高空太陽能彈性無人機縱向動力學特性研究

馮揚帆，周洲，肖偉

(西北工業大學無人機特種技術國家重點實驗室，陜西西安710065)

0 引言

高空太陽能無人機具有展弦比大、結構重量輕、結構剛度小、在飛行過程中機翼變形明顯等特點，如“太陽神”無人機在極限狀態下的機翼上反角可達到50°［1］。大展弦比彈性無人機的機翼結構振動頻率低，與無人機運動模態頻率接近，存在明顯的動力學耦合，所以其動力學特性相比常規飛機有很大的不同。

目前飛行力學中常用的彈性飛機模型是基于機翼為勻質、單方向變形假設推導的，使用同一坐標描述，該模型對于發生大幅度變形的大展弦比太陽能無人機來說不再適用。文獻［2］基于幾何精確完全本征梁模型，建立了大展弦比柔性飛機的動力學模型，并對氣動彈性與飛行動力學耦合配平、動穩定性和時域響應特性開展了研究。文獻［3］將整個無人機看作Hodges梁［4］，并基于Hamilton原理對大展弦比彈性無人機進行了動力學建模，得到了局部坐標系下的狀態方程，但并沒有詳細論證狀態方程從局部坐標系到整體坐標系的轉換，也沒有通過模態特性研究其縱向動力學特性。

局部坐標系可以使大展弦比無人機建模過程大為簡化，但卻不利于分析研究無人機整體的動力學特性。本文將無人機局部坐標系下的狀態方程轉換到平均軸坐標系與結構模態坐標系組成的整體坐標系下，消去高頻結構模態，在不同的狀態點對彈性無人機進行分析，通過彈性無人機特征根分布研究了彈性無人機的縱向動力學特性。

1 整體坐標系下的狀態方程

無人機局部坐標系下的狀態方程為:

式中，Δx=［Δu1，Δχ1，ΔV1，Δω1，…，Δun，Δχn，ΔVn，Δωn］，其中Δu，Δχ，ΔV，Δω 分別為無人機每一段在局部坐標系下的線位移、角位移、速度和角速度。需要建立一個由平均軸坐標系與模態坐標系組成的整體坐標系，用來描述無人機整體的平動、轉動和結構變形，并且使無人機整體的平動、轉動與無人機彈性變形運動在動力學上分離開來。

1.1 平均軸坐標系下的動力學方程

將無人機的每一段獨立研究，彈性力當作外力處理，把無人機看作多剛體系?？紤]n個剛體組成的多剛體系，第i個剛體的質量為mi，在每一個剛體上建立自身參考系bi。在其自身參考系內，轉動慣量為Ii，速度為Vi，角速度為ωi，內力和內力矩為Fi和Mi。針對該剛體系，任意建立一個統一的參考系a，設其原點在地面坐標系內的位移為Ra，第i個剛體在a坐標系內的位移為ri，在地面坐標系的位移為Ri，則Ri=Ra+ri。通過兩種不同的形式表示出多剛體無人機的總動量:

式中，mT為剛體系統的總質量;Va為多剛體系在a參考系內的速度;Labi為第i個剛體參考系bi到參考系a的轉換矩陣。設這一系列剛體的質心在a參考系內的位移為ξa，d/d t表示在慣性系內求導，可得:

則對式(1)、式(2)求導可得:

如果將參考系a的原點始終取在剛體系的質心處，即ξa=0，這樣a參考系下的多剛體運動速度和動量可以簡化為:

把參考系a的原點取在無人機質心處，則a參考系為所要用到的平均軸坐標系m。由式(4)、式(5)得到平均軸坐標系內的動力學方程為:

平均軸坐標系內配平狀態的小擾動運動學方程為:

以上兩式為平均軸坐標系下的平動運動關系。同理可得轉動運動的關系式:

式中，Hm=Icgωm表示在平均軸坐標系下的剛體的角動量;表示多剛體系對質心的轉動慣量。

1.2 結構變形模態的計算

采用局部坐標系來描述無人機的結構變形，即使在線性化后，得到描述變形運動的階數還是很高，也難以分析。在本文中，需要通過模態的概念對結構變形進行描述，因此需要計算無人機的結構模態，得到無人機結構的結構模態特征值和特征向量。首先將無人機的動能與勢能描述為:

式中，Δγ，Δκ［5］分別為 Hodges梁假設中定義的線應變和角應變，可以用線位移Δu、角位移Δχ描述;μ為翼段的質量;E為單位矩陣;ξ為翼段質心在局部坐標系下的位置向量;R，T分別為翼段的剪切剛度和扭轉剛度;S為0矩陣;I為翼截面相對翼段剛心的慣量矩陣。

根據Hodges梁的建模思想，在局部坐標系內將無人機的虛位移表示成q=［Δu，Δχ］T，通過式(12)和式(13)建立不考慮外激勵和阻尼力的保守系統的拉格朗日方程:

由式(14)可以得到結構運動方程:

式中，Mm，Ms分別為無人機的結構質量矩陣和剛度矩陣。通過求解該方程得到結構特征值與特征向量，這樣就在配平狀態下得到了無人機結構模態的特征值和模態矩陣［6］。

1.3 坐標體系轉換

首先給出無人機在局部坐標系內的位移擾動量Δse=［Δu1，Δχ1，…，Δun，Δχn］T，其與無人機各階結構模態的模態坐標Δsh的對應關系為:

式中，μ1由系統非零根對應的特征向量得到。由式(9)和式(11)，可以將局部坐標系內的位移擾動量轉換到平均軸坐標系內描述無人機與結構模態解耦的剛體自由度運動:

式中，μ2由平均軸轉換矩陣Lmbi得到。由式(16)和式(17)，可以將無人機局部坐標系內的狀態量轉換為無人機平均軸坐標系與模態坐標系下的狀態量:

式中，轉換矩陣 μs由 μ1，μ2得到，這樣物理概念更明確，且減小了各狀態量之間的耦合;Δη為彈性無人機結構模態坐標;Δsh為從低頻到高頻排列的模態坐標。以上得到了位移向整體坐標系的轉化，同理將無人機局部坐標系的速度轉化到整體坐標系下:

2 縱向動力學特性分析

給定高空太陽能彈性無人機的布局、結構以及氣動參數，經過配平計算，選取一階結構模態，得出狀態矩陣Alon，通過求解狀態矩陣的特征根來分析彈性無人機的動力學特性。選取不同的狀態點，對彈性無人機與剛性無人機進行對比，并對彈性飛機的飛行品質進行研究。選取的狀態點為:FC1～FC5是無人機載重量一定(96 kg)，飛行高度分別為5 km，10 km，15 km，20 km，25 km 的狀態點;FC6 ～FC10是無人機飛行高度一定(20 km)，載重量分別為 0 kg，50 kg，100 kg，150 kg，200 kg 的狀態點。

2.1 彈性無人機與剛性無人機的對比

首先將彈性無人機的狀態方程與剛性無人機的六自由度方程進行比較，計算它們各自在20 km高度，載荷由0～200 kg特征根的分布情況。圖1為剛性、彈性無人機長周期特征根分布比較。

圖1 長周期特征根分布比較Fig.1 Root locus of phugoid mode

由圖1可以看出，隨著載荷的增加，剛性無人機的長周期特征根變化很小，而彈性無人機的特征根變化很大，這說明彈性無人機的結構變形對無人機的動力學特性有很大程度的影響。

2.2 彈性無人機飛行品質研究

2.2.1 長周期模態

按GJB185-86中飛機縱向長周期速度振蕩應滿足的要求，分析彈性無人機的飛行品質。因為以上標準是針對飛機制定的，飛機在遇到長周期發散模態時駕駛員易于控制，但是這種情況無人機卻難于控制，所以飛行品質標準應高于飛機，暫且把標準2定為長周期穩定的最低標準［7］。圖2為FC1～FC5長周期特征根分布情況。

圖2 長周期特征根分布情況Fig.2 Root locus of phugoid mode

由圖2可以看出，無人機的長周期阻尼比隨著飛行高度的升高，由負變正，由不穩定變為穩定;無人機在5 km，10 km，15 km的高度阻尼比為負;在20 km(FC4)高度的長周期飛行品質達到標準2;在25 km(FC5)高度的長周期飛行品質接近標準1。因為在低空相對高空模態頻率較高，與結構頻率更接近，所以與結構模態的耦合會比在高空更大，所以低空的飛行品質要比高空的差。

由圖1還可以看出，在FC6～FC10，無人機的長周期阻尼比在20 km的高度隨著載重量的增加，由正變負，由穩定變為不穩定。FC6長周期飛行品質要求達到標準1，FC7和 FC8達到標準2，FC9和FC10長周期不穩定。這說明隨著載重的增加，無人機的變形加劇，長周期模態與結構模態的耦合作用加大，在無人機長周期運動中不僅存在動能與重力勢能的轉換［8］，同時還包括了動能與彈性勢能的相互轉換，結果導致了長周期模態穩定性的降低。

2.2.2 短周期模態

圖3為FC1～FC10短周期特征根的分布情況。

圖3 FC1～FC10短周期特征根分布情況Fig.3 Root locus of short period mode for FC1 ～ FC10

同樣采用GJB185-86中規定飛機短周期阻尼比ξp應滿足的要求進行分析，所有狀態均滿足標準1。在FC1～FC5，隨著高度的增加短周期阻尼比不斷降低，這是因為隨著高度的升高，俯仰阻尼隨空氣密度的減小而減小，飛行品質逐漸變差。FC6～FC10載重量的變大使短周期阻尼比逐漸變大，飛行品質逐漸變好，這是由于載重量的變大、載重的集中，使得機翼的上彎加劇，所以無人機的俯仰轉動慣量增加，短周期運動的阻尼比也增大。如果掛載的弦向位置發生改變，轉動慣量的變化更大，阻尼比會更大。

3 結束語

本文得到了平均軸坐標系描述無人機整體運動、模態坐標系描述結構變形運動的無人機狀態方程，整體坐標系下的狀態方程便于進行動力學特性研究。通過對狀態矩陣的模態分析，研究了彈性無人機的動力學特性，發現彈性無人機在長周期模態，因為動能與彈性勢能相互轉換，使長周期運動特性惡化;短周期運動則由于彈性變形，機翼上彎從而增加了彈性無人機的俯仰轉動慣量，短周期運動阻尼比也隨之增加，改善了彈性無人機的短周期運動特性。

［1］ 肖偉.高空太陽能無人機動力學建模和控制方法研究［D］.西安:西北工業大學，2013.

［2］ 張健，向錦武.柔性飛機非線性氣動彈性與飛行動力學耦合靜、動態特性［J］.航空學報，2011，32(9):1569-1582.

［3］ 肖偉，周洲.高空太陽能無人機飛行動力學建模與分析［J］.飛行力學，2012，30(5):385-388.

［4］ Patil M J，Hodges D H.Flight dynamics of highly flexible flying wings［J］.Journal of Aircraft，2006，43(6):1790-1798.

［5］ Hodges D H.Geometrically exact，intrinsic theory for dynamics of curved and twisted anisotropic beams［J］.AIAA Journal，2003，41(6):1131-1137.

［6］ Giulio Romeo，Giacomo Frulla.HELIPLAT:aerodynamic and structural analysis of HAVE solar powered platform［R］.AIAA-2002-3504，2002.

［7］ 王睿.飛翼式高空長航時無人機飛行控制與仿真研究［D］.西安:西北工業大學，2008.

［8］ 方振平，陳萬春，張曙光.航空飛行器飛行動力學［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2005:288-301.