例談新課程下實現數學探究方式的實踐

姚衛

“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造過程。”學生基于對數學的恐懼心理和對教師的依賴心理和語言表達能力較差等原因，沒有探究數學的能力與習慣。我在教學實踐中，嘗試用以下幾種數學探究的方法對學生的學習方式進行一些改變。

一、 創設問題情境，提高學生自主性

課堂教學是學生能動學習的過程，是師生平等對話的過程，教學過程是師生交往、積極互動、共同發展的過程。因此師生關系是平等的、民主的、和諧的。教師不再是知識的權威、真理的化身，教師由傳統教學中主角地位轉向課堂教學中師生交往的“平等中的首席”。課堂上教師要把學習的主動權交給學生，讓學生在問題情景中進行自主探究和合作交流，真正成為課堂的主人。通過創設問題情境，提高學生的學習積極性，激發學生的數學思維，讓學生更好地投入到數學的學習中來。

案例1：在“四種命題的相互關系”這節課的教學中通過以下個問題引導學生探究“四種命題的相互關系”：問題1：原命題、逆命題、否命題、逆否命題的一般形式是什么？問題2：原命題與逆命題是什么關系？原命題與否命題是什么關系？原命題與逆否命題是什么關系？問題3：根據問題2的方法，你能分析逆命題與逆否命題、否命題與逆否命題、逆命題與否命題是什么關系？問題4：你能判斷下列命題及它的逆命題、否命題、逆否命題的真假嗎？（1）若x=0，則2x=0;（2）若x=0，則xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，則x=2;（4）若a>0，則ab>0。問題5：根據問題4，我們能得到什么結論呢？問題6：根據今天所學的四種命題的真假性的關系，如果我們直接證明某一個命題為真命題有困難時，可采取什么辦法？為什么？問題7：本節課，我們學習了哪些知識？哪些方法？

案例2：在“空間兩點間的距離公式”課例中，通過問題引導學生去將空間的知識、方法等與已有的平面的知識、方法進行類比，使得學生能夠探究出空間兩點間的距離公式及其證明方法，使得學生能體會到學習數學的成就感。

研究表明：“具有啟發性、創新性、發散性的課堂提問和以‘問題串和‘立體性提問為主的課堂提問是有效的”，也一定能引導學生對數學知識的探究。

二、以多媒體技術引導學生探究數學相關問題

現代信息技術與學科的整合，實現了學習內容的呈現方式、學生的學習方式、教師的教學方式、和師生互動方式的變革，為學生的學習和發展提供了豐富的教學環境和有力的學習工具。數學實踐活動的目的，就是培養學生的創新精神和創新意識，數學實踐活動課是培養學生主動探究和主動創新的自由天地。我們可以根據教學的需要以及學生的心理特點， 充分發揮多媒體技術優勢，就可以創造出生動、形象、具體的問題情境，引發學生的學習興趣，拓展學生的思路，培養學生的創新意識，優化學生的思維過程。

案例3：雙曲線的定義及其標準方程的新課教學中，新課標人教A版選修2-1提供的“拉鏈”的探究比較難以在課堂上完成，可以利用幾何畫板來創設探究性的情境。在幾何畫板中畫圓A、圓A上任一點C及圓A外一點B，做線段BC的垂直平分線與直線AC的交點P，那么P隨點C的運動軌跡是雙曲線（如圖1）。再引導學生分析點P到B、C兩點的距離相等，而線段AC的長度是圓A的半徑，從而得到P點到A的距離與P點到B的距離的差是定值的幾何性質，從而引出雙曲線的定義。當然如果將點B移動到圓A內就變成橢圓了（如圖2），類似的還有拋物線的定義。

三、以錯題來引導學生探究概念和公式的來源

學生做錯題是因為對相關的概念和公式的理解不透徹，到底在什么地方沒有理解透，剛好通過錯題發現和引導學生探究，去弄清楚在知識的理解上存在的問題，對于學生存在的問題，教師可以利用這樣的問題，反面地去教育學生，引起學生的注意力，讓學生更加注意自己的問題，在今后的學習中能夠更好地對待這樣的問題。而對于其他學生或者別人在數學學習中產生的問題，就可以以這樣的題目進行舉例分析，讓學生通過觀察別人產生的問題，帶入到自己的學習之中，在自己在碰到類似的知識點時，就可以更為全面地進行解決，提高對知識的理解程度。

案例4：有這樣一道數列題：設數列{an}是等比數列，且前20項的和是8，前30項的和是26，求前10項的和。學生在解這道題通常有兩種解法：其一利用等比數列的求和公式列方程組解得q10=3或q10=-■（舍），進而解出S10=2;其二是利用等比數列的和的一個性質（等比數列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比數列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入數字后解出S10=2或S10=32。法二顯然要比法一從計算量上要小得多，故學生多選法二，但是法二出現增根，學生不知道如何舍去，容易出錯。于是帶領學生從性質推導過程中尋找出現增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比數列，且公比為qk，但若k為偶數，qk>0，則Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一個式子同正或同負！該題的恰好為偶數，所以，若S10=32，則會出現S10，S20 -S10，S30 -S20的符號不同，所以是增根。

“利用錯題展開探究教學，充分調動學生頭腦中已有的知識和經驗，大膽質疑，生成新的理解與見地，在交流中澄清認識，在思維碰撞中，催生新智慧，體驗喜悅。” 這樣的探究課“有助于建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神;有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，有助于發展學生的創新意識和實踐能力”。

無論是數學概念，數學定理，還是數學思想和方法，都是通過無限的特殊的個體而總結出的不變的一般的性質和規律。面對忽略了過程的“冷酷”的結論性數學概念、定理和思想方法，學生們感到“茫然”。學生通過課堂可以感受到“知識不是老師教的，而是自己發現的”這一現象，在孩子好奇心和爭強好勝的性格特點下很容易培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生有濃厚的學習興趣后，在開展探究時就可以更深刻、更廣泛，形成良性循環后，探究就可以變成學習的常態。

責任編輯 ?羅 ?峰endprint

“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造過程。”學生基于對數學的恐懼心理和對教師的依賴心理和語言表達能力較差等原因，沒有探究數學的能力與習慣。我在教學實踐中，嘗試用以下幾種數學探究的方法對學生的學習方式進行一些改變。

一、 創設問題情境，提高學生自主性

課堂教學是學生能動學習的過程，是師生平等對話的過程，教學過程是師生交往、積極互動、共同發展的過程。因此師生關系是平等的、民主的、和諧的。教師不再是知識的權威、真理的化身，教師由傳統教學中主角地位轉向課堂教學中師生交往的“平等中的首席”。課堂上教師要把學習的主動權交給學生，讓學生在問題情景中進行自主探究和合作交流，真正成為課堂的主人。通過創設問題情境，提高學生的學習積極性，激發學生的數學思維，讓學生更好地投入到數學的學習中來。

案例1：在“四種命題的相互關系”這節課的教學中通過以下個問題引導學生探究“四種命題的相互關系”：問題1：原命題、逆命題、否命題、逆否命題的一般形式是什么？問題2：原命題與逆命題是什么關系？原命題與否命題是什么關系？原命題與逆否命題是什么關系？問題3：根據問題2的方法，你能分析逆命題與逆否命題、否命題與逆否命題、逆命題與否命題是什么關系？問題4：你能判斷下列命題及它的逆命題、否命題、逆否命題的真假嗎？（1）若x=0，則2x=0;（2）若x=0，則xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，則x=2;（4）若a>0，則ab>0。問題5：根據問題4，我們能得到什么結論呢？問題6：根據今天所學的四種命題的真假性的關系，如果我們直接證明某一個命題為真命題有困難時，可采取什么辦法？為什么？問題7：本節課，我們學習了哪些知識？哪些方法？

案例2：在“空間兩點間的距離公式”課例中，通過問題引導學生去將空間的知識、方法等與已有的平面的知識、方法進行類比，使得學生能夠探究出空間兩點間的距離公式及其證明方法，使得學生能體會到學習數學的成就感。

研究表明：“具有啟發性、創新性、發散性的課堂提問和以‘問題串和‘立體性提問為主的課堂提問是有效的”，也一定能引導學生對數學知識的探究。

二、以多媒體技術引導學生探究數學相關問題

現代信息技術與學科的整合，實現了學習內容的呈現方式、學生的學習方式、教師的教學方式、和師生互動方式的變革，為學生的學習和發展提供了豐富的教學環境和有力的學習工具。數學實踐活動的目的，就是培養學生的創新精神和創新意識，數學實踐活動課是培養學生主動探究和主動創新的自由天地。我們可以根據教學的需要以及學生的心理特點， 充分發揮多媒體技術優勢，就可以創造出生動、形象、具體的問題情境，引發學生的學習興趣，拓展學生的思路，培養學生的創新意識，優化學生的思維過程。

案例3：雙曲線的定義及其標準方程的新課教學中，新課標人教A版選修2-1提供的“拉鏈”的探究比較難以在課堂上完成，可以利用幾何畫板來創設探究性的情境。在幾何畫板中畫圓A、圓A上任一點C及圓A外一點B，做線段BC的垂直平分線與直線AC的交點P，那么P隨點C的運動軌跡是雙曲線（如圖1）。再引導學生分析點P到B、C兩點的距離相等，而線段AC的長度是圓A的半徑，從而得到P點到A的距離與P點到B的距離的差是定值的幾何性質，從而引出雙曲線的定義。當然如果將點B移動到圓A內就變成橢圓了（如圖2），類似的還有拋物線的定義。

三、以錯題來引導學生探究概念和公式的來源

學生做錯題是因為對相關的概念和公式的理解不透徹，到底在什么地方沒有理解透，剛好通過錯題發現和引導學生探究，去弄清楚在知識的理解上存在的問題，對于學生存在的問題，教師可以利用這樣的問題，反面地去教育學生，引起學生的注意力，讓學生更加注意自己的問題，在今后的學習中能夠更好地對待這樣的問題。而對于其他學生或者別人在數學學習中產生的問題，就可以以這樣的題目進行舉例分析，讓學生通過觀察別人產生的問題，帶入到自己的學習之中，在自己在碰到類似的知識點時，就可以更為全面地進行解決，提高對知識的理解程度。

案例4：有這樣一道數列題：設數列{an}是等比數列，且前20項的和是8，前30項的和是26，求前10項的和。學生在解這道題通常有兩種解法：其一利用等比數列的求和公式列方程組解得q10=3或q10=-■（舍），進而解出S10=2;其二是利用等比數列的和的一個性質（等比數列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比數列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入數字后解出S10=2或S10=32。法二顯然要比法一從計算量上要小得多，故學生多選法二，但是法二出現增根，學生不知道如何舍去，容易出錯。于是帶領學生從性質推導過程中尋找出現增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比數列，且公比為qk，但若k為偶數，qk>0，則Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一個式子同正或同負！該題的恰好為偶數，所以，若S10=32，則會出現S10，S20 -S10，S30 -S20的符號不同，所以是增根。

“利用錯題展開探究教學，充分調動學生頭腦中已有的知識和經驗，大膽質疑，生成新的理解與見地，在交流中澄清認識，在思維碰撞中，催生新智慧，體驗喜悅。” 這樣的探究課“有助于建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神;有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，有助于發展學生的創新意識和實踐能力”。

無論是數學概念，數學定理，還是數學思想和方法，都是通過無限的特殊的個體而總結出的不變的一般的性質和規律。面對忽略了過程的“冷酷”的結論性數學概念、定理和思想方法，學生們感到“茫然”。學生通過課堂可以感受到“知識不是老師教的，而是自己發現的”這一現象，在孩子好奇心和爭強好勝的性格特點下很容易培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生有濃厚的學習興趣后，在開展探究時就可以更深刻、更廣泛，形成良性循環后，探究就可以變成學習的常態。

責任編輯 ?羅 ?峰endprint

“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造過程。”學生基于對數學的恐懼心理和對教師的依賴心理和語言表達能力較差等原因，沒有探究數學的能力與習慣。我在教學實踐中，嘗試用以下幾種數學探究的方法對學生的學習方式進行一些改變。

一、 創設問題情境，提高學生自主性

課堂教學是學生能動學習的過程，是師生平等對話的過程，教學過程是師生交往、積極互動、共同發展的過程。因此師生關系是平等的、民主的、和諧的。教師不再是知識的權威、真理的化身，教師由傳統教學中主角地位轉向課堂教學中師生交往的“平等中的首席”。課堂上教師要把學習的主動權交給學生，讓學生在問題情景中進行自主探究和合作交流，真正成為課堂的主人。通過創設問題情境，提高學生的學習積極性，激發學生的數學思維，讓學生更好地投入到數學的學習中來。

案例1：在“四種命題的相互關系”這節課的教學中通過以下個問題引導學生探究“四種命題的相互關系”：問題1：原命題、逆命題、否命題、逆否命題的一般形式是什么？問題2：原命題與逆命題是什么關系？原命題與否命題是什么關系？原命題與逆否命題是什么關系？問題3：根據問題2的方法，你能分析逆命題與逆否命題、否命題與逆否命題、逆命題與否命題是什么關系？問題4：你能判斷下列命題及它的逆命題、否命題、逆否命題的真假嗎？（1）若x=0，則2x=0;（2）若x=0，則xy=0;（3）若（x-2）（x-1）=0，則x=2;（4）若a>0，則ab>0。問題5：根據問題4，我們能得到什么結論呢？問題6：根據今天所學的四種命題的真假性的關系，如果我們直接證明某一個命題為真命題有困難時，可采取什么辦法？為什么？問題7：本節課，我們學習了哪些知識？哪些方法？

案例2：在“空間兩點間的距離公式”課例中，通過問題引導學生去將空間的知識、方法等與已有的平面的知識、方法進行類比，使得學生能夠探究出空間兩點間的距離公式及其證明方法，使得學生能體會到學習數學的成就感。

研究表明：“具有啟發性、創新性、發散性的課堂提問和以‘問題串和‘立體性提問為主的課堂提問是有效的”，也一定能引導學生對數學知識的探究。

二、以多媒體技術引導學生探究數學相關問題

現代信息技術與學科的整合，實現了學習內容的呈現方式、學生的學習方式、教師的教學方式、和師生互動方式的變革，為學生的學習和發展提供了豐富的教學環境和有力的學習工具。數學實踐活動的目的，就是培養學生的創新精神和創新意識，數學實踐活動課是培養學生主動探究和主動創新的自由天地。我們可以根據教學的需要以及學生的心理特點， 充分發揮多媒體技術優勢，就可以創造出生動、形象、具體的問題情境，引發學生的學習興趣，拓展學生的思路，培養學生的創新意識，優化學生的思維過程。

案例3：雙曲線的定義及其標準方程的新課教學中，新課標人教A版選修2-1提供的“拉鏈”的探究比較難以在課堂上完成，可以利用幾何畫板來創設探究性的情境。在幾何畫板中畫圓A、圓A上任一點C及圓A外一點B，做線段BC的垂直平分線與直線AC的交點P，那么P隨點C的運動軌跡是雙曲線（如圖1）。再引導學生分析點P到B、C兩點的距離相等，而線段AC的長度是圓A的半徑，從而得到P點到A的距離與P點到B的距離的差是定值的幾何性質，從而引出雙曲線的定義。當然如果將點B移動到圓A內就變成橢圓了（如圖2），類似的還有拋物線的定義。

三、以錯題來引導學生探究概念和公式的來源

學生做錯題是因為對相關的概念和公式的理解不透徹，到底在什么地方沒有理解透，剛好通過錯題發現和引導學生探究，去弄清楚在知識的理解上存在的問題，對于學生存在的問題，教師可以利用這樣的問題，反面地去教育學生，引起學生的注意力，讓學生更加注意自己的問題，在今后的學習中能夠更好地對待這樣的問題。而對于其他學生或者別人在數學學習中產生的問題，就可以以這樣的題目進行舉例分析，讓學生通過觀察別人產生的問題，帶入到自己的學習之中，在自己在碰到類似的知識點時，就可以更為全面地進行解決，提高對知識的理解程度。

案例4：有這樣一道數列題：設數列{an}是等比數列，且前20項的和是8，前30項的和是26，求前10項的和。學生在解這道題通常有兩種解法：其一利用等比數列的求和公式列方程組解得q10=3或q10=-■（舍），進而解出S10=2;其二是利用等比數列的和的一個性質（等比數列中的Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……也成等比數列）求解，列出等式（S20-S10）2=S10·（S30-S20），代入數字后解出S10=2或S10=32。法二顯然要比法一從計算量上要小得多，故學生多選法二，但是法二出現增根，學生不知道如何舍去，容易出錯。于是帶領學生從性質推導過程中尋找出現增根的原因，容易得到Sk，S2k-Sk，S3k -S2k……成等比數列，且公比為qk，但若k為偶數，qk>0，則Sk，S2k -Sk，S3k -S2k……中每一個式子同正或同負！該題的恰好為偶數，所以，若S10=32，則會出現S10，S20 -S10，S30 -S20的符號不同，所以是增根。

“利用錯題展開探究教學，充分調動學生頭腦中已有的知識和經驗，大膽質疑，生成新的理解與見地，在交流中澄清認識，在思維碰撞中，催生新智慧，體驗喜悅。” 這樣的探究課“有助于建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神;有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，有助于發展學生的創新意識和實踐能力”。

無論是數學概念，數學定理，還是數學思想和方法，都是通過無限的特殊的個體而總結出的不變的一般的性質和規律。面對忽略了過程的“冷酷”的結論性數學概念、定理和思想方法，學生們感到“茫然”。學生通過課堂可以感受到“知識不是老師教的，而是自己發現的”這一現象，在孩子好奇心和爭強好勝的性格特點下很容易培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生有濃厚的學習興趣后，在開展探究時就可以更深刻、更廣泛，形成良性循環后，探究就可以變成學習的常態。

責任編輯 ?羅 ?峰endprint