基于歐拉角分析法的電動二維轉(zhuǎn)鏡讀數(shù)修正

王濤，王勁松，徐翔宇，陶宗慧

（1.長春理工大學 光電工程學院，長春 130022；2.長春中國光學科學技術館，長春 130022）

電動二維轉(zhuǎn)臺廣泛應用于跟蹤、測量及仿真領域。在這些領域中，二維轉(zhuǎn)臺多作為發(fā)射源，或者是接收源的調(diào)整與測量工具，如激光跟蹤和光電發(fā)射平臺，對光學目標位置的描述多是用俯仰角與方位角［1］。

本文的二維轉(zhuǎn)鏡是電動二維轉(zhuǎn)臺在光學測量上的一種應用。在光學儀器中，二維轉(zhuǎn)臺用于光學調(diào)整和測量［2］，但是由于二維轉(zhuǎn)鏡的調(diào)整特點，出射光線的在俯仰和方位方向的走動量與二維轉(zhuǎn)臺方位和俯仰方位的轉(zhuǎn)動角之間存在不一致的現(xiàn)象。本文針對電動二維轉(zhuǎn)臺在光學調(diào)整中存在的轉(zhuǎn)角值與像移不一致的問題，利用歐拉角加以分析，并提出了一種軟件修正的方法。

1 問題的提出

實際應用中二維轉(zhuǎn)臺多數(shù)采用力矩電機實現(xiàn)方位、俯仰方向的轉(zhuǎn)動功能，高精度的光電編碼器給出轉(zhuǎn)臺兩軸的轉(zhuǎn)角值［3］。如圖1所示的二維轉(zhuǎn)鏡即是一個實例。本文中的二維轉(zhuǎn)鏡是用于輕武器紅外瞄具瞄準基線變化量測量系統(tǒng)。在測量系統(tǒng)中二維轉(zhuǎn)鏡對光線進行調(diào)整，并對光線走動量進行測量。

二維轉(zhuǎn)臺包括方位和俯仰兩個方向的轉(zhuǎn)動，其中俯仰的轉(zhuǎn)動軸是固定的，方位的轉(zhuǎn)動軸方向隨著俯仰軸的轉(zhuǎn)動改變。其通過對平面鏡進行調(diào)整進而對出射光線方向進行調(diào)整和讀數(shù)。它的方位角和俯仰角是用來對平面鏡的姿態(tài)進行描述。出射光線的方位角與俯仰角無法通過二維轉(zhuǎn)臺直接讀出，其與二維轉(zhuǎn)臺俯仰角方位角存在函數(shù)關系。為了求出射光線的方位俯仰角，需要利用歐拉角的知識建立坐標系。

圖1 轉(zhuǎn)臺結構示意圖

2 歐拉角坐標系的建立

在測量系統(tǒng)中入射光線是不變的，為了求出出射光線，需要知道平面鏡法線的方向向量坐標［4，5］。法線向量在動態(tài)坐標系下是不變的，需要將法線向量由動態(tài)坐標系（XYZ）轉(zhuǎn)換到實驗參考系（xyz）下。具有公共坐標原點和尺度的空間直角坐標系之間的坐標轉(zhuǎn)換，最方便的是采用歐拉角來描述。歐拉角有多種取法，如圖2所示的歐拉角αβγ就是最常見的一種［6，7］。

圖2 歐拉角示意圖

歐拉角是用來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對于任何參考系，一個剛體的取向是依照順序，從參考系做三個歐拉角的旋轉(zhuǎn)而設定的，所以剛體的取向可以用三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣來決定［8，9］。換句話說，任何關于剛體旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣是由三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣復合而成的。對于在三維空間里的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現(xiàn)［10，11］。參考系又稱為實驗室參考系，即為圖中的xyz坐標系，是靜止不動的，而動態(tài)坐標系則固定于剛體，即為圖中的XYZ坐標系，隨著剛體的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。

對于二維轉(zhuǎn)臺，俯仰軸和方位軸是正交的，兩者之間成90度角。俯仰方向的轉(zhuǎn)動軸對于實驗室參考系來說是固定不動的，而方位轉(zhuǎn)軸的方向是隨著俯仰方向的轉(zhuǎn)動而變化的。俯仰坐標系對應的是歐拉角坐標系中的實驗室參考系，方位坐標系對應的是動態(tài)坐標系。

圖3 二維轉(zhuǎn)鏡坐標系

根據(jù)上述分析，建立二維轉(zhuǎn)鏡的坐標系。該坐標系以二維轉(zhuǎn)鏡的圓心為原點，取方位方向的旋轉(zhuǎn)軸為z軸，取俯仰方向的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸。如圖3所示是建立的坐標系，圖中XYZ為實驗室參考系，xyz為動態(tài)坐標系。

3 旋轉(zhuǎn)矩陣與出射光線矢量的推導

由二維轉(zhuǎn)臺兩軸轉(zhuǎn)動對應于歐拉角坐標系的轉(zhuǎn)動得出，α為俯仰軸的轉(zhuǎn)動量，γ為方位軸的轉(zhuǎn)動量，β為動態(tài)坐標系相對實驗室參考系轉(zhuǎn)動的角度。根據(jù)歐拉角的公式，可以得到二維轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)矩陣：

三個矩陣分別對應著三個轉(zhuǎn)動［5］，分別是動態(tài)坐標系繞著實驗室參考系z軸的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動即俯仰軸的轉(zhuǎn)動、動態(tài)坐標系的轉(zhuǎn)動對應于方位軸的轉(zhuǎn)動和動態(tài)坐標系相對于實驗室參考系的轉(zhuǎn)動。對（1）式展開，得

根據(jù)二維轉(zhuǎn)臺坐標系特點知道β=π/2，而且是固定不變的。根據(jù)平面光學的知識，在平面鏡反射中，知道入射光線和法線就能得到出射光線。在動態(tài)坐標系xyz坐標系內(nèi)取鏡面的單位法向量（0，1，0），通過旋轉(zhuǎn)矩陣將其轉(zhuǎn)換到實驗室參考系下得到法線在實驗室參考系下的坐標為：

由（4）式可知，法線的坐標是關于俯仰軸的轉(zhuǎn)動量γ，方位軸的轉(zhuǎn)動量α的函數(shù)。

由光的反射定律知，入射光線與法線的夾角和出射光線與法線的夾角相等［3］。如圖4所示，入射光線OA，法線OC，出射光線OB在同一個平面上。在實驗室參考系中已知法線，入射光線單位方向向量，需要求出出射光線的坐標。入射光線的方向向量為(1 0 0)。

?是小鏡子的轉(zhuǎn)動量，OE=cos?，cos?=。由三角形 ΔEOF 與ΔCOD相似得，CD長度是C點的縱坐標也就是法線單位向量的縱坐標，EF就是E點的縱坐標。由AE=EB和三角形相似，可知B點的縱坐標是E點縱坐標的2倍數(shù)，這樣就得到了出射光線方向向量的縱坐標。

圖4 出射光坐標解算示意圖

表1 與經(jīng)緯儀對比測量結果表 單位：秒

表2 修正前后讀數(shù)比較 單位：秒

同樣的方法可以得到B點的x坐標，y坐標，z坐標。這樣就可以得到B點的坐標。

得出出射光線的單位方向向量是（2cos2γsin2α-1，sin2αsin2γ ，-cosαsin2γ）。出射光線在垂直面上的投影與水平面的夾角即出射光線俯仰角為：

出射光線在水平面上的投影與垂直面的夾角即為出射光線方位角：

4 驗證實驗

為了驗證上述模型的正確性，實驗采用高精度經(jīng)緯儀對出射光線進行測量，得到光線在方位和俯仰方向上的走動量，并與光學模型得到的數(shù)據(jù)進行對比。實驗裝置如圖5所示。

圖5 實驗實物圖

調(diào)節(jié)精密二維調(diào)整臺的兩個軸角到零位，以經(jīng)緯儀對準設備的十字分劃，俯仰和方位角相對為零。將經(jīng)緯儀按照實驗規(guī)劃的空間點的位置在俯仰方位兩個方向各轉(zhuǎn)動相應的角度，然后調(diào)節(jié)精密轉(zhuǎn)臺，讓設備十字分劃與經(jīng)緯儀再次對準，這樣就獲得了出射光線在方位俯仰兩個方向上的角度。與修改前的讀數(shù)進行對比，由表2中的數(shù)據(jù)可以看出，沒修正時讀數(shù)是錯誤的。再將其與上述模型求出的數(shù)進行對比如表1，可知光學模型得出的值與實際測量所得值之間的差值小于4秒，與分析計算吻合。

5 結論

本文對二維轉(zhuǎn)鏡的調(diào)整特點進行了研究，運用歐拉角的知識構建了光學模型，并進行了驗證實驗。此方法在不改變轉(zhuǎn)臺結構的情況下，解決了由于二維轉(zhuǎn)鏡調(diào)整特點引起的讀數(shù)問題。在俯仰和方位方向上的測量精度達到4秒，符合輕武器紅外瞄具瞄準基線變化量測量系統(tǒng)對二維轉(zhuǎn)鏡的精度要求。并對二維轉(zhuǎn)臺在其他方面應用時誤差分析與修正有指導意義。

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