兩類函數圖象公共點個數的再研究

李景印

我們解題時數形結合法以其簡潔直觀備受青睞，特別是在應對客觀題時更是如此.但有時由于對函數的性質理解和掌握的不夠深透，容易得出錯誤的結論，華羅庚先生曾經說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”現就下面的題目為例，通過數與形的分析，對這兩類函數的交點個數問題作較為深入的探究.

題1 （文[1]第21頁第7題）已知0<；a<；1，則方程ax=logax的實根個數是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.與a的值有關

文[1]第49頁給出的答案是：A.分別畫出當0<；a<；1時，函數y=ax與y=logax的圖象如圖1所示，由數形結合可知，它們的交點個數為2，所以方程ax=logax的實根個數也是2.

圖1題2 （文[2]例2）已知0<；a<；1，則方程ax=logax的實根個數為（ ）.

A.1個 B.2個C.3個 D.1個或2個或3個

（答案：B.解法同上.）

這兩道題實質相同，解法及答案也都是相同的——用數形結合思想求解.該題及其解法可能還被很多文獻引用過，甚至也會被不少老師在教學中選用，還會被引用者認為是挑戰思維、解法巧妙的一道不可多得的好題！殊不知，以上解法是有漏洞的，答案也是錯誤的.

我們知道，增函數與減函數的圖象若有公共點，則公共點唯一.證明如下：

設增函數y=f（x），減函數y=g（x），則函數y=f（x）-g（x）是增函數，所以其零點至多一個，即方程f（x）-g（x）=0的根至多一個，也即方程組y=f（x），

y=g（x），至多有一組解，所以欲證成立.

但增函數與增函數的圖象若有公共點，則公共點不一定唯一.圖2就是一個典型的例證：

圖2同理，減函數與減函數的圖象若有公共點，則公共點也不一定唯一.

由圖1可知：當x>；1時，減函數y=ax與增函數y=logax的圖象有唯一公共點；當0<；x<；1時，減函數y=ax與減函數y=logax的圖象有公共點，但公共點不一定唯一.所以，認為函數y=ax與y=logax的圖象公共點個數為2，理由不充足.由幾何畫板可以研究這個問題：當0<；x<；1時，又a>；0且a→0時，減函數y=ax與減函數y=logax的圖象有三個公共點（圖3是a=0.01的情形）：

圖3解決題1、題2是有難度的，先要給出下面的定理1（其證明見文[3]）：

定理1 指數函數y=ax（a>；0且a≠1）與其反函數y=logax圖象公共點個數的情形是：

（1）當a∈（0，e-e）時是3個公共點；

（2）當a∈[e-e，1）時是1個公共點；

（3）當a∈（1，e1/e）時是2個公共點；

（4）當a=e1/e時是1個公共點；

（5）當a∈（e1/e，+∞）時沒有公共點.

由定理1，容易得到：

定理2 方程ax=logax的實根個數的情形是：

（1）當a∈（0，e-e）時是4個解；

（2）當a∈[e-e，1）時是2個解；

（3）當a∈（1，e1/e）時是3個解；

（4）當a=e1/e時是2個解；

（5）當a∈（e1/e，+∞）時是1個解.

參考文獻

[1] 王朝銀主編.步步高·寒假作業·數學·高一[Z].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2011.

[2] 張芳.數形結合思想在解題中的應用[J].中學數學（高中），2007（12）：41.

[3] 孫穎，方保華.函數y=ax與y=logax（a>；0，且a≠1）的圖象到底有幾個交點？[J].中學數學雜志，2012（9）：35-36.

我們解題時數形結合法以其簡潔直觀備受青睞，特別是在應對客觀題時更是如此.但有時由于對函數的性質理解和掌握的不夠深透，容易得出錯誤的結論，華羅庚先生曾經說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”現就下面的題目為例，通過數與形的分析，對這兩類函數的交點個數問題作較為深入的探究.

題1 （文[1]第21頁第7題）已知0<；a<；1，則方程ax=logax的實根個數是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.與a的值有關

文[1]第49頁給出的答案是：A.分別畫出當0<；a<；1時，函數y=ax與y=logax的圖象如圖1所示，由數形結合可知，它們的交點個數為2，所以方程ax=logax的實根個數也是2.

圖1題2 （文[2]例2）已知0<；a<；1，則方程ax=logax的實根個數為（ ）.

A.1個 B.2個C.3個 D.1個或2個或3個

（答案：B.解法同上.）

這兩道題實質相同，解法及答案也都是相同的——用數形結合思想求解.該題及其解法可能還被很多文獻引用過，甚至也會被不少老師在教學中選用，還會被引用者認為是挑戰思維、解法巧妙的一道不可多得的好題！殊不知，以上解法是有漏洞的，答案也是錯誤的.

我們知道，增函數與減函數的圖象若有公共點，則公共點唯一.證明如下：

設增函數y=f（x），減函數y=g（x），則函數y=f（x）-g（x）是增函數，所以其零點至多一個，即方程f（x）-g（x）=0的根至多一個，也即方程組y=f（x），

y=g（x），至多有一組解，所以欲證成立.

但增函數與增函數的圖象若有公共點，則公共點不一定唯一.圖2就是一個典型的例證：

圖2同理，減函數與減函數的圖象若有公共點，則公共點也不一定唯一.

由圖1可知：當x>；1時，減函數y=ax與增函數y=logax的圖象有唯一公共點；當0<；x<；1時，減函數y=ax與減函數y=logax的圖象有公共點，但公共點不一定唯一.所以，認為函數y=ax與y=logax的圖象公共點個數為2，理由不充足.由幾何畫板可以研究這個問題：當0<；x<；1時，又a>；0且a→0時，減函數y=ax與減函數y=logax的圖象有三個公共點（圖3是a=0.01的情形）：

圖3解決題1、題2是有難度的，先要給出下面的定理1（其證明見文[3]）：

定理1 指數函數y=ax（a>；0且a≠1）與其反函數y=logax圖象公共點個數的情形是：

（1）當a∈（0，e-e）時是3個公共點；

（2）當a∈[e-e，1）時是1個公共點；

（3）當a∈（1，e1/e）時是2個公共點；

（4）當a=e1/e時是1個公共點；

（5）當a∈（e1/e，+∞）時沒有公共點.

由定理1，容易得到：

定理2 方程ax=logax的實根個數的情形是：

（1）當a∈（0，e-e）時是4個解；

（2）當a∈[e-e，1）時是2個解；

（3）當a∈（1，e1/e）時是3個解；

（4）當a=e1/e時是2個解；

（5）當a∈（e1/e，+∞）時是1個解.

參考文獻

[1] 王朝銀主編.步步高·寒假作業·數學·高一[Z].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2011.

[2] 張芳.數形結合思想在解題中的應用[J].中學數學（高中），2007（12）：41.

[3] 孫穎，方保華.函數y=ax與y=logax（a>；0，且a≠1）的圖象到底有幾個交點？[J].中學數學雜志，2012（9）：35-36.

我們解題時數形結合法以其簡潔直觀備受青睞，特別是在應對客觀題時更是如此.但有時由于對函數的性質理解和掌握的不夠深透，容易得出錯誤的結論，華羅庚先生曾經說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”現就下面的題目為例，通過數與形的分析，對這兩類函數的交點個數問題作較為深入的探究.

題1 （文[1]第21頁第7題）已知0<；a<；1，則方程ax=logax的實根個數是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.與a的值有關

文[1]第49頁給出的答案是：A.分別畫出當0<；a<；1時，函數y=ax與y=logax的圖象如圖1所示，由數形結合可知，它們的交點個數為2，所以方程ax=logax的實根個數也是2.

圖1題2 （文[2]例2）已知0<；a<；1，則方程ax=logax的實根個數為（ ）.

A.1個 B.2個C.3個 D.1個或2個或3個

（答案：B.解法同上.）

這兩道題實質相同，解法及答案也都是相同的——用數形結合思想求解.該題及其解法可能還被很多文獻引用過，甚至也會被不少老師在教學中選用，還會被引用者認為是挑戰思維、解法巧妙的一道不可多得的好題！殊不知，以上解法是有漏洞的，答案也是錯誤的.

我們知道，增函數與減函數的圖象若有公共點，則公共點唯一.證明如下：

設增函數y=f（x），減函數y=g（x），則函數y=f（x）-g（x）是增函數，所以其零點至多一個，即方程f（x）-g（x）=0的根至多一個，也即方程組y=f（x），

y=g（x），至多有一組解，所以欲證成立.

但增函數與增函數的圖象若有公共點，則公共點不一定唯一.圖2就是一個典型的例證：

圖2同理，減函數與減函數的圖象若有公共點，則公共點也不一定唯一.

由圖1可知：當x>；1時，減函數y=ax與增函數y=logax的圖象有唯一公共點；當0<；x<；1時，減函數y=ax與減函數y=logax的圖象有公共點，但公共點不一定唯一.所以，認為函數y=ax與y=logax的圖象公共點個數為2，理由不充足.由幾何畫板可以研究這個問題：當0<；x<；1時，又a>；0且a→0時，減函數y=ax與減函數y=logax的圖象有三個公共點（圖3是a=0.01的情形）：

圖3解決題1、題2是有難度的，先要給出下面的定理1（其證明見文[3]）：

定理1 指數函數y=ax（a>；0且a≠1）與其反函數y=logax圖象公共點個數的情形是：

（1）當a∈（0，e-e）時是3個公共點；

（2）當a∈[e-e，1）時是1個公共點；

（3）當a∈（1，e1/e）時是2個公共點；

（4）當a=e1/e時是1個公共點；

（5）當a∈（e1/e，+∞）時沒有公共點.

由定理1，容易得到：

定理2 方程ax=logax的實根個數的情形是：

（1）當a∈（0，e-e）時是4個解；

（2）當a∈[e-e，1）時是2個解；

（3）當a∈（1，e1/e）時是3個解；

（4）當a=e1/e時是2個解；

（5）當a∈（e1/e，+∞）時是1個解.

參考文獻

[1] 王朝銀主編.步步高·寒假作業·數學·高一[Z].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2011.

[2] 張芳.數形結合思想在解題中的應用[J].中學數學（高中），2007（12）：41.

[3] 孫穎，方保華.函數y=ax與y=logax（a>；0，且a≠1）的圖象到底有幾個交點？[J].中學數學雜志，2012（9）：35-36.