基于微分對策的導彈智能機動突防研究

鮮勇，田海鵬，王劍，史金倩

(1.第二炮兵工程大學7系，陜西西安710025;2.中國人民解放軍96630部隊，北京100025)

0 引言

隨著不斷地發展和試驗，美國中段防御系統日趨成熟，其部署對我國導彈的中段飛行構成了重要威脅［1］。為提高導彈的作戰效能，必須進行有效的突防。隨著技術的不斷創新，突防手段實現了多樣化，其中彈頭中段機動成為重要的突防手段?？紤]彈頭的有效載荷和機動過載限制，機動的時機和方向對彈頭成功突防起著非常重要的作用。彈頭中段飛行過程中，由美國防御系統釋放的動能攔截器EKV(Exo-atmospheric Kinetic Vehicle)和彈頭形成撞擊-規避關系，可看成是“二人零和”博弈［2］問題。文獻［3］基于微分對策對導彈中段突防進行了初步的研究，得出選擇適當的時機機動可實現有效突防的結論。文獻［4］用遺傳算法求解沖量機動突防時機的突防方案，得出沖量機動在攔截末段最有效的結論。上述方法對分析彈頭和EKV進行博弈的過程具有重要意義，但未對彈頭全局的機動策略進行考慮。由于微分對策方法要求大量的計算，彈上的計算機無法滿足要求，此方法尚未發展到實際應用的水平。

本文基于智能微分對策理論，建立了彈頭與EKV對抗模型，將脫靶量和能量消耗作為EKV與彈頭對抗指標，考慮彈頭機動過載和控制變量的約束，建立了使用該方法的突防決策模型，并通過仿真驗證了該方法的有效性。

1 彈頭與EKV對抗模型

1.1 模型假設

為了便于研究，采用如下假設:

(1)彈頭和EKV可視為質點;

(2)EKV末段攔截起點處于零控攔截狀態［5］;

(3)EKV 的最大軌控加速度為4g［6］;

(4)EKV的速度為6～7 km/s;

(5)EKV捕獲彈頭時彈目距離為200 km［6］。

1.2 彈頭運動狀態方程

彈頭進行中段飛行時僅考慮地球引力、柯氏及牽連慣性力。設發射系［7］下運動狀態變量為m=［xm，ym，zm，vmx，vmy，vmz］T，加速度矢量為 um=［amx，amy，amz］T，則彈頭在自由段的加速度為:

1.3 EKV運動狀態模型

EKV運動狀態方程和彈頭相似，不同點在于加速度矢量不同。設EKV的加速度矢量為un=［anx，any，anz］T。EKV 采用擴展比例導引律，導引方程為［6，8］:

式中，K為比例導引系數;vr為EKV在彈頭發射坐標系中的徑向速度大小為視線角速度;為EKV對彈頭加速度的估計。其中:

式中，θE，φE分別為EKV速度在其牽連坐標系中的俯仰角和偏航角;θL，φL分別為彈目視線在EKV牽連坐標系中的俯仰角和偏航角;TE為EKV的幀頻。

根據模型需要，本文建立如圖1所示的坐標系。圖中，OeExeEyeEzeE為EKV牽連坐標系;O1Ex1Ey1Ez1E為EKV彈體系。

EKV 彈體系上的加速度為［0，aE］T，其中 aE=并且不超過 4g。則有:

圖1 EKV模型中的坐標系Fig.1 Coordinate system of the EKV model

2 機動方案設計

本文設計彈頭借助雙星預警系統［7］，在EKV捕獲目標后(此時彈目距離小于200 km)，計算出EKV的位置和速度信息并傳輸給彈頭。

2.1 機動策略

設彈頭在質心位置處垂直于射面的正負兩個方向各安裝1個噴管，能產生2g的加速度。參照文獻［8］得出的彈頭進行發射系z軸負向機動時效果最好的結論，本文設計的彈頭在進行機動突防時，垂直于發射坐標系Oxmym面機動，如圖2所示。

圖2 垂直發射坐標系Oxmym面機動Fig.2 Maneuver to the vertical Oxmym plane of the launch coordinate

2.2 試探性機動

由于EKV在捕獲彈頭時處于零控攔截狀態，并且當彈頭在EKV與彈頭相距200 km機動時，在EKV的紅外導引頭上產生的橫向視線角變化率最小，即此時的EKV探測彈頭軌道變化的靈敏度較低，因此彈頭向一個方向作一次持續的機動有利于擴大終端脫靶量。

本文設定EKV捕獲彈頭時的時間為t1，此時彈頭開始垂直發射系Oxmym面負向機動，機動持續時間Δt。由于EKV末段攔截時間為17～20 s，所以彈頭試探性機動時間不長，要為智能機動突防留下時間，可設 Δt=8 s。

3 微分對策數學模型

借助微分對策思想，將連續問題離散化，設攔截彈(E)、彈頭(V)為對策雙方，博弈的流程如圖3所示。

圖3 攔截彈和彈頭的博弈流程Fig.3 Game process of the interceptor missile and the warhead

系統的狀態方程和初始狀態為:

式中，x(k)為對策系統狀態;u(k)，v(k)分別為V方和 E 方的控制變量，u(k)∈Uk=［－1，0，1］;u(k)=－1時彈頭以2g的加速度垂直于發射系Oxmym面作負向機動;u(k)=0時彈頭不作機動;u(k)=1時彈頭以2g的加速度垂直發射系Oxmym面作正向機動。

系統以EKV的脫靶量和彈頭實施機動所消耗的控制能量為考核目標，設代價函數為:

式中，θ(x(kf)，kf)為終端脫靶量;L(x(k)，u(k)，v(k)，k)= －u(k)2/400。

假設x(k)，u(k)分別為n維和m維列向量，b(k)為s維列向量，f，L，g是其所有變量的連續可微函數。集合Uk由不等式g(u(k)，k)≥b(k)，k=k0，k0+1，…，kf－ 1 給出，例如:gi(u(k)，k)=bi(k)=0。

最優控制問題是:求u(k)使u(k)∈Uk并使J最大。下面將最優控制問題化為非線性規劃問題。設

規定xn+1(k0)=0，則有:

令

則狀態方程可寫成:

稱為增廣系統的狀態方程。得到的非線性規劃問題為:

考慮拉格朗日函數:

拉格朗日函數化為:

非線性規劃問題式(9)～式 (11)的解滿足的必要條件如下:

應用非線性規劃問題解的充分性條件的定理，如果Hk是凹的，g(u(k)，k)是凸的，那么條件式(17)、式(18)保證 u(k)使式(13)作為 u(k)的函數，在約束條件g(u(k)，k)≥b(k)下達到最大值，即條件式(17)、式(18)可用條件

代替。由必要條件式(16)及 c=［0，…，0，1］得:

又由于Hk不顯含xn+1，因此，式(15)的最后一個方程為 Δλn+1(k)=0，于是 λn+1(k)=1，哈密頓函數可改寫為:

這樣，上述必要條件歸結為:x*，u*，λ*滿足

4 仿真及分析

下面以一條典型的戰略導彈彈道為例，進行導彈中段智能突防的仿真研究。

通過計算，得出彈頭不作機動時的彈頭軌跡和EKV的攔截軌跡，如圖4所示。仿真結果表明，攔截結束時脫靶量小于3 m，EKV攔截成功，驗證了本文所建攔截器模型的正確性。

圖4 彈頭與EKV的飛行軌跡Fig.4 Flight trajectory of the warhead and the EKV

本文設定EKV的導引系數K=3，彈頭機動時間t1=1 536.96 s，持續時間Δt=8 s。當彈頭用本文的微分對策模型得出的控制量進行機動時，得到的脫靶量為8.5 m，EKV攔截失敗，驗證了本文方法的有效性。

將目標彈頭作垂直于發射系Oxy平面的負向機動和不作機動時的EKV橫向視線角(λx)變化和視線角速率()進行對比，如圖5和圖6所示。

圖5 EKV橫向視線角變化曲線Fig.5 Horizontal line of sight angle curve of the EKV

圖6 EKV橫向視線角速率變化曲線Fig.6 Horizontal line of sight angular rate curve of the EKV

由EKV的攔截結果可知，當彈頭不作機動時，擴展比例導引律能有效抑制視線角速率的發散，使脫靶量很小;當彈頭利用微分對策的方法進行智能機動時，EKV測得的視線角和角速率出現了較快的發散。

5 結束語

本文基于微分對策理論，研究了彈頭在中段飛行中的機動突防問題，將彈頭和EKV看作“二人零和”博弈的主體，建立了微分對策模型，得出彈頭的最優規避策略。仿真結果驗證了方法的有效性，得到的最優策略集可制成指令庫裝訂到彈頭上。該方法為微分對策理論在彈上的實現提供了重要的理論參考。

［1］ 袁俊.導彈防御系統的彈道導彈突防［J］.上海航天，2005，(1):48-51.

［2］ 朱˙費登伯格，讓˙梯諾爾.博弈論［M］.黃濤，等 譯.北京:中國人民出版社，2010:53-65.

［3］ 孫守明，湯國建，周伯昭.基于微分對策的彈道導彈機動突防研究［J］.彈箭與制導學報，2010，30(4):65-68.

［4］ 馮杰.彈道導彈“主動規避”式機動突防技術研究［D］.西安:第二炮兵工程學院，2007.

［5］ 湯一華，陳士櫓，萬自明.基于零控脫靶量的大氣層外攔截中制導研究［J］.飛行力學，2007，25(3):34-37.

［6］ Wang L，Jing Z，Yang Y，et al.Analysis and simulation on the intercepting performance of EKV［C］//System Simulation and Scientific Computing，ICSC 2008.Asia Simulation Conference-7th International Conference on IEEE，2008:643-646.

［7］ 徐增.基于天基預警系統的導彈被動段彈道估計算法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業大學，2006.

［8］ 雍恩米，唐國金，羅亞中.彈道導彈中段機動突防制導問題的仿真研究［J］.導彈與航天運載技術，2005，(4):13-18.