運用余弦定理解三角形的一類錯誤認識

施元蘭

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數量關系的重要定理，要求能夠運用正余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.學了正、余弦定理后，不少同學為判斷三角形的解的個數而煩惱，當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角時，可能出現一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應的方法，可是一些同學茫然依舊.

近日在網上拜讀了不少關于如何判斷三角形的解的個數的文章，不少文章都認為在△ABC中，已知a，b和角A，常常可對角A應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解.

本人最近正好遇到當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角求解第三邊的問題，發現這類觀念有不當之處.

請看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，則c= .

已知兩邊及其中一邊對角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因為sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因為a

因為sinA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對角，利用正弦定理程序的繁瑣性、計算的復雜性不言而喻，下面請看利用余弦定理解決本例的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍負），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的簡潔、計算的簡單一目了然.本解法中對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于該方程僅有一個正數解，故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個例子一個是利用余弦定理時關于c的一元二次方程有兩正根，三角形有兩解；一個是利用余弦定理時關于c的一元二次方程有兩個正根，但三角形卻僅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，則c= .

本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點不再贅述，下面利用余弦定理來解決問題：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事實上，當c=3時，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5時同樣可以有a=8，b=7，B=60°，故本題有兩解.

本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變，其最終結果導致我們在對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時關于c的方程有兩正數解，故該三角形有兩解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，則c的值是 .

本例可以先利用正弦定理結合A與B的關系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解決問題，下面請看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，當c=5時，b=5，故c=b，又因為A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常?？蓪荁應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解”，這樣的觀念是錯誤的.關于如何判斷三角形解的個數的問題，《必修5》在第8頁到第9頁的“探究與發現”《解三角形的進一步討論》中有詳細說明，在此不再贅述.

本文例2和例3提醒我們：已知a，b和角B，常常可對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使該方程有兩個正根，三角形也不一定有兩解，還應該結合條件，利用三角形內角和定理、大邊對大角等進行檢驗，以防增根混入.

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數量關系的重要定理，要求能夠運用正余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.學了正、余弦定理后，不少同學為判斷三角形的解的個數而煩惱，當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角時，可能出現一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應的方法，可是一些同學茫然依舊.

近日在網上拜讀了不少關于如何判斷三角形的解的個數的文章，不少文章都認為在△ABC中，已知a，b和角A，常?？蓪茿應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解.

本人最近正好遇到當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角求解第三邊的問題，發現這類觀念有不當之處.

請看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，則c= .

已知兩邊及其中一邊對角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因為sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因為a

因為sinA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對角，利用正弦定理程序的繁瑣性、計算的復雜性不言而喻，下面請看利用余弦定理解決本例的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍負），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的簡潔、計算的簡單一目了然.本解法中對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于該方程僅有一個正數解，故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個例子一個是利用余弦定理時關于c的一元二次方程有兩正根，三角形有兩解；一個是利用余弦定理時關于c的一元二次方程有兩個正根，但三角形卻僅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，則c= .

本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點不再贅述，下面利用余弦定理來解決問題：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事實上，當c=3時，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5時同樣可以有a=8，b=7，B=60°，故本題有兩解.

本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變，其最終結果導致我們在對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時關于c的方程有兩正數解，故該三角形有兩解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，則c的值是 .

本例可以先利用正弦定理結合A與B的關系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解決問題，下面請看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，當c=5時，b=5，故c=b，又因為A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常常可對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解”，這樣的觀念是錯誤的.關于如何判斷三角形解的個數的問題，《必修5》在第8頁到第9頁的“探究與發現”《解三角形的進一步討論》中有詳細說明，在此不再贅述.

本文例2和例3提醒我們：已知a，b和角B，常常可對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使該方程有兩個正根，三角形也不一定有兩解，還應該結合條件，利用三角形內角和定理、大邊對大角等進行檢驗，以防增根混入.

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形邊角之間數量關系的重要定理，要求能夠運用正余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.學了正、余弦定理后，不少同學為判斷三角形的解的個數而煩惱，當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角時，可能出現一解、二解、無解等情況，雖然書上也有相應的方法，可是一些同學茫然依舊.

近日在網上拜讀了不少關于如何判斷三角形的解的個數的文章，不少文章都認為在△ABC中，已知a，b和角A，常常可對角A應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解.

本人最近正好遇到當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角求解第三邊的問題，發現這類觀念有不當之處.

請看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，則c= .

已知兩邊及其中一邊對角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因為sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因為a

因為sinA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

讀者不難看出本例已知兩邊及其中一邊對角，利用正弦定理程序的繁瑣性、計算的復雜性不言而喻，下面請看利用余弦定理解決本例的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍負），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的簡潔、計算的簡單一目了然.本解法中對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于該方程僅有一個正數解，故該三角形有且僅有一解.而下面筆者要舉的兩個例子一個是利用余弦定理時關于c的一元二次方程有兩正根，三角形有兩解；一個是利用余弦定理時關于c的一元二次方程有兩個正根，但三角形卻僅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，則c= .

本例如何利用正弦定理解決以及利用正弦定理解決的缺點不再贅述，下面利用余弦定理來解決問題：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事實上，當c=3時，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5時同樣可以有a=8，b=7，B=60°，故本題有兩解.

本例中僅僅是將例1中邊a的值做了改變，其最終結果導致我們在對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0時關于c的方程有兩正數解，故該三角形有兩解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，則c的值是 .

本例可以先利用正弦定理結合A與B的關系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解決問題，下面請看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解題的過程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，當c=5時，b=5，故c=b，又因為A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常常可對角B應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解”，這樣的觀念是錯誤的.關于如何判斷三角形解的個數的問題，《必修5》在第8頁到第9頁的“探究與發現”《解三角形的進一步討論》中有詳細說明，在此不再贅述.

本文例2和例3提醒我們：已知a，b和角B，常?？蓪荁應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使該方程有兩個正根，三角形也不一定有兩解，還應該結合條件，利用三角形內角和定理、大邊對大角等進行檢驗，以防增根混入.