用游戲引發數學思考

林永榮+吳雪琪

“游戲公平”是北師大版《數學》四年級下冊的內容。本節課是學生在知道事件發生的可能性有大小，能對一些簡單事件發生的可能性作出定性描述的基礎上，通過游戲活動體驗只有“等可能性事件”的游戲規則才是公平的，并在此基礎上設計簡單的、公平的游戲規則。游戲應該怎么設計，才能使學生深度參與探究活動，真正引發學生數學思考呢？林永榮老師執教這節課時，做出了大膽、有益的嘗試，給我們很大的啟發。

創設情境，引發認知沖突

師：同學們，喜歡玩游戲嗎？

生：喜歡！

師：好！今天我們就來玩一個游戲。我們在游戲中不僅要玩得開心，還要玩出勝負，更要玩出學問來。

請看大屏幕：

男生和女生做摸牌游戲（牌面點數分別為“梅花A、方塊2、黑桃3、紅心4”的四張撲克牌）。

（課件出示游戲規則）

規定：1.每次每人各摸一張，計完分后放回，重洗。

2.如果所摸出的2張牌的牌面點數之積為奇（單）數時，男生記1分，否則女生記1分。

3.摸10次，得分多者勝。

師：這規則公平嗎？

生（大多數學生齊說）：公平。

師：為什么公平？

生：因為這里的單數、雙數各有兩個。那么得到是單數和雙數的可能性就一樣，所以我認為這里的規則是公平的。

師：猜一猜，誰可能會贏？并說說你的理由。

生1：男生可能會贏，女生也有可能贏，說不準。

生2：我同意生1的說法，因為他們贏的機會是一樣的。不過，我還是猜男生會贏，他的運氣可能好點。

生3：我認為這個規則不公平，因為只有1×3的積才是單數。所以我覺得女生會贏。

師：現在出現兩種不同意見了。有的說公平，有的說不公平。怎么辦？

生：我們可以通過摸牌來驗證是不是公平的。

師：好！那么我們現在就分組進行游戲，請各組組長組織游戲，游戲的時候要注意記錄好數據哦。

（小組進行游戲活動，4分鐘后各組游戲結束）

師：現在請各組匯報游戲結果。

組1：我們組游戲結果是這樣的：乘積是單數的出現1次，雙數出現了9次，也就是男生得了1分，女生得了9分，女生贏了。

組2：我們組男生得了3分，女生得了7分，也是女生贏了。

組3：我們組的游戲結果和第二組一樣，也是男生得3分，女生得7分，女生贏了。

組4：我們組的結果是乘積為單數的2次，雙數為8次，女生贏了。

組5：我們組的結果是積為單數1次，雙數9次，男生輸了。

組6：我們組的結果是積為單數1次，雙數9次，女生贏了。

組7：我們組的結果是單數0次，雙數10次，女生贏了。

組8：我們組的結果也是單數1次，雙數9次，女生贏了。

學生通過“拋圖釘”“摸球”活動充分感受了不確定現象，已經能列出簡單事件所有可能發生的結果。本課教材編排的“擲骰子、擲硬幣”游戲是學生以前活動的重復，無法引發學生深度的數學思考。于是，教師設計了一個看似公平、實則不公平的“摸牌游戲”，先讓學生猜想游戲結果，并對游戲的公平性進行了初步判斷、分析；接著，教師組織學生分組游戲來驗證猜想，而游戲的結果與學生猜想相去甚遠。這時，學生已經無法“淡定”了，他們迫切希望解開謎底——“這個游戲為什么這么不公平？”

感受可能性相等要比感受可能性不相等更不容易，因此，教師精心設計了這個環節，從感受游戲的不公平入手，引起學生的認知沖突，激發學生探究欲望，創設了學生數學思考的問題情境。

指導分析，啟迪數學思維

師：現在我宣布，女生在這次游戲中贏了！而且是以絕對優勢勝出！

眾男生：不公平！不公平！

師：同是兩個奇數、兩個偶數。按它們的乘積的奇偶性記分，為什么女生能贏得這么爽？

（學生分析、討論，大約3分鐘時間。）

生1：1×2的結果不是單數，只有1×3的結果才是單數（圖1所示），其他的乘積都是雙數。在這里單數只出現1次，而雙數出現了5次。所以游戲是不公平的。

生2：男生贏的機會只有兩次，也就是只有當男生摸到1，女生摸到3；或者男生摸到3，女生摸到1的時候，兩張牌面的點數乘積才是單數。但雙數與任何數乘起來，結果都是雙數。在表格中（圖2所示）我們可以看到：乘積是單數只有兩個，雙數卻有10個，所以游戲不公平。

生3：我沒有計算，不過我想，只有奇數×奇數的積才會是奇數；奇數×偶數與偶數×偶數的積都是偶數。這四張牌中有兩個奇數，兩個偶數。在摸牌的時候，只要有一個人摸到一張偶數，那么，另一個不管摸到什么牌，它們的乘積一定是偶數；而當其中一個人摸到的是奇數時，另一個人必須也是摸到奇數，它們的乘積才會是奇數；所以游戲是不公平的。

師：男生一定會輸嗎？

生：不一定。

師：為什么說“不一定”呢？

生：因為乘積是單數的情況也存在。只不過輸的可能性比女生大得多，男生有機會贏，只是要運氣特別好的時候會贏。

師：這樣的游戲規則怎么樣？

生（齊）：不公平！

師：到底怎樣的游戲才是公平、合理的呢？這節課，我們就借助數學思想來理性分析游戲規則的公平性。

通過“摸牌游戲”，學生充分感受了游戲的不公平，教師順勢問道：“同是兩個奇數、兩個偶數。按它們的乘積的奇偶性記分，為什么女生會贏得這么爽？”這個問題一提出，聚焦了學生思考的方向，引導他們用數學方法來分析、解釋現象。學生有的用枚舉的方法，有的用列表來分析，有的是通過推理進行分析……學生的數學思維品質因深入的理性分析而得到進一步發展。如何真正引發學生有效地進行數學思考是數學課堂的重要課題。在這個環節中，教師放手讓學生主動探索，充分尊重、相信學生，給學生創造了進行深刻、嚴謹的數學思考的時間與空間，點燃了學生智慧的火花。endprint

深度對話，發展數學思考

師：既然剛才的游戲如此不公平，那么如何修改游戲規則使游戲公平呢？

（學生先獨立思考，然后在小組里交流。）

生：比單雙。

師：怎么比單雙？

生：就是如果兩個人摸到的牌面點數都是單數時，男生記1分；都是雙數時，女生記1分。

師：如果摸到的是一單一雙怎么辦？

生：那就兩個人都不記分，重新摸。

師：這樣的規則公平嗎？

生：公平。因為這里有兩個單數，兩個雙數，同時摸到單數的可能性有一次，同時摸到雙數的可能性也是一次，摸到一單一雙的可能性是兩次。

師：以兩人摸到牌面的點數的奇偶性記分，除了這種記分規則是公平的之外，還有沒有別的以奇偶性記分規則也是公平的？

生：我們以奇偶性相同時，男生記1分，奇偶性不同時女生記1分。也是公平的。

師：真的公平嗎？

生：是公平的，我們來看看奇偶性相同時，即都是奇數或偶數時共有兩種情況，奇偶性不同時也是有兩種情況。

師：嗯，分析得很到位。還有其他修改方法嗎？

生：把積改為和。這也就是把原來第二條規則改為“如果所摸出的兩張牌，牌面點數之和為奇（單）數時，男生記1分；否則女生記1分”。

師：這樣修改之后公平嗎？

生：不公平的。

師：說說看。

生：我是用一個一個列出來的方式也發現不公平。

師：很好，這個同學用分析的方法解決了問題，修改成計算兩數之和也是不公平的。還有別的修改方法嗎？

師：我們能否通過換牌面點數，還是按原來的記分規則來記分，使游戲公平？

生：把2或4換成5或許可以。我沒分析過。

師：會不會公平呢？那么我們現在就把4換成5，并按剛才方法分析一下，看看是否公平。

生：這是公平的。1×2=2是偶數，1×3=3是奇數，1×5=5是奇數，2×3=6是偶數，2×5=10是偶數，3×5是奇數。可以看出6個積中有3個奇數和3個偶數。奇數和偶數出現的可能性一樣，所以是公平的。

有了之前對“不公平”游戲的體驗與分析，學生對公平的游戲規則理解更深刻了，此時，教師創設了“修改游戲規則使游戲公平”的探究活動。在富有挑戰性的活動中，師生進行了深度對話，學生的思路開闊，各種方案在對話中逐一呈現，無論是簡單的還是復雜的，都能抓住游戲公平的本質——事件發生的可能性相等。在探究活動過程中，學生得到了最鮮活的學習體驗，積累了真實有效的數學基本活動經驗。

縱觀全課，教師成為了一名顧問、一個意見的參與者、一個幫助發現矛盾論點的人，通過有趣的摸牌游戲，引發數學思考，營造了一個富有張力的課堂，學生的真實思維得以展示和完善，數學學習就在游戲中自然發生。（作者單位：廣東省深圳市福田區梅林小學）

□責任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyjxsxl@126.comendprint

深度對話，發展數學思考

師：既然剛才的游戲如此不公平，那么如何修改游戲規則使游戲公平呢？

（學生先獨立思考，然后在小組里交流。）

生：比單雙。

師：怎么比單雙？

生：就是如果兩個人摸到的牌面點數都是單數時，男生記1分；都是雙數時，女生記1分。

師：如果摸到的是一單一雙怎么辦？

生：那就兩個人都不記分，重新摸。

師：這樣的規則公平嗎？

生：公平。因為這里有兩個單數，兩個雙數，同時摸到單數的可能性有一次，同時摸到雙數的可能性也是一次，摸到一單一雙的可能性是兩次。

師：以兩人摸到牌面的點數的奇偶性記分，除了這種記分規則是公平的之外，還有沒有別的以奇偶性記分規則也是公平的？

生：我們以奇偶性相同時，男生記1分，奇偶性不同時女生記1分。也是公平的。

師：真的公平嗎？

生：是公平的，我們來看看奇偶性相同時，即都是奇數或偶數時共有兩種情況，奇偶性不同時也是有兩種情況。

師：嗯，分析得很到位。還有其他修改方法嗎？

生：把積改為和。這也就是把原來第二條規則改為“如果所摸出的兩張牌，牌面點數之和為奇（單）數時，男生記1分；否則女生記1分”。

師：這樣修改之后公平嗎？

生：不公平的。

師：說說看。

生：我是用一個一個列出來的方式也發現不公平。

師：很好，這個同學用分析的方法解決了問題，修改成計算兩數之和也是不公平的。還有別的修改方法嗎？

師：我們能否通過換牌面點數，還是按原來的記分規則來記分，使游戲公平？

生：把2或4換成5或許可以。我沒分析過。

師：會不會公平呢？那么我們現在就把4換成5，并按剛才方法分析一下，看看是否公平。

生：這是公平的。1×2=2是偶數，1×3=3是奇數，1×5=5是奇數，2×3=6是偶數，2×5=10是偶數，3×5是奇數。可以看出6個積中有3個奇數和3個偶數。奇數和偶數出現的可能性一樣，所以是公平的。

有了之前對“不公平”游戲的體驗與分析，學生對公平的游戲規則理解更深刻了，此時，教師創設了“修改游戲規則使游戲公平”的探究活動。在富有挑戰性的活動中，師生進行了深度對話，學生的思路開闊，各種方案在對話中逐一呈現，無論是簡單的還是復雜的，都能抓住游戲公平的本質——事件發生的可能性相等。在探究活動過程中，學生得到了最鮮活的學習體驗，積累了真實有效的數學基本活動經驗。

縱觀全課，教師成為了一名顧問、一個意見的參與者、一個幫助發現矛盾論點的人，通過有趣的摸牌游戲，引發數學思考，營造了一個富有張力的課堂，學生的真實思維得以展示和完善，數學學習就在游戲中自然發生。（作者單位：廣東省深圳市福田區梅林小學）

□責任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyjxsxl@126.comendprint

深度對話，發展數學思考

師：既然剛才的游戲如此不公平，那么如何修改游戲規則使游戲公平呢？

（學生先獨立思考，然后在小組里交流。）

生：比單雙。

師：怎么比單雙？

生：就是如果兩個人摸到的牌面點數都是單數時，男生記1分；都是雙數時，女生記1分。

師：如果摸到的是一單一雙怎么辦？

生：那就兩個人都不記分，重新摸。

師：這樣的規則公平嗎？

生：公平。因為這里有兩個單數，兩個雙數，同時摸到單數的可能性有一次，同時摸到雙數的可能性也是一次，摸到一單一雙的可能性是兩次。

師：以兩人摸到牌面的點數的奇偶性記分，除了這種記分規則是公平的之外，還有沒有別的以奇偶性記分規則也是公平的？

生：我們以奇偶性相同時，男生記1分，奇偶性不同時女生記1分。也是公平的。

師：真的公平嗎？

生：是公平的，我們來看看奇偶性相同時，即都是奇數或偶數時共有兩種情況，奇偶性不同時也是有兩種情況。

師：嗯，分析得很到位。還有其他修改方法嗎？

生：把積改為和。這也就是把原來第二條規則改為“如果所摸出的兩張牌，牌面點數之和為奇（單）數時，男生記1分；否則女生記1分”。

師：這樣修改之后公平嗎？

生：不公平的。

師：說說看。

生：我是用一個一個列出來的方式也發現不公平。

師：很好，這個同學用分析的方法解決了問題，修改成計算兩數之和也是不公平的。還有別的修改方法嗎？

師：我們能否通過換牌面點數，還是按原來的記分規則來記分，使游戲公平？

生：把2或4換成5或許可以。我沒分析過。

師：會不會公平呢？那么我們現在就把4換成5，并按剛才方法分析一下，看看是否公平。

生：這是公平的。1×2=2是偶數，1×3=3是奇數，1×5=5是奇數，2×3=6是偶數，2×5=10是偶數，3×5是奇數。可以看出6個積中有3個奇數和3個偶數。奇數和偶數出現的可能性一樣，所以是公平的。

有了之前對“不公平”游戲的體驗與分析，學生對公平的游戲規則理解更深刻了，此時，教師創設了“修改游戲規則使游戲公平”的探究活動。在富有挑戰性的活動中，師生進行了深度對話，學生的思路開闊，各種方案在對話中逐一呈現，無論是簡單的還是復雜的，都能抓住游戲公平的本質——事件發生的可能性相等。在探究活動過程中，學生得到了最鮮活的學習體驗，積累了真實有效的數學基本活動經驗。

縱觀全課，教師成為了一名顧問、一個意見的參與者、一個幫助發現矛盾論點的人，通過有趣的摸牌游戲，引發數學思考，營造了一個富有張力的課堂，學生的真實思維得以展示和完善，數學學習就在游戲中自然發生。（作者單位：廣東省深圳市福田區梅林小學）

□責任編輯 周瑜芽

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