基于統(tǒng)計線性化伴隨法的導彈制導系統(tǒng)精度分析

彭紹雄，王海濤，安進，鄒強

(1.海軍航空工程學院飛行器工程系，山東煙臺264001;2.海軍航空工程學院研究生管理大隊，山東煙臺264001)

0 引言

對于導彈制導系統(tǒng)這種復雜的、具有多種隨機輸入的非線性時變系統(tǒng)［1］，主要采用蒙特卡羅法(Monte-Carlo)進行精度分析。蒙特卡羅法的仿真精度與模擬計算的次數(shù)相關，需要耗費大量機時才能達到較高的精度，不適于大量的計算分析。隨著伴隨技術(AT)和協(xié)方差描述函數(shù)技術(CADET)的相繼發(fā)展，大大簡化了對具有隨機輸入的非線性時變系統(tǒng)的分析過程，提高了分析效率［2-3］。

由協(xié)方差描述函數(shù)法和伴隨技術相結合構成了導彈制導系統(tǒng)完整的統(tǒng)計性能分析方法，即統(tǒng)計線性化伴隨法(SLAM)。本文運用該方法對導彈制導系統(tǒng)在多種隨機干擾因素作用下的制導精度進行分析，不僅可以得到與CADET分析一樣的均方根散布，同時還集合了AT法的優(yōu)點，能夠提供各種干擾對總的均方根值的影響，更為全面地反映了導彈制導系統(tǒng)的統(tǒng)計性能。

1 統(tǒng)計線性化伴隨法

導彈制導系統(tǒng)為非線性時變系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可表示為:

式中，x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;F(t)為狀態(tài)矩陣;f(x，t)=［f1，f2，…，fn］T為非線性向量函數(shù);G(t)為輸入矩陣;w(t)為外部干擾，由一均值向量b(t)和一隨機分量u(t)組成，且u(t)是具有譜密度Q(t)的白噪聲過程。

1.1 系統(tǒng)協(xié)方差分析

運用描述函數(shù)理論將非線性向量函數(shù)f(x，t)進行統(tǒng)計線性化:

系統(tǒng)狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差傳播方程為:

1.2 伴隨系統(tǒng)的構建

由式(1)～式(3)可得:

即

式中，r=x－m，r為系統(tǒng)狀態(tài)向量的隨機部分，為零均值的隨機量。

系統(tǒng)的輸出為y=Cr，于是得出SLAM模型為:

初始條件為 r(t0)=r0，0≤t≤tf。

根據(jù)伴隨系統(tǒng)的形成規(guī)則，可得伴隨系統(tǒng)為［4-5］:

1.3 均方根計算

設系統(tǒng)的第i個白噪聲輸入信號為ui(t)，根據(jù)文獻［6］的推導，ui(t)引起的均方根散布表達式為:

式中，Φi為ui(t)的譜密度。上式說明了均方根脫靶量與噪聲功率譜密度的關系，也就給出了各個輸入噪聲對導彈脫靶量的影響。

由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)輸出y(tf)的總方根散布σy(tf)為:

這樣不僅得到了y(tf)的均方根散布，而且得到了均方根散布分量σyi(tf)。

2 制導系統(tǒng)數(shù)學模型

某導彈采用雷達導引頭，制導系統(tǒng)包括導引頭、自動駕駛儀、制導規(guī)律、目標機動及導彈目標運動學環(huán)節(jié)等，其相互關系如圖1所示。

圖1 導彈制導系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of missile guidance system

2.1 導引頭模型

根據(jù)導引頭的動態(tài)特性建立導引頭模型，將導引頭簡化為一階環(huán)節(jié)，輸入輸出關系為［7］:

式中，u為導引頭的輸出信號;τ為導引頭時間常數(shù);W1為測角速度偏差，用高斯白噪聲表示。

2.2 自動駕駛儀模型

導彈的加速度回路可簡化為二階系統(tǒng)，其數(shù)學模型為:

式中，TC為時間常數(shù);ξC為阻尼系數(shù);nC為指令過載;為無彈體過載限幅時彈體對控制指令的響應。須加以限制，限制過程用飽和非線性表示:

式中，nL為彈體實際過載;nm為導彈最大允許過載。

2.3 導彈、目標相對運動學模型

假設導彈、目標處于同一平面內(nèi)運動，則導彈與目標的相對運動方程為:

式中，R為導彈與目標的相對距離;q為目標視線角;V，VT分別為導彈與目標的速度;θ，θT分別為導彈和目標的速度航向角［8］。

2.4 目標運動模型

假設目標速度Vt為常值，橫向加速度at是隨機變化的，視為一階馬爾可夫過程，其傳遞函數(shù)為一階低通濾波器，其功率譜密度函數(shù)為:

式中，σat為加速度均方根，反映目標的加速度水平;ωt為目標機動帶寬。用白噪聲模擬時，其傳遞函數(shù)為一階低通濾波器

目標橫向加速度用微分方程表示為［6］:

式中，W2為白噪聲輸入;ωt為目標機動帶寬。

2.5 隨機風模擬

鑒于風向變化的多樣性，只考慮側向陣風的影響。側向陣風可以看作是由均值風和大氣紊流組成。均值風不用模擬，側向紊流采用Dryden大氣紊流模型模擬，相應的傳遞函數(shù)為:

3 制導精度統(tǒng)計分析

式中，nC=KVx1，nC為指令過載。分別取f1=f(x3)，

將以上狀態(tài)方程寫成矢量形式為:

式中，F(xiàn)，D及G中大部分都是零元素，限于篇幅，不在此給出。對非線性函數(shù)f進行統(tǒng)計線性化，求出對應的描述函數(shù)和Nf。

式中，P=P66－2P64+P44;b1=sin(m6－m4);b2=cos(m6－m4)。

由N=F+DNf，可得輔助矩陣N如下:

4 仿真結果及分析

已知導彈與目標的初始距離R=9 km，目標飛行速度VT=400 m/s，導彈的初始飛行速度V0=800 m/s，導引系數(shù)K=4。針對不同的隨機干擾因素，仿真結果如圖2～圖5所示。

圖2 目標機動對相對距離均方根的影響Fig.2 Effect of target maneuver on RMSof relative distance

由圖2可知，相對距離均方根隨導引時間的增加呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。當目標機動帶寬ωt=0.05 Hz時，7.5 s時的均方根值為0.415 m;當ωt增大至0.10 Hz時，相應的均方根值為0.837 m，表明目標機動帶寬對相對距離均方根的影響比較顯著。這是由于目標機動帶寬增加引入高頻分量，使得橫向加速度隨機波動性增大，直接導致脫靶量和均方根散布的增加［9］。

圖3 隨機風對相對距離均方根的影響Fig.3 Effect of random wind on RMSof relative distance

由圖3可以看出，側向陣風作用時相對距離均方根值很小，因為側風的干擾作用主要表現(xiàn)在對側滑角的影響，使彈體產(chǎn)生一個附加的側滑角Δβ≈W3sin(ψ'－ψ)/V，而側向陣風風速 W3相比彈體速度V要大很多，即風對彈體的側滑運動影響不大，產(chǎn)生的脫靶量很小。

圖4 導引頭噪聲對相對距離均方根的影響Fig.4 Effect of seeker noise on RMSof relative distance

由圖4可知，導引頭噪聲對相對距離均方根的影響隨導引時間的增加不斷增大。相比側向陣風的作用，導引頭噪聲的影響更為顯著。

在目標機動、側向陣風及導引頭噪聲這三個因素中，影響相對距離均方根最主要的因素是目標機動，其次是導引頭噪聲，而側向陣風的作用十分有限。

將目標機動、側向陣風及導引頭噪聲全部加入到系統(tǒng)中，運用SLAM進行計算。為了便于比較各種方法的優(yōu)劣，還分別采用CADET和Monte-Carlo進行了仿真計算，其中Monte-Carlo分別進行了n=200，300，400，500 次試算，在圖 5 中只給出了 n=400，500次的計算結果。

圖5 綜合干擾因素對相對距離均方根的影響Fig.5 Effect of comprehensive interference factors on RMSof relative distance

從圖5可以看出，SLAM的結果與Monte-Carlo進行了500次計算的結果基本接近，且反映的均方根變化規(guī)律一致，兩者具有同等的計算精度，只是因為伴隨時間(tadd=tf－t)使均方根曲線反向;SLAM除了得到相對距離均方根，還能夠得到各個干擾項對均方根散布的影響，因此SLAM比CADET更具有優(yōu)越性，是評價導彈制導系統(tǒng)精度更為有效的工具。

5 結束語

以某型導彈制導系統(tǒng)為例，綜合考慮目標機動、隨機風干擾以及導引頭噪聲的作用，對導彈制導精度進行了統(tǒng)計分析。研究了各種隨機干擾對總均方根值的影響，并與CADET和Monte-Carlo的仿真計算結果進行了比較，得到了更為全面、有效的分析結果，為導彈制導系統(tǒng)的性能分析和優(yōu)化設計提供了有力參考。

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