(shù)與方程有著緊密的聯(lián)系，能否對此提出你的思考？

學(xué)生：以前我們經(jīng)常將分式函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題，用判別式法解決，本題平方后未知數(shù)的次數(shù)正好是二次，我覺得可以試一試.

實現(xiàn)計劃：

學(xué)生：y=x2+1x-1等價于y（x-1）=x2+1，

x≠1，

y（x-1）≥1.

第一個式子兩邊平方整理得（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，若y2-1=0，則x=0，此時，y=-1成立；若y2-1≠0，則Δ≥0，即4y4-4（y2-1）2≥0，得y≤-22或y≥22.檢驗：當(dāng)x<；1時，y<；0；當(dāng)x>；1時，y>；1.

所以函數(shù)的值域為（-∞，-22]∪（1，+∞）.

解題回顧與解題感受：

學(xué)生：上述求解是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，但要特別注意變形前后的限制范圍，否則問題可能不等價，因此學(xué)習(xí)過程中我們必須養(yǎng)成細(xì)心謹(jǐn)慎的習(xí)慣.”

解析 從“y=x2+1x-1等價于y（x-1）=x2+1，

x≠1，

y（x-1）≥1.”變形中可以看出學(xué)生對等價變形謹(jǐn)慎有余，這一步變形是去分母，應(yīng)該是：y=x2+1x-1等價于y（x-1）=x2+1，

x≠1.，注意到x2+1≥1，也就是y=x2+1x-1等價于y（x-1）=x2+1，平方后等價變形為（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，

y（x-1）≥0.

即“存在x滿足y2-1=0，

（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，

y（x-1）≥0. 或y2-1≠0，

（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，

y（x-1）≥0.”

前者解得x=0，y=-1；后者為y2-1≠0，

Δ=8y2-4≥0，

y·1+2y2-12（y2-1）≥0或y·1-2y2-12（y2-1）≥0.

注意到y(tǒng)·1-2y2-12（y2-1）=-y1+2y2-1，解得y>；1或y≤-22且y≠-1.

綜上可得y的取值范圍是（-∞，-22]∪（1，+∞），此即函數(shù)的值域.

學(xué)生“檢驗”階段可以理解為依據(jù)原始式子y=x2+1x-1，但顯得粗糙不足.

3 滑過的教學(xué)

文[3]中用“利用方程有解條件法”求函數(shù)值域，引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新，主觀意識是值得肯定的，但例6解題“過程”留下遺憾，摘錄如下：

“例6求函數(shù)y=4-x+2x-4的值域.

解：此函數(shù)定義域是2≤x≤4，設(shè)t=4-x，則x=4-t2（0≤t≤2），

原函數(shù)式可化為y=t+4-2t2（0≤t≤2），視為關(guān)于t的方程，它等價于（y-t）2=4-2t2，

y-t≥0，

0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0，

y-t≥0，

0≤t≤2.②

設(shè)f（t）=3t2-2yt+y2-4，其對稱軸為t=y3，關(guān)于t的方程②在[0，2]上有解的充要條件是

Δ=4y2-12（y2-4）≥0，

0<；y3<；2，

f（0）=y2-4≥0.③或4y2-12（y2-4）≥0，

0<；y3<；2，

f（2）=y2-22y+2≥0.④

解得2≤y≤6.所求函數(shù)的值域為[2，6]”.

解析 上述所求值域的結(jié)論是正確的，但過程錯了.錯在認(rèn)為“關(guān)于t的方程②在[0，2]上有解的充要條件是③或④”.

實際上，上述不等式組求解的情況是這樣的，由③可得2≤y≤6，由④可得0<；y≤6，故③與④的并集是（0，6].

認(rèn)為本題中對稱軸t=y3應(yīng)該位于區(qū)間[0，2]是導(dǎo)致錯誤產(chǎn)生的原因之一.其實，研究方程②在[0，2]上有解的充要條件必須解決好y-t≥0這個問題.這也是本題用“利用方程有解條件法”求值域關(guān)鍵所在.

正確解法 方程②在[0，2]上有解的充要條件是（Δ=48-8y2≥0時先用求根公式解方程求出t）：

0≤y+12-2y23≤2，

y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2，

y≥y-12-2y23.⑥

解⑤時，可先解y≥y+12-2y23，進而求得2≤y≤6，

解⑥時，可先解0≤y-12-2y23≤2，進而求得2≤y≤6.

⑤與⑥的并集是[2，6]，所求函數(shù)的值域為[2，6].

結(jié)語 誠如文[2]所言：數(shù)學(xué)教學(xué)是一個既要“結(jié)果”，更要“過程”的思維活動，數(shù)學(xué)解題要從引導(dǎo)學(xué)生主動擬定解題方案開始，獨立思考，自主實踐，合作交流，探究問題的解答”.發(fā)現(xiàn)并矯正解題過程中的錯誤，是一種深刻的思想教育和行為規(guī)范，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生參與的積極性，同時讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“快樂”.

參考文獻

[1]汪仁林.爭鳴·問題225[J].數(shù)學(xué)通訊，2013（05，下）。

[2]李紅春.活用解題理論打造高效課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（4）。

[3]蔡永明.在求函數(shù)值域的教學(xué)中引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2001（1）.

3 滑過的教學(xué)

文[3]中用“利用方程有解條件法”求函數(shù)值域，引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新，主觀意識是值得肯定的，但例6解題“過程”留下遺憾，摘錄如下：

“例6求函數(shù)y=4-x+2x-4的值域.

解：此函數(shù)定義域是2≤x≤4，設(shè)t=4-x，則x=4-t2（0≤t≤2），

原函數(shù)式可化為y=t+4-2t2（0≤t≤2），視為關(guān)于t的方程，它等價于（y-t）2=4-2t2，

y-t≥0，

0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0，

y-t≥0，

0≤t≤2.②

設(shè)f（t）=3t2-2yt+y2-4，其對稱軸為t=y3，關(guān)于t的方程②在[0，2]上有解的充要條件是

Δ=4y2-12（y2-4）≥0，

0<；y3<；2，

f（0）=y2-4≥0.③或4y2-12（y2-4）≥0，

0<；y3<；2，

f（2）=y2-22y+2≥0.④

解得2≤y≤6.所求函數(shù)的值域為[2，6]”.

解析 上述所求值域的結(jié)論是正確的，但過程錯了.錯在認(rèn)為“關(guān)于t的方程②在[0，2]上有解的充要條件是③或④”.

實際上，上述不等式組求解的情況是這樣的，由③可得2≤y≤6，由④可得0<；y≤6，故③與④的并集是（0，6].

認(rèn)為本題中對稱軸t=y3應(yīng)該位于區(qū)間[0，2]是導(dǎo)致錯誤產(chǎn)生的原因之一.其實，研究方程②在[0，2]上有解的充要條件必須解決好y-t≥0這個問題.這也是本題用“利用方程有解條件法”求值域關(guān)鍵所在.

正確解法 方程②在[0，2]上有解的充要條件是（Δ=48-8y2≥0時先用求根公式解方程求出t）：

0≤y+12-2y23≤2，

y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2，

y≥y-12-2y23.⑥

解⑤時，可先解y≥y+12-2y23，進而求得2≤y≤6，

解⑥時，可先解0≤y-12-2y23≤2，進而求得2≤y≤6.

⑤與⑥的并集是[2，6]，所求函數(shù)的值域為[2，6].

結(jié)語 誠如文[2]所言：數(shù)學(xué)教學(xué)是一個既要“結(jié)果”，更要“過程”的思維活動，數(shù)學(xué)解題要從引導(dǎo)學(xué)生主動擬定解題方案開始，獨立思考，自主實踐，合作交流，探究問題的解答”.發(fā)現(xiàn)并矯正解題過程中的錯誤，是一種深刻的思想教育和行為規(guī)范，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生參與的積極性，同時讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“快樂”.

參考文獻

[1]汪仁林.爭鳴·問題225[J].數(shù)學(xué)通訊，2013（05，下）。

[2]李紅春.活用解題理論打造高效課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（4）。

[3]蔡永明.在求函數(shù)值域的教學(xué)中引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2001（1）.

3 滑過的教學(xué)

文[3]中用“利用方程有解條件法”求函數(shù)值域，引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新，主觀意識是值得肯定的，但例6解題“過程”留下遺憾，摘錄如下：

“例6求函數(shù)y=4-x+2x-4的值域.

解：此函數(shù)定義域是2≤x≤4，設(shè)t=4-x，則x=4-t2（0≤t≤2），

原函數(shù)式可化為y=t+4-2t2（0≤t≤2），視為關(guān)于t的方程，它等價于（y-t）2=4-2t2，

y-t≥0，

0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0，

y-t≥0，

0≤t≤2.②

設(shè)f（t）=3t2-2yt+y2-4，其對稱軸為t=y3，關(guān)于t的方程②在[0，2]上有解的充要條件是

Δ=4y2-12（y2-4）≥0，

0<；y3<；2，

f（0）=y2-4≥0.③或4y2-12（y2-4）≥0，

0<；y3<；2，

f（2）=y2-22y+2≥0.④

解得2≤y≤6.所求函數(shù)的值域為[2，6]”.

解析 上述所求值域的結(jié)論是正確的，但過程錯了.錯在認(rèn)為“關(guān)于t的方程②在[0，2]上有解的充要條件是③或④”.

實際上，上述不等式組求解的情況是這樣的，由③可得2≤y≤6，由④可得0<；y≤6，故③與④的并集是（0，6].

認(rèn)為本題中對稱軸t=y3應(yīng)該位于區(qū)間[0，2]是導(dǎo)致錯誤產(chǎn)生的原因之一.其實，研究方程②在[0，2]上有解的充要條件必須解決好y-t≥0這個問題.這也是本題用“利用方程有解條件法”求值域關(guān)鍵所在.

正確解法 方程②在[0，2]上有解的充要條件是（Δ=48-8y2≥0時先用求根公式解方程求出t）：

0≤y+12-2y23≤2，

y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2，

y≥y-12-2y23.⑥

解⑤時，可先解y≥y+12-2y23，進而求得2≤y≤6，

解⑥時，可先解0≤y-12-2y23≤2，進而求得2≤y≤6.

⑤與⑥的并集是[2，6]，所求函數(shù)的值域為[2，6].

結(jié)語 誠如文[2]所言：數(shù)學(xué)教學(xué)是一個既要“結(jié)果”，更要“過程”的思維活動，數(shù)學(xué)解題要從引導(dǎo)學(xué)生主動擬定解題方案開始，獨立思考，自主實踐，合作交流，探究問題的解答”.發(fā)現(xiàn)并矯正解題過程中的錯誤，是一種深刻的思想教育和行為規(guī)范，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生參與的積極性，同時讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“快樂”.

參考文獻

[1]汪仁林.爭鳴·問題225[J].數(shù)學(xué)通訊，2013（05，下）。

[2]李紅春.活用解題理論打造高效課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（4）。

[3]蔡永明.在求函數(shù)值域的教學(xué)中引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2001（1）.