復變函數中定積分的計算

王華閣

（新鄉醫學院 基礎醫學院，河南 新鄉 453003）

在《復變函數與積分變換》教材中，在復變函數這部分內容中，定積分的計算方法多種多樣，我們可以針對具體的定積分題型，選擇合適的積分方法。 在這里，我們針對每種積分類型的特點，通過相應的例題，給出具體的解法。

1 參數方程法

對于積分曲線C 為不封閉曲線的定積分，可以考慮參數方程法進行計算。 用參數方程法計算定積分可以根據不同情況由兩種方法進行計算。

1.1 通過化為兩個二元實變函數的積分進行計算

由z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），可得

解：設f（z）=z2=（x2-y2）+2ixy，u=x2-y2，v=2xy。

設曲線C1的參數方程為

1.2 化為參變量的定積分進行計算

對于例1，我們可以化為參變量的定積分，按照這種方法進行計算。

解：設曲線C1的參數方程為

從而，

2 根據柯西定理及推論進行計算

2.1 定理1（柯西定理）

設C 是一條簡單正向閉曲線，f（z）在以C 為邊界的有界閉區域D 上解析，則

2.2 定理2（柯西定理推論）

設D 為由外線路C0和內線路C0，C1，C2，…，Cn圍成的多連通 區 域，f（z）在D 內及邊界曲線C0，C1，C2，…，Cn上解析，則這里C 為多連通區域D 的所有正向邊界，方向為C0取逆時針方向，ck（k=1，2，L，n）取順時針方向。

例3：C 為矩形區域0≤x≤3，0≤y≤2 的正向邊界， 證明：

證明：在矩形區域里做正向圓周R：z-（2+i）=reiθ（θ：2π→0），則在圖中的復連通區域內解析，從而根據柯西定理的推論有：

3 根據柯西積分公式進行計算

定理3：設f（z）在簡單正向閉曲線C 及所圍區域D 內處解析，z0為D 內任一點，則我們把這個公式稱為柯西積分公式。

定理3 說明f（z0）可由函數在C 上的積分來確定，但實際上，我們通常把這個公式進行變形，可以用這個公式來計算積分

用柯西積分公式進行計算時， 先對曲線C 的解析性做判斷，然后按照下列步驟進行：首先注意C 應該為正向閉曲線，若f（z）在C 所圍的區域里解析，則根據柯西定理，若f（z）在C 所圍的區域里不解析，再分以下兩種情況：

（1）當f（z）有一個不解析點z0時，考慮能否把f（z）化成，其中g（z）在C 內解析，則由柯西積分公式可得，

（2）當f（z）有n 個不解析點時，做以不解析點為圓心的正向圓周C1，…，Cn，半徑足夠小，則由柯西定理的推論，

解：當C 為|z-2|=1 時，

4 利用高階導數公式進行計算

定理4：設f（z）在簡單正向閉曲線C 及其所圍區域D 內處解析，z0為D 內任一點， 則0，1，2…）

解：因為cosπz 在復平面上處處解析，所以由定理4，

5 利用留數定理進行計算

定理5（留數定理）：設D 是復平面上的一個有界閉區域，若f（z）在D 內除有限個孤立奇點z1，z2，…，zn外處處解析，且它在D的邊界C 上也解析，則

利用留數定理計算定積分的步驟：

（1）找出C 所圍區域內f（z）的所有孤立奇點，設為z1，z2，…，zn。

（2）對每個孤立奇點zi，分別求Res（f，zi）。

（3）利用留數定理求定積分：

[1]蘇變萍，陳東立.復變函數與積分變換[M].北京:高等教育出版社，2010.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社，2007.

[3]鐘玉泉.復變函數論[M].北京:高等教育出版社，1988.