在問題解決過程中幫助學生積累數學思考的經驗

李蘭瑛

數學基本活動經驗是小學生在參與數學基本活動時，經歷探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等過程，獲得的由數學知識、技能、智慧、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗。其核心是關于如何思考的經驗，其最終的目的在于幫助學生建立自己的數學現實和數學學習的直覺，學會運用數學的思維方式進行思考。

數學基本活動經驗的積累，大致需要經過“經歷、內化、概括、遷移”的過程。無論是生活中的經歷還是學習活動中的經歷，對于學生數學基本經驗的積累都是有價值的。但僅僅經歷是不夠的，還需要學生在活動中充分地思考，將活動所得不斷內化和概括，最終遷移到其他活動和學習中去。

現結合課堂教學的實踐案例談談如何在問題解決過程中幫助學生積累數學思考的經驗。

【教學背景】

《比賽場次》是北師大版第六冊第76頁的學習內容，屬于“綜合與實踐”領域的知識。學生在三年級上學期已經學會了用連線、列表的方法解決生活中有關搭配和推理的問題，本節課在此基礎上進一步學習用連線、列表、圖解等策略解決比賽場次中的組合問題。

為了更好地了解學生的學習需求，筆者對全班47名學生進行了前測分析，結果如下：

1.你喜歡足球比賽嗎？

全班47人中只有8人表示喜歡足球比賽。看來，由于場地限制、危險性大或者年齡等原因，三年級的學生對足球比賽的興趣實在不強。

2.2件上衣和3條褲子要配成一套衣服有多少種不同的搭配方法？

這道題與生活實際非常貼近，并且在第五冊《搭配中的學問》一課學習過，全班47人無一人出錯，其中有34人選取了連線的方法來解決這個問題，可見連線法對學生來說是非常具體、直觀且容易理解的。另外13人選擇了用乘法算式來計算結果，這種方法也是教師在講課過程中總結之后細致講解過的，說明這些學生記住了教師講解的方法，也說明他們的抽象能力比較強。

3.用1、4、7三張數字卡片可以組成幾個不同的兩位數？

全班47人有40人可以做到有序地思考，表示為14、17、41、47、71、74的多達35人，他們思維的有序性體現在從數位的順序上來思考；表示為14、41、47、74、17、71的有5人，他們思維的有序性體現在從數的組成上入手，總的來說，學生具備有序思考的能力。

根據前測結果分析，筆者對教材進行了改編，創設了“請學生為果汁廠調配果汁”的情境，讓學生從他們比較熟悉的生活經驗入手，經歷問題解決的全過程，培養他們問題解決的能力。

【案例分析】

一、暴露——原有經驗（獨立思考）

呈現問題：幫助果汁廠老板研制新產品，做一次新產品研究員。

從芒果、藍莓、蜜桃、蘋果這四種水果中，任意挑選兩種調配成果汁，可以調配出幾種不同口味的果汁？活動要求：（1）獨立思考，自己嘗試解決調配果汁的問題。（2）在紙上寫一寫、畫一畫，也可以用即時貼在紙上貼一貼。（3）看誰的方法既簡單又清楚，讓人一眼就能看明白。

樣本1：

這位學生的方法很顯然是單純生活經驗的呈現，他很清楚地理解了需要解決的問題，但過程稍顯復雜，耗時較長。沒有考慮到重復的問題，所以這樣研究出的結果是錯誤的。

樣本2：

這種方法雖然也是單純生活經驗的呈現，但這位學生的表述方式已經非常簡練了，不過單從表述上來看，似乎看不出他的思考過程，因此，筆者對他進行了進一步的訪談：

師：能說說你是怎么想的嗎？

生：我先拼挨著的兩個，再拼兩頭的和中間的，最后拼隔著一個的。

相對來說，這位學生的思維也有一定的順序性。但就這個問題而言，水果的種類比較少，這樣思考沒問題，學生自己也承認，如果拓展到更多的種類，再用這種方法就會混亂了。會思考更會反思，這是最難能可貴的，思維過程也能積淀出一種經驗，這種經驗就屬于思考的經驗。一個數學活動經驗相對豐富并且善于反思的學生，他的數學直覺必然會隨著經驗的積累而增強。

樣本3：

在獨立研究階段，這兩種方法是最多見的，很顯然，它們都是單純生活經驗的呈現，但這兩位學生的思考已經很有順序了，只是稍顯復雜，耗時較長。

樣本4：

這位學生想到了利用教師提供的即時貼，在四種顏色的即時貼上分別寫上了四種水果名，思維也很有順序，但并沒有把即時貼的優勢發揮到極致，其實即時貼的顏色已經完全可以代表不同種類的水果了，可這位學生還是在即時貼上分別寫上了水果的名字。

樣本5：

在被問及為什么會想到這種方法時，這位學生說：“其實之前我們學習過數線段的問題，這道題也是要把每兩個點都連線，和數線段有些相似，我就用這種方法試了試，結果是正確的。”

積累數學基本活動經驗要關注過程的教學，“經歷過程”不僅要讓學生經歷知識產生和呈現的過程，更要讓學生經歷探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等，從而積累觀察、操作、猜想、歸納、推廣等思考的經驗。

從學生獨立研究這一問題的過程可以看出，大多數學生的方法來源于他們的生活經驗，就像身邊有許多水果，真的需要學生把兩種水果搭配在一起一樣，所以學生才會畫出個瓶子，里面裝著水果，好像他真的在調配果汁。盡管類似于這樣的感知明顯帶有個體認識的成分，并且還存在原始、膚淺、片面、模糊的特征，但這類直接經驗的獲得，是構建個人理解不可或缺的重要素材。

生活經驗固然重要，但更重要的是要善于積累、提煉，把生活經驗提升為數學經驗。因此，在這一過程中，有些學生進行了有序思考，這是很值得稱贊的，而連線方法的出現更是令人驚喜。從獲得的經驗的類型來看，連線方法中獲得的經驗相對于前面幾種更側重于策略和方法，也更為理性。從這一點上可以看出，思考經驗的獲取是派生出思維模式和思維方法的重要渠道，對學生開展創新性活動具有十分重要的奠基作用。

二、碰撞——生成經驗（合作探究）

獨立學習后，教師不加以干預，而是安排學生進行同伴交流。學生首先表現出喜歡這種同伴間的互相學習，此時的學習氛圍是輕松的、主動的，而且學生間的互助學習效果很明顯。

小組合作中，學生再次經歷了記錄方法逐步抽象的過程，就這樣，在大家的思考、操作中，有順序地、全面地思考問題的意識正慢慢滲透進每個學生的思維中。同時，他們也感悟到了符號化思想的簡潔性，從而獲得了一些初步的數學實踐活動經驗。

獨立研究之后，教師展示了學生不同的方法，但并未作出任何評價。學生可以借鑒他人的方法，兩人一組再次思考這個問題。在交流和討論的過程中，學生不斷優化自己的方法，取長補短，使自己再次呈現的方法更加簡練和清楚了。在這一過程中，引發學生再一次反思已有的知識和經驗，同時進行經驗的遷移，促進策略的生成。這使原有知識、經驗水平不同的學生都得到了啟示，實現了適合學生自己的經驗積累和認知發展。

三、點撥——提升經驗（教師引導）

這一環節，教師請學生講解自己的方法并加以引導，同時，介紹兩種新的方法——表格法和另一種連線法。

教師適當引導：“同學們的連線法真不錯，如果改變水果的擺放位置，還可以用連線的方法來解決嗎？”此時，在黑板上把四種水果擺放成正方形的樣子，讓學生想一想是否可以用連線的方法來解決。學生試著連一連，發現是沒問題的，之后還總結：“這種連線法只要在每兩種水果之間都連了線，就一定是不重不漏的，至于有幾種不同的口味，數一數連了幾條線就可以了。”

接下來，教師故作神秘地說：“我在另一個班講這道題的時候，他們還研究出了一種和你們都不一樣的方法，想不想看看？”好奇心使然，學生一定很想看看，其實，教師只是想把一種新方法介紹給大家。出示一個未完成的表格：

引導學生：（1）理解對勾的意思。（2）試著把表格填完。（3）如果全打對勾，就會有重復。（4）糾正錯誤。（5）完善正確的結果。（6）找到填寫表格的方法。

教材呈現的這兩種方法，學生在獨立研究和小組合作研究中都沒有出現，此時就需要教師發揮組織者、引導者、合作者的職責，讓學生在繼續研究新方法的過程中獲得更加廣泛的數學活動經驗。由此可見，數學活動經驗是在數學學習過程中逐步積累的，需要在“做”和“思考”的過程中積淀。

華東師范大學孔企平教授曾經說過：“問題解決的實質是學習者面對新的情境所進行的數學思維，通過解決一系列非常規的問題，使學生的數學思考能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能。”本節課的教學，注重學生對“調配果汁”這一問題的研究過程，使學生經歷了獨立學習（充分暴露原有經驗）—小組合作學習（碰撞生成經驗）—教師引領學習（完善提升經驗）這樣的學習路徑，學生在一次又一次的操作活動中獲得了思考的經驗，也積淀了豐富的活動經驗。另外，從本節課的探索過程可以看出，問題解決的過程需要實踐，需要學生親身經歷。通過數學活動，可以讓學生“經歷”知識的形成過程，建構數學模型，獲取對數學本質的思考經驗。

注：本文系北京市中小學名師發展工程成果

（作者單位：北京市海淀區中關村第二小學）

二、碰撞——生成經驗（合作探究）

獨立學習后，教師不加以干預，而是安排學生進行同伴交流。學生首先表現出喜歡這種同伴間的互相學習，此時的學習氛圍是輕松的、主動的，而且學生間的互助學習效果很明顯。

小組合作中，學生再次經歷了記錄方法逐步抽象的過程，就這樣，在大家的思考、操作中，有順序地、全面地思考問題的意識正慢慢滲透進每個學生的思維中。同時，他們也感悟到了符號化思想的簡潔性，從而獲得了一些初步的數學實踐活動經驗。

獨立研究之后，教師展示了學生不同的方法，但并未作出任何評價。學生可以借鑒他人的方法，兩人一組再次思考這個問題。在交流和討論的過程中，學生不斷優化自己的方法，取長補短，使自己再次呈現的方法更加簡練和清楚了。在這一過程中，引發學生再一次反思已有的知識和經驗，同時進行經驗的遷移，促進策略的生成。這使原有知識、經驗水平不同的學生都得到了啟示，實現了適合學生自己的經驗積累和認知發展。

三、點撥——提升經驗（教師引導）

這一環節，教師請學生講解自己的方法并加以引導，同時，介紹兩種新的方法——表格法和另一種連線法。

教師適當引導：“同學們的連線法真不錯，如果改變水果的擺放位置，還可以用連線的方法來解決嗎？”此時，在黑板上把四種水果擺放成正方形的樣子，讓學生想一想是否可以用連線的方法來解決。學生試著連一連，發現是沒問題的，之后還總結：“這種連線法只要在每兩種水果之間都連了線，就一定是不重不漏的，至于有幾種不同的口味，數一數連了幾條線就可以了。”

接下來，教師故作神秘地說：“我在另一個班講這道題的時候，他們還研究出了一種和你們都不一樣的方法，想不想看看？”好奇心使然，學生一定很想看看，其實，教師只是想把一種新方法介紹給大家。出示一個未完成的表格：

引導學生：（1）理解對勾的意思。（2）試著把表格填完。（3）如果全打對勾，就會有重復。（4）糾正錯誤。（5）完善正確的結果。（6）找到填寫表格的方法。

教材呈現的這兩種方法，學生在獨立研究和小組合作研究中都沒有出現，此時就需要教師發揮組織者、引導者、合作者的職責，讓學生在繼續研究新方法的過程中獲得更加廣泛的數學活動經驗。由此可見，數學活動經驗是在數學學習過程中逐步積累的，需要在“做”和“思考”的過程中積淀。

華東師范大學孔企平教授曾經說過：“問題解決的實質是學習者面對新的情境所進行的數學思維，通過解決一系列非常規的問題，使學生的數學思考能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能。”本節課的教學，注重學生對“調配果汁”這一問題的研究過程，使學生經歷了獨立學習（充分暴露原有經驗）—小組合作學習（碰撞生成經驗）—教師引領學習（完善提升經驗）這樣的學習路徑，學生在一次又一次的操作活動中獲得了思考的經驗，也積淀了豐富的活動經驗。另外，從本節課的探索過程可以看出，問題解決的過程需要實踐，需要學生親身經歷。通過數學活動，可以讓學生“經歷”知識的形成過程，建構數學模型，獲取對數學本質的思考經驗。

注：本文系北京市中小學名師發展工程成果

（作者單位：北京市海淀區中關村第二小學）

二、碰撞——生成經驗（合作探究）

獨立學習后，教師不加以干預，而是安排學生進行同伴交流。學生首先表現出喜歡這種同伴間的互相學習，此時的學習氛圍是輕松的、主動的，而且學生間的互助學習效果很明顯。

小組合作中，學生再次經歷了記錄方法逐步抽象的過程，就這樣，在大家的思考、操作中，有順序地、全面地思考問題的意識正慢慢滲透進每個學生的思維中。同時，他們也感悟到了符號化思想的簡潔性，從而獲得了一些初步的數學實踐活動經驗。

獨立研究之后，教師展示了學生不同的方法，但并未作出任何評價。學生可以借鑒他人的方法，兩人一組再次思考這個問題。在交流和討論的過程中，學生不斷優化自己的方法，取長補短，使自己再次呈現的方法更加簡練和清楚了。在這一過程中，引發學生再一次反思已有的知識和經驗，同時進行經驗的遷移，促進策略的生成。這使原有知識、經驗水平不同的學生都得到了啟示，實現了適合學生自己的經驗積累和認知發展。

三、點撥——提升經驗（教師引導）

這一環節，教師請學生講解自己的方法并加以引導，同時，介紹兩種新的方法——表格法和另一種連線法。

教師適當引導：“同學們的連線法真不錯，如果改變水果的擺放位置，還可以用連線的方法來解決嗎？”此時，在黑板上把四種水果擺放成正方形的樣子，讓學生想一想是否可以用連線的方法來解決。學生試著連一連，發現是沒問題的，之后還總結：“這種連線法只要在每兩種水果之間都連了線，就一定是不重不漏的，至于有幾種不同的口味，數一數連了幾條線就可以了。”

接下來，教師故作神秘地說：“我在另一個班講這道題的時候，他們還研究出了一種和你們都不一樣的方法，想不想看看？”好奇心使然，學生一定很想看看，其實，教師只是想把一種新方法介紹給大家。出示一個未完成的表格：

引導學生：（1）理解對勾的意思。（2）試著把表格填完。（3）如果全打對勾，就會有重復。（4）糾正錯誤。（5）完善正確的結果。（6）找到填寫表格的方法。

教材呈現的這兩種方法，學生在獨立研究和小組合作研究中都沒有出現，此時就需要教師發揮組織者、引導者、合作者的職責，讓學生在繼續研究新方法的過程中獲得更加廣泛的數學活動經驗。由此可見，數學活動經驗是在數學學習過程中逐步積累的，需要在“做”和“思考”的過程中積淀。

華東師范大學孔企平教授曾經說過：“問題解決的實質是學習者面對新的情境所進行的數學思維，通過解決一系列非常規的問題，使學生的數學思考能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能。”本節課的教學，注重學生對“調配果汁”這一問題的研究過程，使學生經歷了獨立學習（充分暴露原有經驗）—小組合作學習（碰撞生成經驗）—教師引領學習（完善提升經驗）這樣的學習路徑，學生在一次又一次的操作活動中獲得了思考的經驗，也積淀了豐富的活動經驗。另外，從本節課的探索過程可以看出，問題解決的過程需要實踐，需要學生親身經歷。通過數學活動，可以讓學生“經歷”知識的形成過程，建構數學模型，獲取對數學本質的思考經驗。

注：本文系北京市中小學名師發展工程成果

（作者單位：北京市海淀區中關村第二小學）