對稱結構復模態向量的二階泰勒展開

張文丹

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

模態是一個機械結構的固有振動特性，它可以完整地描述一個結構的動力特性。每一個結構都具有特定的固有頻率、阻尼比和模態振型，根據模態頻率及模態向量等模態參數是實數還是復數，模態可分為實模態和復模態。工程應用中針對阻尼系統的結構優化和模型修正經常會用到復模態向量［1，2］，但目前多數研究只是使用復模態向量的一階泰勒展開式［3，4］，關于復模態向量的二階泰勒展開式的研究很少有文獻提到。文獻［5］中提出了關于復頻率的一階導數，但是復頻率的二階導數算法的討論卻很少出現。顯然，在對復模態向量進行泰勒展開時，其一階泰勒展開和二階泰勒展開時的近似精度是不一樣的。文獻［6，7］中提出了多元向量值函數的高階導數及一、二階泰勒展開的理論，文獻［8］中提出了求解實模態特征值和特征向量的一、二階導數的算法，雖然此算法是無阻尼求解問題，但是對阻尼系統的相關研究有一定的推廣價值。關于文獻［9］中提出的相容性條件方程，為求解特征值的高階導數提供了方便，其導出的算法公式，簡潔緊湊、易于理解且編程方便。本文在這些研究的基礎上提出了對稱結構復模態向量的二階泰勒展開算法，算例證明此算法的正確性及有效性。

1 多元向量值函數的一階及二階泰勒展開

u=(u1(b),…,uN(b))T每一維分量皆是向量b=(b1,…,bq)T的函數，因此u=(u1(b),…,uN(b))T是多元向量值函數，如果u=(u1(b),…,uN(b))T第i維分量 ui(b1,b2,…,bq)(?i=1,2,…,N)的梯度向量為［6］

那么，它的梯度矩陣為

那么海森矩陣還可改寫為［7］

二階泰勒展開形式為

2 復模態向量的一、二階泰勒展開式

2.1 復模態參數

描述自由度為N的線性阻尼離散系統的自由振動方程為

式中M、C和K∈RN×N分別為對稱的質量、阻尼和剛度矩陣，即該系統為對稱系統。結構有限元分析時，作拉普拉斯變換 x(t)=uewt=uejωt(w=jω )代入(5)式可得(w2Mu+wCu+Ku)ewt=0?？紤]阻尼時的系統極點及復模態對( )

si,ui(i=1),2,…,2N 滿足方程

對于N自由度振動系統，特征方程det[s2M+sC+K]=0有2N個呈復共軛對出現的特征 值 s1,s2,…,s2N(其 中 si+1為 si的 共 軛（i=1,3,…,2N-1）)，該特征值又稱為復頻率。每個復頻率對應著一組呈復共軛對出現的特征向量ui（ui∈CN），則ui稱為系統(5)與 si相對應的第i個模態向量，這里將u1,u2,…,u2N(其中ui+1為ui的共軛（i=1,3,…,2N-1）)又稱為復模態。如果系統的特征值全不相同，那么稱之為單特征系統，對單特征系統，則存在規范正交關系為［10］

其中狀態向量矩陣為 Φ=[φ1,φ2,…,φ2N]，狀態向量為

且

所滿足的廣義特征方程為

2.2 復模態向量的梯度矩陣的算法

值函數的有關理論。由（9）式可知，狀態向量的后N維即構成系統的復模態向量，更由于阻尼的影響，使系統（5）的復模態的特征導數不能像無阻尼實模態的特征導數分析那樣，在實模態空間中進行［6］，為此考慮引入狀態空間來實現這一目標。定義狀態向量φi關于對第 j個參數bj的一階導數為

對于對稱的單特征系統來說，根據文獻［11］中提供的方法，將狀態向量的一階導數φi,j(j=1,…,q)在狀態空間內表示為基底的某一線性組合，即

其中 φk(?k=1,2,…,2N)是廣義特征問題（10）式的狀態空間的基底，是（11）式中的一階線性組合系數。由（11）式可知

利用（11）式所具有某些數學性質來求解一階線性組合系數，并代入（12）式，即可確定復模態向量的一階導數，并由（1）式獲得其梯度矩陣。

將(10)式兩邊對第 j個參數bj求導得

其中

整理(13)式得一階導數φi,j的支配方程為

將(11)式代入支配方程，并左乘ΦH得

用狀態向量之間的規范正交化關系（7）和(8)式解耦支配方程，即可析出一階線性組合系數的控制方程如下

由第i個以外的方程可解得2N-1個一階線性組合系數為

根據正交化條件 φkTAφi=0(k≠i)，（14）式可簡化為

同時由于一階線性組合系數的控制方程的相容性［9］，根據其相容性條件方程可得

因此解得復頻率的一階導數為

將（15）和（17）式的一階線性組合系數化為N維空間形式為

代入（12）式就可求得復模態的一階導數，再代入（1）式即可獲得梯度矩陣。

2.3 復模態向量的海森矩陣的算法

將特征方程(10）對設計參靈敏bj求導得

再對設計參數bl求導得

整理上式得φi,jl的支配方程為

將(19)式代入支配方程，并左乘ΦH，用狀態向量之間的規范正交化關系（7）和(8)式解耦支配方程，即可析出二階線性組合系數的控制方程如下

由第i個以外的方程可解得2N-1個二階線性組合系數為

其中，

同時由于二階線性組合系數的控制方程的相容性［9］，根據其相容性條件方程可得

可解得復頻率的二階導數為

其中si,l和?i,l可用與si,j和?i,j同樣的算法求得。

關于bl求二階導數得

將（19）式代入上式即有

將（21）和（24）式代入（20）式就可求得復模態的二階導數，再代入（2）式即可獲得海森陣。

2.4 復模態向量的一、二階泰勒展開式

由（18）式計算得到一階線性組合系數代入（12）式，再代入（1）式即可構成第i階復模態的梯度矩陣[?ui]，再代入（3）式，獲得系統（5）的第i階復模態在處受到設計參數發生擾動量為的擾動后用一階泰勒展開式得到的近似值。

將由（21）和（24）式計算得到的二階線性組合系數代入（20）式，再代入（2）式即可構成第i階復模態的海森矩陣[?2ui]，再代入（4）式，獲得系統（5）的第i階復模態在處設計參數發生擾動量為的擾動后的用二階泰勒展開式得到的新值。

3 數值算例

3.1 算法步驟

（1）輸入系統參數b；

（2）構造對稱系統的質量M、阻尼C和剛度矩陣K，此時b取初值b0；

（3）構造矩陣A、B；

（4）計算復模態參數si和ui；

（5）利用公式（15）和公式（17）求2N 個一階靈敏度系數；

（7）利用公式（21）和公式（24）求2N 個二階靈敏度系數；代入得到復模態的二階靈敏度，即二階導數，構成海森矩陣；

表1 計算所得結果

（8）將步驟（6）和（7）得到的梯度及海森陣代入公式（4），得到ui(b0+Δb)的二階泰勒近似值；

（9）在系數參數取為b0+Δb時重新計算步驟（2）、（3）、（4），得到 ui(b0+Δb)，與公式（4）得到的近似值相比較。

3.2 數值算例

如圖1所示，有阻尼的彈簧質量系統，如果m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k，

圖1 彈簧質量系統

則該對稱系統的質量M、阻尼C和剛度矩陣K分別表示為

本文取k2作為設計參數，為了更好地展示算法的可行性，在求二階導數時，仍取為k2為設計參數，初始系統參數m1=m2=m3=1.0kg；c1=10.0N/(m?s-1),c2=10.0N/(m?s-1),c3=10.0N/(m?s-1) ；k1=k2=k3=100N/m及設計參數的初始值b0=(k2,k2)T，及設計參數第一次的擾動量及第二次擾動量 Δb=(Δk2,Δk2)T，取 Δk2=-5。計算所得的結果見表1。

由表1的第3列與第5列可知，復頻率的二階導數及復模態的二階導數由本文算法計算與差分算法的計算結果差距不大，說明了本文算法的正確及有效性。再由表1的第6列可知，本文算法的計算結果可用于替代設計參數發生擾動后的復模態新值，精度與差分在該步長下的精度基本一致。

4 結論

本文首先根據相容性條件方程理論，給出了系統復頻率的二階導數的算法，然后給出了系統復模態的二階導數算法，特別是利用了單特征系統的對稱性解決了其線性組合系統控制方程組降秩的問題。再利用多元向量值函數的泰勒展開式理論，建立了系統復模態向量在某點處作泰勒近似的方法。為復模態向量應用于模型修正及結構優化等領域來提高模型精度提供了新的算法基礎。數值算例說明了本文算法的有效性和正確性。

［1］殷磊，陳科，陳振華.軋鋼機主傳動系統的復模態分析［J］.機械傳動，2014，38（6）：114-118.

［2］王剛，王遠，周文松.軋鋼機主傳動系統的復模態分析［J］.地震工程與工程振動，2013，33（4）：89-94.

［3］于瀾，張任，樂明鋒，等.模態參數的靈敏度分析在結構工程領域中的應用［J］.長春工程學院學報：自然科學版，2012，13（3）：1-3.

［4］楊佑發，趙忠華，徐典.基于改進模態參數靈敏度法的結構損傷識別研究［J］.地震工程與工程振動，2011，31（1）：95-100.

［5］Sondipon A，Friswell MI.Eigenderivative analysis of asymmetric non-conserva-tive systems［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2001，51(6)：709-733.

［6］張淼.實模態向量梯度算法［J］.長春工業大學學報：自然科學版，2013，34（5）：551-554.

［7］張淼.非對稱結構振型向量的海森陣算法及應用研究［J］.長春工業大學學報：自然科學版，2014，35（2）：216-220.

［8］張淼.結構實模態參數的高階靈敏度算法［J］，長春工程學院學報：自然科學版，2014，15(1)：122-125.

［9］張淼，于瀾，鞠偉.重頻系統的頻率靈敏度分析算法研究［J］.華南師范大學學報：自然科學版，2014，46（3）：39-43.

［10］張淼，鞠偉.計算各種振系模態靈敏度的統一算法［J］.長春工程學院學報：自然科學版，2012，13（4）：119-122.

［11］張淼，鞠偉.基于松馳技術的結構模態敏感性分析［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2012，35（4）：157-160.