“用物理原理證明數(shù)學(xué)問題”是在“循環(huán)論證”

眼下，在一些物理資料[1][2]中，經(jīng)常出現(xiàn)用所謂的“物理原理”去解決“數(shù)學(xué)問題”的題目，而且多是證明題，根據(jù)物理學(xué)中的一條物理規(guī)律或物理原理去論證某個(gè)純數(shù)學(xué)問題的正確性.由于和傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)證明相比，這種論證過程看似更“簡潔”、“獨(dú)特”，所以，該方法常常被證明者自譽(yù)為“鬼斧神工”，并認(rèn)為是自己“發(fā)現(xiàn)”了大自然暗藏的“玄機(jī)”.

殊不知，所有“運(yùn)用物理原理證明數(shù)學(xué)問題”的過程，都在犯邏輯推理中的循環(huán)論證錯(cuò)誤.我們不妨對兩個(gè)常見的證明過程加以剖析.

例1 求證：cos36°-cos72°=12.圖1證明 如圖1，在半徑為R的圓周的五等分點(diǎn)A、B、C、D、E各放置電荷量相同的5個(gè)帶負(fù)電的點(diǎn)電荷，設(shè)它們單獨(dú)在圓心O處激發(fā)的電場強(qiáng)度大小均為E，由對稱性可知，五電荷在圓心O處激發(fā)電場的合場強(qiáng)為0.圖1中，取OA方向?yàn)殡妶鰪?qiáng)度的正方向，根據(jù)場強(qiáng)的合成法則，則有：

E+2Ecos72°+2Ecos144°=0，

所以E+2Ecos72°-2Ecos36°=0，

所以2cos36°-2cos72°=1，

所以cos36°-cos72°=12.

該證明過程果然“獨(dú)特”而又“簡潔”，運(yùn)用物理學(xué)中場強(qiáng)的合成法則，三兩步居然就導(dǎo)出了一個(gè)看似毫不相干的純數(shù)學(xué)問題.

仔細(xì)分析可以看出，上述推理過程中，證明者“不自覺”地采用了循環(huán)論證.五個(gè)相同的點(diǎn)電荷關(guān)于圓心成旋轉(zhuǎn)對稱放置時(shí)，圓心處的合場強(qiáng)之所以等于零，是由于兩方面的原因，其一，場強(qiáng)的合成遵從于矢量的疊加原理；其二，一個(gè)三角恒等式的成立——將周角2π分成n等份（n為自然數(shù)），其中大小為1份，2份，3份，……，n份角的余弦之和等于零，即

cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0.

我們對這個(gè)三角恒等式的正確性進(jìn)行邏輯論證.分兩種情況進(jìn)行證明：

（1）n為偶數(shù)時(shí)，令n=2k（k∈N*），

cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn

=cos1×2π2k+cos2×2π2k+cos3×2π2k+…+cos（k+1）×2π2k+cos（k+2）×2π2k+cos（k+3）×2π2k+…+cos（k+k）×2π2k

=[cos1×2π2k+cos（k+1）×2π2k]+[cos2×2π2k+cos（k+2）×2π2k]+[cos3×2π2k+cos（k+3）×2π2k]+…+[cosk×2π2k+cos（k+k）×2π2k]

=[cos1×2π2k+cos（π+1×2π2k）]+[cos2×2π2k+cos（π+2×2π2k）]+[cos3×2π2k+cos（π+3×2π2k）]+…+[cosk×2π2k+cos（π+k×2π2k）]

=0.

等式成立.

（2）n為奇數(shù)時(shí)，令n=2k+1（k∈N*），

cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn

=cos1×2π2k+1+cos2×2π2k+1+cos3×2π2k+1+…+cos（2k+1）×2π2k+1

=cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2.

我們只需證明cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2=0即可.由上面（1）的證明結(jié)論可知，當(dāng)n=4k+2（k∈N*）時(shí)，等式成立，即：

cos1×2π4k+2+cos2×2π4k+2+cos3×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos5×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2=0.

所以12[2cos1×2π4k+2+2cos2×2π4k+2+2cos3×2π4k+2+2cos4×2π4k+2+2cos5×2π4k+2+2cos6×2π4k+2+…+2cos2（2k+1）×2π4k+2]=0.

所以12{2[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]+[（cos1×2π4k+2+cos3×2π4k+2）+（cos3×2π4k+2+cos5×2π4k+2）+（cos5×2π4k+2+cos7×2π4k+2）+…

+（cos（4k-1）×2π4k+2+cos（4k+1）×2π4k+2）+（cos（4k+1）×2π4k+2+cos1×2π4k+2）]}=0.

所以12{2[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]

+[（cos1×2π4k+2+cos3×2π4k+2）+（cos3×2π4k+2+cos5×2π4k+2）+（cos5×2π4k+2+cos7×2π4k+2）+…

+（cos（4k-1）×2π4k+2+cos（4k+1）×2π4k+2）+（cos（-1×2π4k+2）+cos1×2π4k+2）]}=0.所以12{2[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]+2[cos2×2π4k+2cos2π4k+2+cos4×2π4k+2cos2π4k+2+cos6×2π4k+2cos2π4k+2+…+cos4k×2π4k+2cos2π4k+2+cos0cos2π4k+2]}=0.

所以12{（2+2cos2π4k+2）[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]}=0.所以cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2=0.

這說明，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，等式也成立.

綜合（1）、（2），問題得證.

如果等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0不成立（注意，我們說的是“如果”），即使n個(gè)相同的點(diǎn)電荷關(guān)于某點(diǎn)成旋轉(zhuǎn)對稱，這些點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的合場強(qiáng)也不會為零！換句話說，例1證明的論證過程，說“圓心O處的場強(qiáng)為零，就已經(jīng)事先“默認(rèn)”了恒等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0的成立，而式子“cos36°-cos72°=12”正是該恒等式的一個(gè)特例（n=5的情形），因此，該證明屬于循環(huán)論證.

例2 求證：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

證明 在豎直平面內(nèi)，以1m為單位長度建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（其中x軸水平），以（1，0）為一個(gè)頂點(diǎn)A作正△ABC，使BC邊上的高線AD落在x軸上，并使AD=n-1（n為正整數(shù)），將△ABC各邊（n-1）等分后，圖2按圖2的方式連接各等分點(diǎn)，將原△ABC分成多個(gè)全等的小等邊三角形，在各小三角形的頂點(diǎn)均放置重1N的質(zhì)點(diǎn)（多點(diǎn)重合的按1點(diǎn)計(jì)），則相對于坐標(biāo)原點(diǎn)O，這些質(zhì)點(diǎn)重力的力矩之和為：

1×1+2×2+3×3+…+n·n=12+22+32+…+n2（單位：N·m）

由三角形重心定理得，這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線（當(dāng)然也是等邊三角形的高）AD上，距離A點(diǎn)23AD處，不妨設(shè)重心為H，則有AH=23（n-1），故H的坐標(biāo)為（23n+13，0）.由于這些質(zhì)點(diǎn)的重力之和G=1+2+3+…+n=n（n+1）2，而系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)重力相對于某點(diǎn)的力矩之和等于系統(tǒng)重力（作用于系統(tǒng)重心）相對于該點(diǎn)的力矩，故有：

12+22+32+…+n2=n（n+1）2（23n+13）=n（n+1）（2n+1）6，

所以12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析 該推理過程中，“這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線AD上，距離A點(diǎn)23AD處”論斷的證明，就需要運(yùn)用公式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”，證明如下：

圖2中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)物理學(xué)中重心定義可得：

x=（∑ni=1Gi）-1∑ni=1Gixi （G為各質(zhì)點(diǎn)的重力）

=1×1+2×2+3×3+…+n·n1+2+3+…+n

=12+22+32+…+n21+2+3+…+n

=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2

=2n+13

=23（n-1）+1.

所以AH=23AD.（利用此方法，我們也可以很方便的推出三角形的重心定理——質(zhì)量分布均勻的三角形，重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的2倍）

上述推理中，在“12+22+32+…+n21+2+3+…+n=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2”這一步，我們就運(yùn)用了等式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，換句話說，若該等式不成立（注意，這里我們說的仍是“如果”），“這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線AD上，距離A點(diǎn)23AD處”的論斷也將不再成立（當(dāng)然，三角形的重心定理也將不再成立）！所以，這種利用力矩原理證明數(shù)學(xué)等式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”的過程，盡管非常的簡潔，但仍然屬于循環(huán)論證.

實(shí)際上，除了單純由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的規(guī)律之外（比如滑動(dòng)摩擦力與壓力間的正比關(guān)系），一些物理定律或原理與相關(guān)的數(shù)學(xué)恒等式之間有時(shí)的確存在因果關(guān)系——運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，根據(jù)已有的物理規(guī)律或原理，用邏輯推理的方法，導(dǎo)出新的物理規(guī)律和原理.而一個(gè)純數(shù)學(xué)問題，絕對不會以某個(gè)物理原理的成立作為自己成立的條件，因此，數(shù)學(xué)問題與物理原理間的“正確”邏輯關(guān)系為，數(shù)學(xué)問題是“因”，相關(guān)的物理原理為“果”，絕不會因果倒置.所謂的根據(jù)物理原理論證某個(gè)純數(shù)學(xué)問題正確性的過程，從表面上看，或許“獨(dú)特”而又“簡潔”，但實(shí)質(zhì)上都是在犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

參考文獻(xiàn)

[1] 卞志榮.巧用物理方法求解數(shù)學(xué)問題.物理教師，2007（01）：16-17.

[2] 戎年中.利用物理學(xué)原理求解數(shù)學(xué)問題.物理通報(bào)，2009（10）：16-18.

作者簡介 王偉民，男，1964年生，中學(xué)高級教師.曾榮獲太和縣優(yōu)秀教師、太和縣師德標(biāo)兵、阜陽市優(yōu)秀教師等稱號；發(fā)表論文七十余篇.

這說明，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，等式也成立.

綜合（1）、（2），問題得證.

如果等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0不成立（注意，我們說的是“如果”），即使n個(gè)相同的點(diǎn)電荷關(guān)于某點(diǎn)成旋轉(zhuǎn)對稱，這些點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的合場強(qiáng)也不會為零！換句話說，例1證明的論證過程，說“圓心O處的場強(qiáng)為零，就已經(jīng)事先“默認(rèn)”了恒等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0的成立，而式子“cos36°-cos72°=12”正是該恒等式的一個(gè)特例（n=5的情形），因此，該證明屬于循環(huán)論證.

例2 求證：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

證明 在豎直平面內(nèi)，以1m為單位長度建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（其中x軸水平），以（1，0）為一個(gè)頂點(diǎn)A作正△ABC，使BC邊上的高線AD落在x軸上，并使AD=n-1（n為正整數(shù)），將△ABC各邊（n-1）等分后，圖2按圖2的方式連接各等分點(diǎn)，將原△ABC分成多個(gè)全等的小等邊三角形，在各小三角形的頂點(diǎn)均放置重1N的質(zhì)點(diǎn)（多點(diǎn)重合的按1點(diǎn)計(jì)），則相對于坐標(biāo)原點(diǎn)O，這些質(zhì)點(diǎn)重力的力矩之和為：

1×1+2×2+3×3+…+n·n=12+22+32+…+n2（單位：N·m）

由三角形重心定理得，這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線（當(dāng)然也是等邊三角形的高）AD上，距離A點(diǎn)23AD處，不妨設(shè)重心為H，則有AH=23（n-1），故H的坐標(biāo)為（23n+13，0）.由于這些質(zhì)點(diǎn)的重力之和G=1+2+3+…+n=n（n+1）2，而系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)重力相對于某點(diǎn)的力矩之和等于系統(tǒng)重力（作用于系統(tǒng)重心）相對于該點(diǎn)的力矩，故有：

12+22+32+…+n2=n（n+1）2（23n+13）=n（n+1）（2n+1）6，

所以12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析 該推理過程中，“這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線AD上，距離A點(diǎn)23AD處”論斷的證明，就需要運(yùn)用公式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”，證明如下：

圖2中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)物理學(xué)中重心定義可得：

x=（∑ni=1Gi）-1∑ni=1Gixi （G為各質(zhì)點(diǎn)的重力）

=1×1+2×2+3×3+…+n·n1+2+3+…+n

=12+22+32+…+n21+2+3+…+n

=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2

=2n+13

=23（n-1）+1.

所以AH=23AD.（利用此方法，我們也可以很方便的推出三角形的重心定理——質(zhì)量分布均勻的三角形，重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的2倍）

上述推理中，在“12+22+32+…+n21+2+3+…+n=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2”這一步，我們就運(yùn)用了等式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，換句話說，若該等式不成立（注意，這里我們說的仍是“如果”），“這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線AD上，距離A點(diǎn)23AD處”的論斷也將不再成立（當(dāng)然，三角形的重心定理也將不再成立）！所以，這種利用力矩原理證明數(shù)學(xué)等式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”的過程，盡管非常的簡潔，但仍然屬于循環(huán)論證.

實(shí)際上，除了單純由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的規(guī)律之外（比如滑動(dòng)摩擦力與壓力間的正比關(guān)系），一些物理定律或原理與相關(guān)的數(shù)學(xué)恒等式之間有時(shí)的確存在因果關(guān)系——運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，根據(jù)已有的物理規(guī)律或原理，用邏輯推理的方法，導(dǎo)出新的物理規(guī)律和原理.而一個(gè)純數(shù)學(xué)問題，絕對不會以某個(gè)物理原理的成立作為自己成立的條件，因此，數(shù)學(xué)問題與物理原理間的“正確”邏輯關(guān)系為，數(shù)學(xué)問題是“因”，相關(guān)的物理原理為“果”，絕不會因果倒置.所謂的根據(jù)物理原理論證某個(gè)純數(shù)學(xué)問題正確性的過程，從表面上看，或許“獨(dú)特”而又“簡潔”，但實(shí)質(zhì)上都是在犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

參考文獻(xiàn)

[1] 卞志榮.巧用物理方法求解數(shù)學(xué)問題.物理教師，2007（01）：16-17.

[2] 戎年中.利用物理學(xué)原理求解數(shù)學(xué)問題.物理通報(bào)，2009（10）：16-18.

作者簡介 王偉民，男，1964年生，中學(xué)高級教師.曾榮獲太和縣優(yōu)秀教師、太和縣師德標(biāo)兵、阜陽市優(yōu)秀教師等稱號；發(fā)表論文七十余篇.

這說明，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，等式也成立.

綜合（1）、（2），問題得證.

如果等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0不成立（注意，我們說的是“如果”），即使n個(gè)相同的點(diǎn)電荷關(guān)于某點(diǎn)成旋轉(zhuǎn)對稱，這些點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的合場強(qiáng)也不會為零！換句話說，例1證明的論證過程，說“圓心O處的場強(qiáng)為零，就已經(jīng)事先“默認(rèn)”了恒等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0的成立，而式子“cos36°-cos72°=12”正是該恒等式的一個(gè)特例（n=5的情形），因此，該證明屬于循環(huán)論證.

例2 求證：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

證明 在豎直平面內(nèi)，以1m為單位長度建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（其中x軸水平），以（1，0）為一個(gè)頂點(diǎn)A作正△ABC，使BC邊上的高線AD落在x軸上，并使AD=n-1（n為正整數(shù)），將△ABC各邊（n-1）等分后，圖2按圖2的方式連接各等分點(diǎn)，將原△ABC分成多個(gè)全等的小等邊三角形，在各小三角形的頂點(diǎn)均放置重1N的質(zhì)點(diǎn)（多點(diǎn)重合的按1點(diǎn)計(jì)），則相對于坐標(biāo)原點(diǎn)O，這些質(zhì)點(diǎn)重力的力矩之和為：

1×1+2×2+3×3+…+n·n=12+22+32+…+n2（單位：N·m）

由三角形重心定理得，這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線（當(dāng)然也是等邊三角形的高）AD上，距離A點(diǎn)23AD處，不妨設(shè)重心為H，則有AH=23（n-1），故H的坐標(biāo)為（23n+13，0）.由于這些質(zhì)點(diǎn)的重力之和G=1+2+3+…+n=n（n+1）2，而系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)重力相對于某點(diǎn)的力矩之和等于系統(tǒng)重力（作用于系統(tǒng)重心）相對于該點(diǎn)的力矩，故有：

12+22+32+…+n2=n（n+1）2（23n+13）=n（n+1）（2n+1）6，

所以12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析 該推理過程中，“這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線AD上，距離A點(diǎn)23AD處”論斷的證明，就需要運(yùn)用公式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”，證明如下：

圖2中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)物理學(xué)中重心定義可得：

x=（∑ni=1Gi）-1∑ni=1Gixi （G為各質(zhì)點(diǎn)的重力）

=1×1+2×2+3×3+…+n·n1+2+3+…+n

=12+22+32+…+n21+2+3+…+n

=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2

=2n+13

=23（n-1）+1.

所以AH=23AD.（利用此方法，我們也可以很方便的推出三角形的重心定理——質(zhì)量分布均勻的三角形，重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的2倍）

上述推理中，在“12+22+32+…+n21+2+3+…+n=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2”這一步，我們就運(yùn)用了等式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，換句話說，若該等式不成立（注意，這里我們說的仍是“如果”），“這些質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)的重心在△ABC中線AD上，距離A點(diǎn)23AD處”的論斷也將不再成立（當(dāng)然，三角形的重心定理也將不再成立）！所以，這種利用力矩原理證明數(shù)學(xué)等式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”的過程，盡管非常的簡潔，但仍然屬于循環(huán)論證.

實(shí)際上，除了單純由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的規(guī)律之外（比如滑動(dòng)摩擦力與壓力間的正比關(guān)系），一些物理定律或原理與相關(guān)的數(shù)學(xué)恒等式之間有時(shí)的確存在因果關(guān)系——運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，根據(jù)已有的物理規(guī)律或原理，用邏輯推理的方法，導(dǎo)出新的物理規(guī)律和原理.而一個(gè)純數(shù)學(xué)問題，絕對不會以某個(gè)物理原理的成立作為自己成立的條件，因此，數(shù)學(xué)問題與物理原理間的“正確”邏輯關(guān)系為，數(shù)學(xué)問題是“因”，相關(guān)的物理原理為“果”，絕不會因果倒置.所謂的根據(jù)物理原理論證某個(gè)純數(shù)學(xué)問題正確性的過程，從表面上看，或許“獨(dú)特”而又“簡潔”，但實(shí)質(zhì)上都是在犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

參考文獻(xiàn)

[1] 卞志榮.巧用物理方法求解數(shù)學(xué)問題.物理教師，2007（01）：16-17.

[2] 戎年中.利用物理學(xué)原理求解數(shù)學(xué)問題.物理通報(bào)，2009（10）：16-18.

作者簡介 王偉民，男，1964年生，中學(xué)高級教師.曾榮獲太和縣優(yōu)秀教師、太和縣師德標(biāo)兵、阜陽市優(yōu)秀教師等稱號；發(fā)表論文七十余篇.