欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器魯棒動(dòng)態(tài)面控制

袁瑞俠，劉金琨

(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

0 引言

垂直起降飛行器(VTOL)的控制系統(tǒng)有三個(gè)自由度，因?yàn)閮蓚€(gè)控制輸入的欠驅(qū)動(dòng)為非最小相位系統(tǒng)，所以其控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)極具挑戰(zhàn)性。

在過(guò)去的幾十年里，根據(jù)不同的目標(biāo)和側(cè)重點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者有針對(duì)性地提出許多控制方法。早期VTOL飛行器控制［1-3］中忽略了輸入滾轉(zhuǎn)力和推力之間存在的耦合項(xiàng)，采用反饋線性化技術(shù)使系統(tǒng)穩(wěn)定。但實(shí)際中耦合項(xiàng)并不能忽略，這種控制方法不能保證零動(dòng)態(tài)是穩(wěn)定的。文獻(xiàn)［4］在考慮耦合項(xiàng)的情況下，通過(guò)反饋和坐標(biāo)變換把參數(shù)不確定非線性系統(tǒng)近似為輸入輸出線性化系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的控制器可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定，且能把跟蹤誤差限制在一定范圍內(nèi)。但這種方法對(duì)于耦合項(xiàng)很大的情況仍不能得到很好的控制效果。文獻(xiàn)［5］通過(guò)對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行坐標(biāo)變換，使變換后的系統(tǒng)中不含有零動(dòng)態(tài)，利用靜態(tài)反饋很方便地實(shí)現(xiàn)了飛行器的穩(wěn)定性和輸入有界問(wèn)題。文獻(xiàn)［6］首先利用輸入-輸出線性化對(duì)VTOL系統(tǒng)全局坐標(biāo)變換，然后對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了分解，很方便地采用了滑模控制器，但只能保證閉環(huán)系統(tǒng)是局部穩(wěn)定的。隨著研究的深入，文獻(xiàn)［7］中給出了VTOL飛行器鎮(zhèn)定和軌跡跟蹤的控制規(guī)范準(zhǔn)則。

反演設(shè)計(jì)(Backstepping)為非匹配不確定非線性系統(tǒng)控制提供了一種有效的方法。文獻(xiàn)［8］首先利用全局坐標(biāo)變換使新系統(tǒng)符合下三角的形式，然后采用反演法完成控制律的設(shè)計(jì)，最后使飛行器可以全局漸進(jìn)跟蹤一個(gè)由參考模型產(chǎn)生的參考軌跡。然而，由于需要對(duì)非線性函數(shù)重復(fù)求導(dǎo)，反演設(shè)計(jì)得到的控制律復(fù)雜，這即是所謂的“微分爆炸”現(xiàn)象。另外，為了保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定性，Lyapunov函數(shù)和參數(shù)的選取條件較為苛刻。為了克服上述缺點(diǎn)，本文采用文獻(xiàn)［8-9］提出的動(dòng)態(tài)面控制(Dynamic Surface Control)，在反演設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上引入一階低通濾波器，使得每一步控制律設(shè)計(jì)與前一級(jí)設(shè)計(jì)基本解耦，從而使控制律的復(fù)雜程度大大下降，根本上避免了微分爆炸現(xiàn)象，在完成航跡跟蹤的同時(shí)簡(jiǎn)化了Lyapunov函數(shù)的選取，并拓寬了控制律中參數(shù)的選取條件。

1 系統(tǒng)描述

利用機(jī)理分析法可建立VTOL動(dòng)力學(xué)平衡方程為［1］:

式中，u1和u2為控制輸入，即飛行器底部推力力矩和滾動(dòng)力矩;g為重力加速度;ε0為描述u1和u2之間耦合關(guān)系的系數(shù);Δ1(t)，Δ2(t)和Δ3(t)為外界干擾力矩，且對(duì)于正數(shù) δ1，δ2，δ3滿足 |Δ1(t)|≤δ1，

采用文獻(xiàn)［5］中的全局坐標(biāo)變換，可將控制系統(tǒng)變換為下三角結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。另外，變換后的系統(tǒng)輸出是平坦的，也就避免了原系統(tǒng)零動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定的問(wèn)題。令 z1=x1－ ε0sin θ，z2=x2－ ε0ω cos θ，w1=y1+ε0cos θ，w2=y2－ ε0ω sin θ，ξ1= θ，ξ2= ω，則變換后的系統(tǒng)為:

假設(shè)1:系統(tǒng)(2)中所有狀態(tài)變量均可得到并用于反饋。

假設(shè)2:理想軌跡xd有界，其一階、二階導(dǎo)數(shù)存在并對(duì)正數(shù)χ1滿足理想軌跡yd有界，其一階、二階導(dǎo)數(shù)存在并對(duì)正數(shù)χ2滿足理想軌跡θd有界，其一階、二階導(dǎo)數(shù)存在并對(duì)正數(shù)χ3滿足

2 動(dòng)態(tài)面控制設(shè)計(jì)

仿照傳統(tǒng)反演控制的“遞進(jìn)式”設(shè)計(jì)方法，自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制的設(shè)計(jì)分為4步:

第1步:定義

式中，z1d=x1d－ε0sin θd;w1d=y1d+ε0cos θd。設(shè)計(jì)虛擬控制:

式中，k1，k2為待定正常數(shù)。

將ˉz2，ˉw2輸入到如下時(shí)間常數(shù)為τ2z，τ2w的低通濾波器，得到新的狀態(tài)變量z2d，w2d:

第2步:定義兩個(gè)誤差面為:

設(shè)計(jì)虛擬控制:

式中，k3，k4為待定正常數(shù);和為非線性阻尼項(xiàng)，用于克服 Δ1(t)，Δ2(t)和 Δ3(t)。

解式(7)可設(shè)計(jì)虛擬控制為:

其中:

第3步:定義

設(shè)計(jì)虛擬控制:

式中，k5為待定正常數(shù)。

第4步:定義

設(shè)計(jì)控制律:

式中，k6為待定正常數(shù)為非線性阻尼項(xiàng)，用于克服干擾Δ3(t)。

3 穩(wěn)定性分析

動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，但是由于引入低通濾波器，穩(wěn)定性分析較為復(fù)雜。定義邊界層誤差為:

從式(5)、式(9)、式(13)得到:

對(duì)邊界層誤差求導(dǎo)得到:

定義整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為:

其中:

存在非負(fù)連續(xù)函數(shù) B2z，B2w，B1ξ，B2ξ，使得:

由式(25)容易得到如下不等式:

定理1:考慮由對(duì)象式(2)與實(shí)際控制器式(8)和式(15)組成的閉環(huán)系統(tǒng)，如果滿足假設(shè)1和假設(shè)2并且初始條件滿足V(0)≤p(p為任意正數(shù))，則存在調(diào)節(jié)參數(shù) ki(i=1，2，…，6)，τ2z，τ2w，τ1ξ，τ2ξ和ε，使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致有界，系統(tǒng)跟蹤誤差可以收斂到任意小殘集內(nèi)。

證明:在V≤p成立的時(shí)刻，可考慮緊集:

易知，此時(shí)Ω1×Ω2也是緊集。由此說(shuō)明，在V≤p 成立時(shí)，B2z，B2w，B1ξ和 B2ξ在 Ω1× Ω2上有最大值，記為 M2z，M2w，M1ξ，M2ξ。

對(duì)V1求導(dǎo)，可得:

控制參數(shù)選取如下:

式中，r為待設(shè)計(jì)正數(shù)。則:

選取r≥3.5ε/(2p)。由于當(dāng) V=p時(shí)，Bi≤Mi成立，所以當(dāng) V=p時(shí)。由此可知V≤p是一個(gè)不變集，即如果V(0)≤p，則對(duì)所有t＞0均有V(t)≤p。由于有條件V(0)≤p，所以有:

解上式得到:

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局有界，并且有:

這意味著可以通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù) ki(i=1，2，…，6)，B2z，B2w，B1ξ，B2ξ和 ε 使得 r任意大，即跟蹤誤差任意小。證明完畢。

4 仿真試驗(yàn)

仿真中，取動(dòng)態(tài)面控制的參考航跡為x1d=3.5，y1d=4+cos t。假設(shè)外界干擾為 Δ1=0.1 sin t，Δ2=0.1 cos t和 Δ3=0.1 sin t，g 取9.8 m/s2。設(shè)定初始狀態(tài) x1(0)=5，x2(0)=0.1，y1(0)=3，y2(0)=0.2，φ(0)=0.1為了完成跟蹤目標(biāo)，根據(jù)在保證控制量大小合理的同時(shí)盡量減小跟蹤誤差的調(diào)參原則，取 ki=1(i=1，2，…，6)，τ2z= τzw= τ1ξ=τ2ξ=0.01，并取 ε =0.01。

仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 橫向跟蹤效果圖Fig.1 Lateral trajectory tracking effect

圖2 垂向跟蹤效果圖Fig.2 Vertical trajectory tracking effect

圖3 滾轉(zhuǎn)角及其角速度Fig.3 Roll angle and its angular speed

圖4 控制輸入Fig.4 Control input

由仿真結(jié)果可以看出，在控制輸入的作用下，飛行器實(shí)際位置軌跡快速收斂于參考位置軌跡，且滾轉(zhuǎn)角及其角速度是有界的。相比文獻(xiàn)［8-9］中的Backstepping控制方法，證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的Lyapunov函數(shù)的選取在簡(jiǎn)單的同時(shí)也降低了控制參數(shù)選取的難度。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)帶有外界干擾的VTOL飛行器系統(tǒng)，提出一種魯棒動(dòng)態(tài)面跟蹤控制。通過(guò)引入低通濾波器避免了反復(fù)求導(dǎo)，消除了傳統(tǒng)Backstepping方法存在的“微分爆炸”現(xiàn)象。通過(guò)引入非線性阻尼項(xiàng)克服了外界干擾，保證了系統(tǒng)的魯棒性，滿足實(shí)際工程要求。該策略能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的半全局一致穩(wěn)定，VTOL飛行器的位置信號(hào)能快速準(zhǔn)確跟蹤理想軌跡，同時(shí)保證滾轉(zhuǎn)角有界。

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