《概率論與數理統計》教學改革探討

朱淑芹，班朝磊

（聊城大學 a.計算機學院；b.材料科學與工程學院，山東 聊城 252000）

《概率論與數理統計》教學改革探討

朱淑芹a，班朝磊b

（聊城大學 a.計算機學院；b.材料科學與工程學院，山東 聊城 252000）

本文嘗試從引入數學史，案例教學法，注重科學思維和科學方法的培養，提煉知識、把握脈絡，統計軟件輔助實踐，考核形式六方面闡述《概率論與數理統計》課程教學改革的一些問題。

《概率論與數理統計》；案例教學法；教學改革

《概率論與數理統計》課程是大學數學公共基礎課程之一，是一門應用性很強的學科，它從數量上研究隨機現象的統計規律性，在先進材料設計、計算機模擬計算、天氣預報、人口統計等眾多科學技術與人類實踐活動中運用概率統計的知識去解決問題。它對培養學生處理“隨機”的數學基礎知識、基本能力和綜合素質具有其他課程不能替代的作用，然而，怎樣才能使學生從傳統的確定性思維模式進入隨機性思維模式，進而學好這門重要課程是相關教師面臨的挑戰。筆者結合自身的教學經歷，從以下幾個方面進行了教學改革，取得了一定的教學效果。

一、引入數學史，增強趣味性

在教學中引入一些教材中沒有出現的相關數學史，特別是介紹數學家的生平軼事及其對本學科的貢獻，往往能吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，并且也會提高他們的問題意識與思維能力。例如上第一次課時，可以首先從著名的“德·梅耳問題”與“分賭注問題”出發，向學生介紹概率論與數理統計的起源和發展，在此過程中穿插講解數學家帕斯卡、費馬、惠更斯、拉普拉斯、馬爾科夫、辛欽等的貢獻；在講解概率的公理化定義時，可講解前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫的生平及其提出的“概率的公理化定義”的重要意義；在講解幾何概率時可以穿插介紹幾何概率開創者蒲豐的生平，以及由蒲豐投針試驗所產生的蒙特卡洛方法的影響；在講解中心極限定理時，可以穿插講解伯努利、切比雪夫、李雅普諾夫等數學家的生平；在講解“t-分布”時，告訴學生“t-分布”還有一個名稱——學生氏分布，然后介紹“開創了小樣本理論的先河”的英國數學家戈塞特提出該分布的艱辛過程。這些數學家的故事不僅可以讓學生慢慢對這門課程產生興趣，還在無形中了解了豐富的數學文化，而且提高了學生的數學素養。

二、案例教學法，突出趣味性

目前數學課堂教學中，教師普遍采用給出概念、公式、定理，然后再去解釋概念、推導公式、證明定理的教學方式，學生感覺枯燥無味，學習興趣會大大降低。案例教學法是把案例作為一種教學工具，把學生引導到實際問題中去，通過分析與互相討論，調動學生的主動性和積極性，并提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法。通過案例教學把所學的理論知識和實際生活結合起來，把抽象的數學與生動有趣的案例結合起來，培養學生分析和解決問題的能力。例如在講授全概率公式和貝葉斯公式時首先可提出這樣一個有趣的問題：假如你有機會參加電視臺的一檔娛樂節日，主持人指著三個商標對你說，其中一個商標后面的獎金是2000元，另兩個商標后面的獎金分別是20元和50元，你可以隨意選擇一個商標，所對應的獎金就歸你了。你當然想得到2000元，你可選定一個商標，如1號商標（但未打開），主持人知道哪個商標后面是2000元，哪兩個商標后是20元和50元，他打開了50元的一個商標，比方他打開3號商標，主持人對你說，現在再給你一次機會，允許你改變原來的選擇，為了得到2000元，你是堅持選擇1號商標還是改選2號商標呢？教師可引導學生開展討論，在討論的基礎上引入全概率公式和貝葉斯公式幫助大家做出選擇。這無疑使學生對學習的新知識產生了強烈的欲望，喚起了學生的注意，激發了學生學習的積極性和主動性，并取得了很好的教學效果。

三、注重科學思維和科學方法的培養

趣味與科學的嚴謹性是相輔相成的。在教學過程中，不但要用趣味性提高學生的學習興趣，還要體現數學思維在教學中的滲透與學生創新思維能力的培養。通過有意識地營造使學生不斷在取得思維成就的環境中，讓學生不斷在思維成功的喜悅中良性循環，越學越想學，越思考越靈活。對同一問題不同的求解方法，鍛煉不同的思維方式，從而潛移默化地培養了學生的科學思維方法。例如，有2張甲等票和n-2張乙等票共n張票，n人通過抽簽決定所得的是甲等票還是乙等票，問抽簽的結果與抽簽的順序是否有關？該問題的解決可以有兩種方法。

方法1：首先我們可以很容易的得出第1個人抽簽，抽中甲等票的概率是2/n，關鍵是第2人、第3人……第n人抽中甲等票的概率是否也是2/n？由于我們關心的是第i人（i=2，3，…，n）抽到甲等票的概率，因而第i人只要從2張甲等票中任意抽取1張，而前i-1人可從剩余的n-1張票中任取i-1張，其概率為以上問題的求解方法是突出考慮要求解的問題（第i人抽到甲等票）而忽略其他非主要問題（前i-1人抽取票的情況），也就是通常在思維中的突出主要問題。雖然在理解上困難一些，但對于鍛煉學生分析問題、解決問題的能力是十分有益的。下面一種求解方法在理解上要自然一些。

方法2：設Ai（i=1，2，3，…，n）表示第i人抽到甲等票，則p（Ai）=2/n，由全概率公式得：p（A2）=p（A1）p（A2|A1）+p（-A1）p（A2|-A1）=（2/n）[1/（n-1）]+[（n-2）/n）] [2/（n-1）]=2/n，設C0、C1分別表示前i-1人恰好抽到0張和1張甲等票，則：其中（3≤i≤n）。

四、提煉知識，把握脈絡

《概率論與數理統計》這門課程涉及的內容較多，學生在學習的過程中往往不能從全局把握這門課程的脈絡與結構，頭腦中往往只是些零散的知識點，尤其學習數理統計時，感覺像套公式解決問題，似乎與概率論部分沒有關系，很容易導致學習興趣下降。實際上本課中很多知識是有聯系的，教師可啟發學生自己嘗試總結規律，把書本知識化零為整，用一根“線”串起一門課程。例如幾種常見的離散型分布，除了超幾何分布外其他幾種均是貝努利實驗背景下與所關注的事件A相關的特定隨機變量X的概率分布，記p=p（A），則：（1）設X表示1次實驗中事件A發生的次數，則X~b（1，p）（兩點分布）；（2）設X表示n次實驗中事件A發生的次數，則X~b（n，p）（二項分布）；（3）設X表示∞次實驗中事件A發生的次數，則X~p（λ）（泊松分布），其中λ≈np，n→∞；（4）設X表示事件A首次發生時的實驗次數，則X~Ge（p）（幾何分布）；（5）設X表示事件A第r次發生時的實驗次數，則X~Nb（r，p）（負二項分布）。上述5種不同類型的分布之間存在如下聯系：（1）設Xi~b（1，p），i=1，2，3，…，n且相互獨立，則X=∑Xi~b（1，p）；（2）設Xi~Ge（p），i=1，2，3，…，n且相互獨立，則X=∑Xi~Nb（r，p）；（3）設X~b（n，p），當p較小且n充分大時，令λ=np，則X≈p（λ），即泊松定理：limCpk（1-p）n-k=λ-k·e-λ/k！。

五、統計軟件的輔助實踐

《概率論與數理統計》這門課程公式多、計算煩瑣，給應用帶來困難。對具有概率統計功能軟件的了解和掌握顯然對理解和應用有極大的幫助。除Excel外，通用Mathem atica、SPSS等都是很好的工具，概率統計是最需要使用計算機的領域，我介紹SPSS軟件自帶的統計程序包，其中有實現常用統計計算的各種外部函數，我在教學中針對一個具體工程問題教授學生使用國內外廣泛流行的SPSS統計軟件進行分析，要求學生：（1）會用SPSS軟件求概率、均值與方差；（2）能進行常用分布的計算；（3）會用上述軟件進行期望和方差的區間估計；（4）會用上述軟件進行回歸分析。

例題：電容器鋁箔電解擴面腐蝕工藝的影響因素主要包括電解液溫度（A）、HCl濃度（B）、H2SO4濃度（C）、電解時間（D）、電解電流密度（E），以A、B、C、D、E為實驗影響因素，比電容為影響指標，通過L16（45）正交實驗，考察五個實驗因素對指標的影響程度并做出顯著性分析。對用SPSS軟件對實驗結果進行方差統計分析可知，五個實驗因素電蝕擴面效果和陽極箔比電容都有顯著影響，這和文獻報道的結論相一致。五個實驗因素影響程度大小順序為硫酸濃度＞鹽酸濃度＞電流密度＞時間＞溫度，硫酸濃度是最重要的影響因素，因此可以對硫酸濃度進一步進行單因素實驗，以確定出最佳的電解腐蝕擴面工藝，為相關行業高比容陽極鋁箔的研制提供參考。

六、考核形式的轉變

考核是對學生學習情況、教師教學效果的評估，采取何種形式進行考核，對于學生學習方法、教師教學方法都有導向作用。受應試教育的影響，國內大多課程的考核方法都是閉卷，但對于《概率論與統計學》這門實用性很強的課程來說，我認為授課的重點是要讓學生掌握統計學的核心思想，學會利用統計的思維處理問題，而不是教會學生像學習“純數學”那樣機械地做題。該課程公式和計算眾多，不能讓公式和計算成為學生學習的障礙，應當重視對概率統計重要概念的理解、總結歸納問題和研究問題能力的培養。因此，我認為本課程考核中可以嘗試開卷考核、半開半閉考核以及分組考核、實驗考核及撰寫小論文等多種形式，使學生不至于為死記一些定理公式浪費過多的時間。

七、教學效果

課堂教學無非有三種境界：一是傳授知識，二是培養思想方法和能力，三是激發興趣和應用意識。教師的教學任務之一就是要提升課堂教學境界，從上述幾個方面改進傳統教學模式，與時俱進引入新的思想和方法，使原本抽象、枯燥的數學理論變得形象生動，減輕了學生的學習負擔，激發了學生的學習興趣，進而提高了教學質量。可以說本文提出的教學改革方式真正實現了第二種、第三種境界。調查問卷和學生的反饋表明，新措施是有效的，提高了學生的學習興趣和教學效果。教學工作是一項復雜而艱巨的任務，還需要在長期的教學工作中不斷探索，積累經驗，逐步提高。

[1]盛驟.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李曉莉.概率統計的多元化教學探討[J].大學數學，2005，21（04）.

[4]馮鳳萍，崔繼賢.概率統計的探索與改進[J].高師理科學刊，2004，24（02）.

[5]張瑞亭.對概率統計教學中若干問題的探討[J].教育教學論壇，2014，（02）.

G642.0

A

1674-9324（2014）45-0109-03

山東省高校智能信息處理與網絡安全重點實驗室（聊城大學）資助

朱淑芹（1979-），女，山東聊城人，聊城大學計算機學院，講師。

班朝磊（1975-），男，河南安陽人，聊城大學材料學院，副教授。