基于歐拉角分析法的電動(dòng)二維轉(zhuǎn)鏡讀數(shù)修正

王濤，王勁松，徐翔宇，陶宗慧

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；2.長(zhǎng)春中國(guó)光學(xué)科學(xué)技術(shù)館，長(zhǎng)春 130022）

電動(dòng)二維轉(zhuǎn)臺(tái)廣泛應(yīng)用于跟蹤、測(cè)量及仿真領(lǐng)域。在這些領(lǐng)域中，二維轉(zhuǎn)臺(tái)多作為發(fā)射源，或者是接收源的調(diào)整與測(cè)量工具，如激光跟蹤和光電發(fā)射平臺(tái)，對(duì)光學(xué)目標(biāo)位置的描述多是用俯仰角與方位角［1］。

本文的二維轉(zhuǎn)鏡是電動(dòng)二維轉(zhuǎn)臺(tái)在光學(xué)測(cè)量上的一種應(yīng)用。在光學(xué)儀器中，二維轉(zhuǎn)臺(tái)用于光學(xué)調(diào)整和測(cè)量［2］，但是由于二維轉(zhuǎn)鏡的調(diào)整特點(diǎn)，出射光線的在俯仰和方位方向的走動(dòng)量與二維轉(zhuǎn)臺(tái)方位和俯仰方位的轉(zhuǎn)動(dòng)角之間存在不一致的現(xiàn)象。本文針對(duì)電動(dòng)二維轉(zhuǎn)臺(tái)在光學(xué)調(diào)整中存在的轉(zhuǎn)角值與像移不一致的問(wèn)題，利用歐拉角加以分析，并提出了一種軟件修正的方法。

1 問(wèn)題的提出

實(shí)際應(yīng)用中二維轉(zhuǎn)臺(tái)多數(shù)采用力矩電機(jī)實(shí)現(xiàn)方位、俯仰方向的轉(zhuǎn)動(dòng)功能，高精度的光電編碼器給出轉(zhuǎn)臺(tái)兩軸的轉(zhuǎn)角值［3］。如圖1所示的二維轉(zhuǎn)鏡即是一個(gè)實(shí)例。本文中的二維轉(zhuǎn)鏡是用于輕武器紅外瞄具瞄準(zhǔn)基線變化量測(cè)量系統(tǒng)。在測(cè)量系統(tǒng)中二維轉(zhuǎn)鏡對(duì)光線進(jìn)行調(diào)整，并對(duì)光線走動(dòng)量進(jìn)行測(cè)量。

二維轉(zhuǎn)臺(tái)包括方位和俯仰兩個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中俯仰的轉(zhuǎn)動(dòng)軸是固定的，方位的轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向隨著俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)改變。其通過(guò)對(duì)平面鏡進(jìn)行調(diào)整進(jìn)而對(duì)出射光線方向進(jìn)行調(diào)整和讀數(shù)。它的方位角和俯仰角是用來(lái)對(duì)平面鏡的姿態(tài)進(jìn)行描述。出射光線的方位角與俯仰角無(wú)法通過(guò)二維轉(zhuǎn)臺(tái)直接讀出，其與二維轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰角方位角存在函數(shù)關(guān)系。為了求出射光線的方位俯仰角，需要利用歐拉角的知識(shí)建立坐標(biāo)系。

圖1 轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

2 歐拉角坐標(biāo)系的建立

在測(cè)量系統(tǒng)中入射光線是不變的，為了求出出射光線，需要知道平面鏡法線的方向向量坐標(biāo)［4，5］。法線向量在動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系下是不變的，需要將法線向量由動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系（XYZ）轉(zhuǎn)換到實(shí)驗(yàn)參考系（xyz）下。具有公共坐標(biāo)原點(diǎn)和尺度的空間直角坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，最方便的是采用歐拉角來(lái)描述。歐拉角有多種取法，如圖2所示的歐拉角αβγ就是最常見(jiàn)的一種［6，7］。

圖2 歐拉角示意圖

歐拉角是用來(lái)描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對(duì)于任何參考系，一個(gè)剛體的取向是依照順序，從參考系做三個(gè)歐拉角的旋轉(zhuǎn)而設(shè)定的，所以剛體的取向可以用三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)決定［8，9］。換句話說(shuō)，任何關(guān)于剛體旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣是由三個(gè)基本旋轉(zhuǎn)矩陣復(fù)合而成的。對(duì)于在三維空間里的一個(gè)參考系，任何坐標(biāo)系的取向，都可以用三個(gè)歐拉角來(lái)表現(xiàn)［10，11］。參考系又稱為實(shí)驗(yàn)室參考系，即為圖中的xyz坐標(biāo)系，是靜止不動(dòng)的，而動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系則固定于剛體，即為圖中的XYZ坐標(biāo)系，隨著剛體的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。

對(duì)于二維轉(zhuǎn)臺(tái)，俯仰軸和方位軸是正交的，兩者之間成90度角。俯仰方向的轉(zhuǎn)動(dòng)軸對(duì)于實(shí)驗(yàn)室參考系來(lái)說(shuō)是固定不動(dòng)的，而方位轉(zhuǎn)軸的方向是隨著俯仰方向的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的。俯仰坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的是歐拉角坐標(biāo)系中的實(shí)驗(yàn)室參考系，方位坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的是動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系。

圖3 二維轉(zhuǎn)鏡坐標(biāo)系

根據(jù)上述分析，建立二維轉(zhuǎn)鏡的坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系以二維轉(zhuǎn)鏡的圓心為原點(diǎn)，取方位方向的旋轉(zhuǎn)軸為z軸，取俯仰方向的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸。如圖3所示是建立的坐標(biāo)系，圖中XYZ為實(shí)驗(yàn)室參考系，xyz為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系。

3 旋轉(zhuǎn)矩陣與出射光線矢量的推導(dǎo)

由二維轉(zhuǎn)臺(tái)兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于歐拉角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)得出，α為俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量，γ為方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量，β為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。根據(jù)歐拉角的公式，可以得到二維轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣：

三個(gè)矩陣分別對(duì)應(yīng)著三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)［5］，分別是動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系繞著實(shí)驗(yàn)室參考系z(mì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)即俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)、動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)（1）式展開(kāi)，得

根據(jù)二維轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系特點(diǎn)知道β=π/2，而且是固定不變的。根據(jù)平面光學(xué)的知識(shí)，在平面鏡反射中，知道入射光線和法線就能得到出射光線。在動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系xyz坐標(biāo)系內(nèi)取鏡面的單位法向量（0，1，0），通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣將其轉(zhuǎn)換到實(shí)驗(yàn)室參考系下得到法線在實(shí)驗(yàn)室參考系下的坐標(biāo)為：

由（4）式可知，法線的坐標(biāo)是關(guān)于俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量γ，方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量α的函數(shù)。

由光的反射定律知，入射光線與法線的夾角和出射光線與法線的夾角相等［3］。如圖4所示，入射光線OA，法線OC，出射光線OB在同一個(gè)平面上。在實(shí)驗(yàn)室參考系中已知法線，入射光線單位方向向量，需要求出出射光線的坐標(biāo)。入射光線的方向向量為(1 0 0)。

?是小鏡子的轉(zhuǎn)動(dòng)量，OE=cos?，cos?=。由三角形 ΔEOF 與ΔCOD相似得，CD長(zhǎng)度是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)也就是法線單位向量的縱坐標(biāo)，EF就是E點(diǎn)的縱坐標(biāo)。由AE=EB和三角形相似，可知B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是E點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍數(shù)，這樣就得到了出射光線方向向量的縱坐標(biāo)。

圖4 出射光坐標(biāo)解算示意圖

表1 與經(jīng)緯儀對(duì)比測(cè)量結(jié)果表 單位：秒

表2 修正前后讀數(shù)比較 單位：秒

同樣的方法可以得到B點(diǎn)的x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo)。這樣就可以得到B點(diǎn)的坐標(biāo)。

得出出射光線的單位方向向量是（2cos2γsin2α-1，sin2αsin2γ ，-cosαsin2γ）。出射光線在垂直面上的投影與水平面的夾角即出射光線俯仰角為：

出射光線在水平面上的投影與垂直面的夾角即為出射光線方位角：

4 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述模型的正確性，實(shí)驗(yàn)采用高精度經(jīng)緯儀對(duì)出射光線進(jìn)行測(cè)量，得到光線在方位和俯仰方向上的走動(dòng)量，并與光學(xué)模型得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖

調(diào)節(jié)精密二維調(diào)整臺(tái)的兩個(gè)軸角到零位，以經(jīng)緯儀對(duì)準(zhǔn)設(shè)備的十字分劃，俯仰和方位角相對(duì)為零。將經(jīng)緯儀按照實(shí)驗(yàn)規(guī)劃的空間點(diǎn)的位置在俯仰方位兩個(gè)方向各轉(zhuǎn)動(dòng)相應(yīng)的角度，然后調(diào)節(jié)精密轉(zhuǎn)臺(tái)，讓設(shè)備十字分劃與經(jīng)緯儀再次對(duì)準(zhǔn)，這樣就獲得了出射光線在方位俯仰兩個(gè)方向上的角度。與修改前的讀數(shù)進(jìn)行對(duì)比，由表2中的數(shù)據(jù)可以看出，沒(méi)修正時(shí)讀數(shù)是錯(cuò)誤的。再將其與上述模型求出的數(shù)進(jìn)行對(duì)比如表1，可知光學(xué)模型得出的值與實(shí)際測(cè)量所得值之間的差值小于4秒，與分析計(jì)算吻合。

5 結(jié)論

本文對(duì)二維轉(zhuǎn)鏡的調(diào)整特點(diǎn)進(jìn)行了研究，運(yùn)用歐拉角的知識(shí)構(gòu)建了光學(xué)模型，并進(jìn)行了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。此方法在不改變轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)的情況下，解決了由于二維轉(zhuǎn)鏡調(diào)整特點(diǎn)引起的讀數(shù)問(wèn)題。在俯仰和方位方向上的測(cè)量精度達(dá)到4秒，符合輕武器紅外瞄具瞄準(zhǔn)基線變化量測(cè)量系統(tǒng)對(duì)二維轉(zhuǎn)鏡的精度要求。并對(duì)二維轉(zhuǎn)臺(tái)在其他方面應(yīng)用時(shí)誤差分析與修正有指導(dǎo)意義。

［1］劉萬(wàn)里，王占奎，曲興華，等.激光跟蹤測(cè)量系統(tǒng)跟蹤轉(zhuǎn)鏡的誤差分析［J］.光學(xué)精密工程，2008，16（4）：585-589.

［2］王勁松，安志勇，李海蘭.反射式平行光管的紅外瞄具零位走動(dòng)量測(cè)量方法研究［J］.兵工學(xué)報(bào)，2010，31（11）：1421-1425.

［3］張西龍，孫寶玉，孫建偉，等.高精度二維轉(zhuǎn)臺(tái)指向誤差分析［J］.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33（4）：377-382.

［4］郁道銀，談恒英.工程光學(xué)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［5］白素平，王春艷，龐春穎.基于坐標(biāo)變換的動(dòng)態(tài)光學(xué)成像性質(zhì)研究［J］.光子學(xué)報(bào)，2001，20（7）：846-850.

［6］XU Xu，Chang Chienchi，Gert S Faber，et al.Estimation of 3-D peak L5/S1 joint moment during asymmetric lifting tasks with cubic spline interpolation of segment Euler angles［J］.Applied Ergonomics，2011，43（1），115-120.

［7］Wong Yueshuen，Kim Wangdo，Ying Ning.Passive motion characteristics of the talocrural and the subtalar joint by dual Euler angles［J］.Journal of Biomechanics，2004，38（12）.2480-2485.

［8］肖偉，梁久禎，陳瑋琪.基于四元數(shù)的3D物體旋轉(zhuǎn)及運(yùn)動(dòng)插值［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2012，24（3）：624-627.

［9］金華，戴金海.坐標(biāo)變換方法及在卷弧翼彈彈道仿真中的應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2007，24（7）：43-46.

［10］劉忠，梁曉庚，賈曉洪，等.基于四元數(shù)的導(dǎo)彈反步控制及全方位算法應(yīng)用［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2006，18（10）：2734-2737.

［11］趙彥，張新鋒，施滸立.基于四元數(shù)的射電望遠(yuǎn)鏡指向誤差分析方法［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2009，28（10）：1359-1363.