無用之用：數學學習的另一重境界

田紅梅

【摘 要】數學學習除了要知曉其“用”處，還應關注其“無用之用”。“無用之用”體現了數學學習的一種意識、一種取舍、一種境界。數學學習中，在習得知識的同時，學生更應在享受思考、自由探究的思維歷練中觀其“無用之用”；在“玩”和“用”的實踐探索中品其“無用之用”，從而形成素養(yǎng)，達成“大用”。

【關鍵詞】無用之用 數學學習 境界

一、由“有用”的數學引發(fā)的思考

隨著課程改革的不斷深入，許多新的理念和主張被應用在日常教學中，給當下的課堂帶來了無限生機和活力。然而，在實現了一些教學設想的同時，新的問題和思索又隨之而來。

1.除了知識，數學還應帶給學生什么？

在一節(jié)課的最后，教師總會提問：通過今天這節(jié)課的學習，你有什么樣的收獲？回答通常是：我知道了……，我學會了……。當學生這樣回答時，教師往往會覺得：嗯！這節(jié)課的教學任務完成了。但事實上，學習就只是“會了什么”這么簡單嗎？在關注知識的同時，學生的學習品質是否應該得到“顯明”的發(fā)展呢？

2.除了結果，數學學習還應讓學生經歷什么？

數學學科的知識特點決定了學生有時不經歷過程也能通過不斷的變式練習掌握某些知識、應對考試。對教師而言，這種不問過程只要結果的教學更加輕松。于是，“經歷”在不知不覺中成了一個空洞的詞。然而，搞不清來龍去脈的知識真的有用嗎？忽視了過程中思維的歷練，數學學習的得與失孰多孰少？

在這些思考的背后，隱藏著同樣的問題：數學學習只需要關注那些“有用”的知識嗎？是否可以更純粹地去探究數學，僅僅為了獲得思考的快樂和思維的提升？帶著這些思考，我走在覓尋的路上。老莊的哲學給了我啟示，每天給兒子讀的繪本激發(fā)了我的靈感，我漸漸認識到：在時間的長河里，只追求“有用”到最后或許反而會變成“無用”；那些看似無用的東西，或許只是其“用”還沒有“顯”出來，如能靜待其生長，假以時日，也許反能成“大用”。那么，數學要怎樣彰顯其“無用之用”呢？

二、“無用之用”的數學意蘊

“無用之用”是一種超越的智慧，有其數學意蘊，可理解為數學學習中那些現在看起來無用或表面看起來無用或因其“用”不夠“顯明”而常被忽視的數學品質、過程、探究等。對于這些所謂的“無用”，倘若能消除一些功利心，看得更長遠一點，就會發(fā)現其“用”不在這里、不在一時，而在于種下一顆種子，安放一種等待，喚起一些思考，最終形成指向智慧生長的“大用”。

1.“無用之用”是一種意識，指向數學學習的源頭。

在我們的意識中，是知識重要，還是能力重要？是分數重要，還是品格重要？這直接決定教師的教學內容和方法。我們必須明了，教育的根本價值在于完善學生的人格，數學教育是在用數學的方式培養(yǎng)學生的思維能力、思維品格。在這種意識的牽引下，我們才能真正看清“無用”意味著什么，“用”在何處。

2.“無用之用”是一種取舍，指向數學學習的價值。

數學學習的價值不只在于知識點的把握和解題技能的訓練，學會學習并形成終身學習的意識和能力是其最根本的價值所在。當教師內心認同并理解了數學“無用之用”的價值，在教學時才能有所選擇、有的放矢，帶給學生真正意義上的數學。教學“負數”，特級教師俞正強從36.5℃這樣一個體溫表示什么開始，讓學生試著理解“正常”的含義；然后類推到39.5℃表示發(fā)燒，從而讓這個數跟現象相連，讓學生認識到它表示一種狀態(tài)；接著拓展到自然現象——沸點和冰點，再到零上和零下、有錢和沒錢、兩只動物關系的好和壞；最后又從絕對性進入相對性，如果比5大表示正，那么比5小就表示負，實現了對負數體驗點的泛化。教學中，俞老師取“由淺入深地想”舍“直白地告知”，取“知識本質的滲透”舍“知識點的平鋪直敘”，取舍之間，看似“無用”的緩慢思考，實際上是讓學生真正理解數學本質的必由之路。

3.“無用之用”是一種境界，指向數學學習的遠景。

常聽到有人發(fā)問：學數學有什么用？離開了校園之后，不用再解題，數學的用處何在？北京師范大學石中英教授在《教育哲學導論》一書中闡釋：“人的發(fā)展，就其根源來說，不是一個外在的規(guī)訓或控制過程，而是一個內在的覺醒或成長過程。”“無用之用”的境界在于淡化外在的“無用”，強化內在的“用”，將基于學科的、顯性的目標和超越學科的、隱性的目標圓融統(tǒng)一，將習得知識轉化為生長智慧，逐步顯現數學教育更寬廣、更深遠的“用”處。因此，數學學習應像繪本對兒童的影響一樣，不急功近利，不只專注于知識的習得或眼前的分數，而是讓學生凝練品質、歷練思維、形成素養(yǎng)，讓數學學習成為學生成長路上的一道美麗的風景，讓大多數將來未必會從事與數學直接相關的工作的學生都能領略到數學的“無用之用”。

三、探尋數學學習中的“無用之用”

1.在思維歷練中觀其“無用之用”。

（1）享受思考，讓學生充分地“想”

把一個十分鐘就可以講完的內容上成三十分鐘，值還是不值？有用還是無用？這和教師對學習之“用”的理解密切相關。數學學習，最終應幫助學生建立起自己的數學現實和數學學習的現實，使學生學會運用數學的思維方式進行思考。讓學生擁有自己的思考力是一個緩慢的過程，但并不是“無用”的過程。只有當學生享受思考，能充分地“想”，理解才會成為可能，思考之“用”才會逐步顯現。

教學蘇教版三上《筆算除法》一課，在復習了加法、減法和乘法的豎式運算后，學生開始嘗試除法的豎式運算。此時，受前面知識的遷移，有學生會列出這樣的豎式（如A式），若教師直接告知其正確的寫法（如B式），也許十分鐘就可以講完新授的內容。

學生是怎么想的呢？

從學生的角度來看，A式更簡單、明了，但它當然是錯誤的。當學生的“想”與教師的“教”之間發(fā)生錯位時，應聚焦在學生思維的節(jié)點上。如果學生“想”明白了，它就有可能成為一個新的生長點。于是，從頭思考：15÷3表示什么意義呢？操作：教師拿來15支鉛筆，請學生平均分成3份，每份是幾支？思考：教師的15是1個15，學生的15是3個5，這兩個15是有區(qū)別的。討論：根據這個過程，你覺得兩種豎式寫法，哪一種比較合理？學生認為B式比較合理，因為它較好地記錄了除法的意義。上述過程，從學生的想法出發(fā)到使學生發(fā)現他們的想法的不足再到他們接受一種更為合理的想法，學生在思考中自然地學會了反思自己思考的合理性，不露痕跡地理解了算理。

數學教學不僅要關注知識的簡單積累，更應重視如何幫助學生實現相應的思維發(fā)展。長此以往，學生思維過程的“無用之用”就會逐步得以外顯。

（2）甘于無為，讓學生自由地“探”

老子說：“有之以為利，無之以為用。”萬事萬物，當然要有“有”，有了“有”，才有依憑、有基礎，但是，有“無”才能夠預留空間，留下自主性、發(fā)展性和可能性。因此，學生能自己看懂的，教師不教；學生能互相教會的，教師不教。我們只需為學生探索知識創(chuàng)造條件，留出思考、探討、反思的時間和空間，激發(fā)其探索的內在動機。正如特級教師閆勤所說：“比起學生能做的事情來，我們需做和可做的事情并不多。”

研究“幾個連續(xù)自然數的和與中間數的關系”，教師出示題目：3個連續(xù)自然數的和與中間數有什么關系？緊跟著出示表格：

與直接用字母a、b、c表示這三個連續(xù)自然數相比較，“較小數”“中間數”“較大數”的呈現，巧妙地提出了中間數，同時為后面的知識拓展埋下了伏筆。在解決并得出“三個連續(xù)自然數的和等于中間數乘3”這個結論后，教師將表格變了變：

同時出示如下問題：（1）把“3個”改成“若干個”，結論還成立嗎？（2）把“連續(xù)”改成“不連續(xù)”，結論還成立嗎？（3）把“自然數”改成“奇數”或“偶數”，結論是否成立？

上述教學過程，通過對結論的“再探究”，層層深入，讓學生自己進一步去分析、判斷、計算、推理、驗證，在問題鏈中體驗探究的魅力，同時感受蘊含其中的數學思想。知識的背后，是學生問題解決能力的提升，是“無用”帶來的“有用”。

2.在實踐探索中品其“無用之用”。

（1）不僅僅“玩”起來——玩且品其內涵

在“做數學”的過程中理解數學知識的內涵，感悟數學思想，是讓學生體會數學價值的重要途徑。相對于單純的思考而言，在“玩”中不知不覺地加入思考，更符合小學生的學習心理，而且滲透于其中的思考也更持久、更深入。

華羅庚告訴我們：“數（shù）起源于數（shǔ）。”怎么數（shǔ）？這里面大有文章。一節(jié)數學課，教師拿出一捆小棒，要求學生數一數一共有多少根。數完之后，教師引導學生聯系自己的生活想一想：除了一個一個地數東西以外，我們還可以怎么數？學生很快想到數筷子時都是兩根兩根地數，于是試著兩根兩根地去數，發(fā)現總數是一樣的。接著順利地過渡到三個三個地數、四個四個地數……在此過程中，教師明教數數，暗教乘除法運算。小棒的根數沒有變，但數法變了，變成了相同加數的運算，而相同加數的和的簡便運算就是乘法，分別數了多少次就是除法。

陳省身說：“數學好玩。”上述教學活動，在“有用”的數數過程中，分明可以感受到“無用”的“玩”更多，卻“玩”出了很“有用”的名堂。學生在數的過程中體驗到隨著數的根數在增加，數的速度越來越快了。此時思考便順理成章了，學生或許說不出為什么，但此時教師又來了一次數數比賽，幾乎所有的學生都選擇五根五根地數，學生用行動告訴我們他們已經初步感知了準變量，領悟到了函數的思想。知識獲得的本質是思想的形成，思想是終身受用的東西，這就是所謂的“大用”。

（2）不僅僅“用”起來——用且品其價值

數學來源于生活，最終必然指向生活中的問題。教師應將數學學習置于社會生活的大背景中，引導學生把目光從課堂投向課外，在多維的空間里進行學習活動，發(fā)現數學問題并解決。世界每天都在變，新聞時刻在更新。馬航飛機失聯事件、光盤行動、霧霾天氣……都可以成為數學“用”的背景，且能讓學生更加關注社會、環(huán)境和民生。這些“用”看似脫離了課本，遠離了解題，與考試無關，非知識積累，但學生應用數學知識和數學思想解決問題的意識會在“用”的過程中逐步提升，從而在生活中感受到數學的力量和數學之美。

數學學習很顯然是有用的，無論是現在還是將來，它都在學生的成長過程中占據著極其重要的位置。但是，它最有用的所在，卻需要我們以接納“無用”的姿態(tài)來接納——摒棄純知識的數學，還能養(yǎng)成一些素養(yǎng)，留下一些不會被時間帶走的東西。思考至此，卻發(fā)現“無用之用”太過博大精深，所思不及萬一。因此，新的思考仍在繼續(xù)……

【參考文獻】

[1]林語堂.老子的智慧[M].南京：江蘇文藝出版社，2009.

[2]鄭毓信.《數學課程標準（2011）》的“另類解讀”[J].數學教育學報，2013，22（1）：1-7.

[3]俞正強.種子課：讓孩子充分地想[J].人民教育，2014（6）：52-55.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文特等獎

（作者單位：江蘇省鹽城市第一小學教育集團）

數學教學不僅要關注知識的簡單積累，更應重視如何幫助學生實現相應的思維發(fā)展。長此以往，學生思維過程的“無用之用”就會逐步得以外顯。

（2）甘于無為，讓學生自由地“探”

老子說：“有之以為利，無之以為用。”萬事萬物，當然要有“有”，有了“有”，才有依憑、有基礎，但是，有“無”才能夠預留空間，留下自主性、發(fā)展性和可能性。因此，學生能自己看懂的，教師不教；學生能互相教會的，教師不教。我們只需為學生探索知識創(chuàng)造條件，留出思考、探討、反思的時間和空間，激發(fā)其探索的內在動機。正如特級教師閆勤所說：“比起學生能做的事情來，我們需做和可做的事情并不多。”

研究“幾個連續(xù)自然數的和與中間數的關系”，教師出示題目：3個連續(xù)自然數的和與中間數有什么關系？緊跟著出示表格：

與直接用字母a、b、c表示這三個連續(xù)自然數相比較，“較小數”“中間數”“較大數”的呈現，巧妙地提出了中間數，同時為后面的知識拓展埋下了伏筆。在解決并得出“三個連續(xù)自然數的和等于中間數乘3”這個結論后，教師將表格變了變：

同時出示如下問題：（1）把“3個”改成“若干個”，結論還成立嗎？（2）把“連續(xù)”改成“不連續(xù)”，結論還成立嗎？（3）把“自然數”改成“奇數”或“偶數”，結論是否成立？

上述教學過程，通過對結論的“再探究”，層層深入，讓學生自己進一步去分析、判斷、計算、推理、驗證，在問題鏈中體驗探究的魅力，同時感受蘊含其中的數學思想。知識的背后，是學生問題解決能力的提升，是“無用”帶來的“有用”。

2.在實踐探索中品其“無用之用”。

（1）不僅僅“玩”起來——玩且品其內涵

在“做數學”的過程中理解數學知識的內涵，感悟數學思想，是讓學生體會數學價值的重要途徑。相對于單純的思考而言，在“玩”中不知不覺地加入思考，更符合小學生的學習心理，而且滲透于其中的思考也更持久、更深入。

華羅庚告訴我們：“數（shù）起源于數（shǔ）。”怎么數（shǔ）？這里面大有文章。一節(jié)數學課，教師拿出一捆小棒，要求學生數一數一共有多少根。數完之后，教師引導學生聯系自己的生活想一想：除了一個一個地數東西以外，我們還可以怎么數？學生很快想到數筷子時都是兩根兩根地數，于是試著兩根兩根地去數，發(fā)現總數是一樣的。接著順利地過渡到三個三個地數、四個四個地數……在此過程中，教師明教數數，暗教乘除法運算。小棒的根數沒有變，但數法變了，變成了相同加數的運算，而相同加數的和的簡便運算就是乘法，分別數了多少次就是除法。

陳省身說：“數學好玩。”上述教學活動，在“有用”的數數過程中，分明可以感受到“無用”的“玩”更多，卻“玩”出了很“有用”的名堂。學生在數的過程中體驗到隨著數的根數在增加，數的速度越來越快了。此時思考便順理成章了，學生或許說不出為什么，但此時教師又來了一次數數比賽，幾乎所有的學生都選擇五根五根地數，學生用行動告訴我們他們已經初步感知了準變量，領悟到了函數的思想。知識獲得的本質是思想的形成，思想是終身受用的東西，這就是所謂的“大用”。

（2）不僅僅“用”起來——用且品其價值

數學來源于生活，最終必然指向生活中的問題。教師應將數學學習置于社會生活的大背景中，引導學生把目光從課堂投向課外，在多維的空間里進行學習活動，發(fā)現數學問題并解決。世界每天都在變，新聞時刻在更新。馬航飛機失聯事件、光盤行動、霧霾天氣……都可以成為數學“用”的背景，且能讓學生更加關注社會、環(huán)境和民生。這些“用”看似脫離了課本，遠離了解題，與考試無關，非知識積累，但學生應用數學知識和數學思想解決問題的意識會在“用”的過程中逐步提升，從而在生活中感受到數學的力量和數學之美。

數學學習很顯然是有用的，無論是現在還是將來，它都在學生的成長過程中占據著極其重要的位置。但是，它最有用的所在，卻需要我們以接納“無用”的姿態(tài)來接納——摒棄純知識的數學，還能養(yǎng)成一些素養(yǎng)，留下一些不會被時間帶走的東西。思考至此，卻發(fā)現“無用之用”太過博大精深，所思不及萬一。因此，新的思考仍在繼續(xù)……

【參考文獻】

[1]林語堂.老子的智慧[M].南京：江蘇文藝出版社，2009.

[2]鄭毓信.《數學課程標準（2011）》的“另類解讀”[J].數學教育學報，2013，22（1）：1-7.

[3]俞正強.種子課：讓孩子充分地想[J].人民教育，2014（6）：52-55.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文特等獎

（作者單位：江蘇省鹽城市第一小學教育集團）

數學教學不僅要關注知識的簡單積累，更應重視如何幫助學生實現相應的思維發(fā)展。長此以往，學生思維過程的“無用之用”就會逐步得以外顯。

（2）甘于無為，讓學生自由地“探”

老子說：“有之以為利，無之以為用。”萬事萬物，當然要有“有”，有了“有”，才有依憑、有基礎，但是，有“無”才能夠預留空間，留下自主性、發(fā)展性和可能性。因此，學生能自己看懂的，教師不教；學生能互相教會的，教師不教。我們只需為學生探索知識創(chuàng)造條件，留出思考、探討、反思的時間和空間，激發(fā)其探索的內在動機。正如特級教師閆勤所說：“比起學生能做的事情來，我們需做和可做的事情并不多。”

研究“幾個連續(xù)自然數的和與中間數的關系”，教師出示題目：3個連續(xù)自然數的和與中間數有什么關系？緊跟著出示表格：

與直接用字母a、b、c表示這三個連續(xù)自然數相比較，“較小數”“中間數”“較大數”的呈現，巧妙地提出了中間數，同時為后面的知識拓展埋下了伏筆。在解決并得出“三個連續(xù)自然數的和等于中間數乘3”這個結論后，教師將表格變了變：

同時出示如下問題：（1）把“3個”改成“若干個”，結論還成立嗎？（2）把“連續(xù)”改成“不連續(xù)”，結論還成立嗎？（3）把“自然數”改成“奇數”或“偶數”，結論是否成立？

上述教學過程，通過對結論的“再探究”，層層深入，讓學生自己進一步去分析、判斷、計算、推理、驗證，在問題鏈中體驗探究的魅力，同時感受蘊含其中的數學思想。知識的背后，是學生問題解決能力的提升，是“無用”帶來的“有用”。

2.在實踐探索中品其“無用之用”。

（1）不僅僅“玩”起來——玩且品其內涵

在“做數學”的過程中理解數學知識的內涵，感悟數學思想，是讓學生體會數學價值的重要途徑。相對于單純的思考而言，在“玩”中不知不覺地加入思考，更符合小學生的學習心理，而且滲透于其中的思考也更持久、更深入。

華羅庚告訴我們：“數（shù）起源于數（shǔ）。”怎么數（shǔ）？這里面大有文章。一節(jié)數學課，教師拿出一捆小棒，要求學生數一數一共有多少根。數完之后，教師引導學生聯系自己的生活想一想：除了一個一個地數東西以外，我們還可以怎么數？學生很快想到數筷子時都是兩根兩根地數，于是試著兩根兩根地去數，發(fā)現總數是一樣的。接著順利地過渡到三個三個地數、四個四個地數……在此過程中，教師明教數數，暗教乘除法運算。小棒的根數沒有變，但數法變了，變成了相同加數的運算，而相同加數的和的簡便運算就是乘法，分別數了多少次就是除法。

陳省身說：“數學好玩。”上述教學活動，在“有用”的數數過程中，分明可以感受到“無用”的“玩”更多，卻“玩”出了很“有用”的名堂。學生在數的過程中體驗到隨著數的根數在增加，數的速度越來越快了。此時思考便順理成章了，學生或許說不出為什么，但此時教師又來了一次數數比賽，幾乎所有的學生都選擇五根五根地數，學生用行動告訴我們他們已經初步感知了準變量，領悟到了函數的思想。知識獲得的本質是思想的形成，思想是終身受用的東西，這就是所謂的“大用”。

（2）不僅僅“用”起來——用且品其價值

數學來源于生活，最終必然指向生活中的問題。教師應將數學學習置于社會生活的大背景中，引導學生把目光從課堂投向課外，在多維的空間里進行學習活動，發(fā)現數學問題并解決。世界每天都在變，新聞時刻在更新。馬航飛機失聯事件、光盤行動、霧霾天氣……都可以成為數學“用”的背景，且能讓學生更加關注社會、環(huán)境和民生。這些“用”看似脫離了課本，遠離了解題，與考試無關，非知識積累，但學生應用數學知識和數學思想解決問題的意識會在“用”的過程中逐步提升，從而在生活中感受到數學的力量和數學之美。

數學學習很顯然是有用的，無論是現在還是將來，它都在學生的成長過程中占據著極其重要的位置。但是，它最有用的所在，卻需要我們以接納“無用”的姿態(tài)來接納——摒棄純知識的數學，還能養(yǎng)成一些素養(yǎng)，留下一些不會被時間帶走的東西。思考至此，卻發(fā)現“無用之用”太過博大精深，所思不及萬一。因此，新的思考仍在繼續(xù)……

【參考文獻】

[1]林語堂.老子的智慧[M].南京：江蘇文藝出版社，2009.

[2]鄭毓信.《數學課程標準（2011）》的“另類解讀”[J].數學教育學報，2013，22（1）：1-7.

[3]俞正強.種子課：讓孩子充分地想[J].人民教育，2014（6）：52-55.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文特等獎

（作者單位：江蘇省鹽城市第一小學教育集團）