數學概括淺議

李志娟

我國著名數學家、數學教育家華羅庚先生生前十分重視中學數學教育事業。他提出的讀書公式：“薄厚”讀書法在中學數學界乃至整個教育界廣為流傳和稱頌。學生學習數學知識、技能和方法的過程是一個從不知到知，從知之不多到知之甚多的不斷積聚的過程。這就是公式的第一步：“從薄到厚”。公式的第二步：“從厚到薄是數學知識、技能的總結概括，思想方法的提煉升華的過程。而培養學生的數學概括能力，對學生正確認識數學，發展數學學習能力，優化學習效果都有相當重要的作用。

數學作為一門學科，它的本質特征之一是高度的抽象性和高度的概括性，數學本身就是客觀世界的數量關系和空間形式的最抽象、最概括的反映。就數學教育而言，培養學生概括能力無疑是提高學生數學思維水平的一項重要內容。

什么是數學概括？曹才翰教授在《中學數學教學概論》中指出了它的意義：“其一，指在思想上把具有相同本質特性的事物聯系起來;其二，是把被研究對象的本質特性推廣為范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質特性。”

本文擬從中學數學教育的角度淺議數學概括，著重討論中學數學教材涉及的數學通則通法的概括和數學遷移概括。

一、數學通則通法的概括

1.概括和再概括數學通則通法是數學教學研究的重要素材，包括定理、性質、公式和法則在內的數學教學內容是前人研究和總結出來的數學成果，是真知。數學教學的一個任務就是要把這些數學成果用科學的教學方法傳授給學生，使之能理解、掌握和應用。

2.建模和擴模不論是把實際問題轉化為數學問題，還是單純解數學題，都離不開把問題和解決問題的方法進行比較分類，抽象概括出一種數學結構形式，然后利用這種結構形式來熟練地解決同類型的實際問題和數學問題。這就是從狹義的角度來認識建構數學模型。從這個意義上講，數學模型是數學抽象概括的結果。數學中每一個計算公式、每一類方程、每一種函數都可以看作一個數學模型。在建模用模的同時，不應把模型看成僵化的、一成不變的東西，而應考慮模型及其功能的變化發展。

二、數學遷移概括

在學習過程中，先行學習和后續學習總是互相影響、互相干擾的，我們把這兩者之間的影響、干擾稱為“遷移”。學習甲時獲得的一般數學原理方法如能適用于學習乙時，若能從學習甲、乙過程中概括出它們的共同的數學原理和方法，我們稱之為數學遷移概括。求解二次方程，無論是分解因式還是開平方，都是為了降為一次方程，引導學生把降次法遷移到解特殊的高次方程上來，這就是一種數學遷移概括。許多學生對“x>1 ?x≥1”這一推理的正確性持懷疑態度，認為結論中的“x=1”在前提中不存在，是無論如何推導不出的。可見把這一類問題提到集合思想觀念的高度來認識處理，這實際上就是把子集概念的數學結構遷移概括到一些特殊數學事實的認識和處理上了。對中學數學教材結構體系，學生一般了解不深，但能粗淺地認識到數學教材總是從建立公理、定義概念開始，一步步演繹出一系列的數學知識和方法，有的同學還能注意到教材中定理、公式出現的邏輯順序，并從自己的學習經驗中意識到用前一個定理的結果去推證后一定理（或推論），比用定義、概念出發去推證更為簡易。所有這些實質上是對數學公理化思想的點滴意會。

三、數學概括能力的培養

1.必須重視數學知識發展過程的教學數學具有邏輯嚴謹的特點，新概念（新知識）往往是在原有概念（舊知識）的基礎上引進和建立的。合理組織教學活動，加強新舊知識的聯系是把新知識納入學生原有認知結構實現知識遷移的重要途經。重視新知識（包括概念、定理、公式、法則等）的發生、發展、鞏固和系統化（小結）的教學，從教材中發掘培養學生概括能力的因素，并利用它來提高學生數學知識的概括水平，這是讓學生學習數學的一個關鍵。

當前數學教學中不同程度的存在“概念知識一帶而過，練習課代替復習課”的傾向，無論對學生數學知識技能的掌握還是數學能力的培養都是有百弊而無一利的。

2.必須摒棄“題海戰”的教學模式當前考試指揮教學的功能仍有增無已。為應付考試，教師企圖窮盡考試要求范圍內的所有題型（及各種變形），將其全部塞給學生訓練。這種題型加題量的訓練模式（俗稱“題海戰”）是一種就題論題式的、缺乏概括的模式。花時多，收效少，學生負擔重。這種只知改變題目的外在形式，不顧學生內在的思維活動的教學方式，是不能達到知識、能力廣泛遷移的目的的。因為一方面訓練題量的多少和培養能力的大小并非成正比例，題量題型過多并不能提高學生區分事物的現象和本質、聯系事物共同的本質屬性的思維水平;另一方面，過重的學習負擔產生過重的心理負擔，使學生不能以愉悅的、有興趣的心情和積極、主動的態度對待數學學習，而產生學習態度的負遷移，這是最為令人擔憂的教學后果。

3.必須重視解題思路的概括解題是學習數學的必要途經。對解法典型概括內容較多的數學題，教師幫助學生建立題型模式，使學生能識模、用模，熟練同類題目的解法思路。在這過程中教師要自己暴露（或讓學生經歷）從直覺思維到理性思維的過程，進行有層次的數學概括。同時教師不能滿足于這種題型歸類的淺層次概括，還應當從數學思想方法的高度對解題思路進行較高層次的概括。高考第一輪復習，在回顧各章節內容之前，先系統介紹數學思想方法，實踐證明是有益的。非畢業年級的數學教學，以知識內容為載體，有條件地逐步滲透各種數學思想方法，對學生各種思維能力（包括數學概括能力）的提高也同樣是有益的。endprint