高超聲速飛行器非線性控制系統設計

雷博娟，周軍，郭建國，王國慶

(1.西北工業大學精確制導與控制研究所，陜西西安710072;2.中國運載火箭技術研究院研究發展中心，北京100076)

0 引言

高超聲速飛行器在高馬赫數、大空域的飛行過程中，對空氣動力學參數和飛行條件的變化非常敏感，使動力學系統具有快時變、強耦合和嚴重非線性的特點。文獻［1］采用一種多模型自適應控制方法，設計了高超聲速飛行器在Ma=10巡航飛行的魯棒控制器。文獻［2］研究的帶神經網絡補償的動態逆控制方法已經應用于X-33的控制系統中。文獻［3］利用關聯大系統的Lyapunov理論及Riccati方程設計了高超聲速飛行器耦合系統變結構控制器。這些方法都是在對非線性模型進行線性化的基礎上進行的，因而導致控制系統的控制精度、適應性受限。為了獲得更精確的控制性能，控制器設計過程中采用的動力學模型需要盡量精確，從而也使得系統的耦合性和非線性更高。狀態相關的Riccati方程(State-Dependent Riccati Equation，SDRE)方法通過將非線性方程轉化為逐點線性化結構［4-5］，充分保留系統的非線性特性，與狀態相關的系數矩陣能夠有效折衷控制量和系統的動態性能，相比一般的非線性算法實現更加簡單。

本文針對高超聲速飛行器三通道強耦合的非線性模型，通過引入參考模型建立增廣系統，基于SDRE方法設計了模型參考跟蹤控制器來動態跟蹤參考模型。與此同時，采用LQR線性控制方法設計控制器，通過數學仿真比較，驗證了基于SDRE方法的非線性控制系統在飛行狀態大幅變化時仍能保證良好的控制效果和較好的魯棒性。

1 SDRE控制方法

基于SDRE控制方法的基本思想是將非線性系統方程處理成類似線性結構的形式，可以看作是線性LQR在非線性系統控制中的延伸和擴展。不同的是，SDRE方法中系統矩陣(A(x)，B(x))以及加權矩陣(Q(x)，R(x))是與狀態量x相關的，利用這一特點能夠在不同的狀態空間采取不同的控制作用，削弱了傳統的線性LQR控制中存在的狀態誤差和控制輸入之間的矛盾，給設計帶來很大的靈活性。

考慮如下方程描述的連續非線性控制系統［4］:

滿足f(0)=0，且? x，B(x)≠0。將f(x)寫成逐點線性結構的狀態相關因子(State-Dependent Coefficient，SDC)形式:

此時系統方程可轉變為:

考慮其無限時間代價函數:

式中，狀態變量 x∈Rn;控制變量，R(x)為狀態相關的狀態量和控制量的權矩陣，Q(x)=CT(x)C(x)≥0，R(x)＞0。

參考線性二次調節器［2］的思想，取狀態反饋控制律:

式中，P(x)為求解狀態相關的代數Riccati方程的唯一對稱正定解:

2 高超聲速飛行器動力學建模

高超聲速飛行器在飛行過程中大氣參數大范圍變化，氣動參數具有快時變、不確定的特點。在大氣密度很低的高空持續飛行時，空氣舵效率變低。采用BTT機動方式使得滾轉通道很難穩定，并且導致通道間耦合更強，嚴重影響到俯仰、偏航通道的控制，同時大迎角使得氣動參數非線性加強。針對非線性、強耦合的高超聲速飛行器動力學模型，傳統的做法是假設飛行迎角、側滑角較小，并且忽略通道之間的各種交聯耦合，這樣的線性化假設對于氣動參數大范圍、快時變的高超聲飛行器來說并不總是成立。以系數凍結法為基礎，基于這樣的線性化模型設計的控制系統控制精度受到限制，在氣動參數發生大范圍變化時適應性較差。為提高控制精度，增強對高超聲速飛行器不確定、快時變氣動特性的適應性，基于非線性模型的非線性控制方法是必要的研究途徑。

為建立面對稱結構的高超聲速飛行器的姿態動力學模型，暫且不考慮飛行器本身的彈性問題，忽略地球曲率和自轉的影響，以及飛行器所受地球引力。以文獻［6］中的高超聲速飛行器為建模仿真對象，結合文獻［7］，以 x=［α，β，φ，p，q，r］T為狀態、u=［δx，δy，δz］T為控制輸入，建立面對稱構型飛行器姿態動力學模型:

其中:

式中，α，β，φ 分別為迎角、側滑角和滾轉角;p，q，r分別為各軸向角速度;δx，δy，δz表示俯仰、偏航、滾轉通道的等效舵偏，其中的氣動力、力矩系數的表達形式和具體定義參見文獻［7］。分析可知，該姿態動力學模型三通道間耦合嚴重，具有很強的非線性特點。

3 模型參考SRDE跟蹤控制器設計

對于采用BTT機動方式的高超聲速飛行器而言，偏航通道必須與其他兩個通道協調動作，實現側滑角β為0和側向過載為0的限制。對俯仰通道和偏航通道，選擇理想的線性系統作為跟蹤模型，通過跟蹤時變的指令信號，能夠改善跟蹤誤差的動態過程。設參考狀態 xm=［xm1，xm2］T，輸入指令信號um，滿足下式［8］:

若取俯仰通道 xmz=［αm，rm］T，umz=αc，滾轉通道xmx=［φm，pm］T，umx=φc，由式(8)可以得到俯仰通道、滾轉通道參考模型。

設參考模型跟蹤誤差 e=［e1，e2，e3，e4，e5，e6］T，則 α =αm－e1，β=e2，φ =φm－e3，p=pm－e4，q=e5，r=rm－e6。由式(7)，結合俯仰通道和滾轉通道參考模型，可得到以跟蹤誤差 e為狀態、u=［δx，δy，δz］T為控制輸入的狀態空間模型。然后構造SDC形式，即進行類線性化可以得到:

首先對礦石樣品進行X射線熒光光譜分析，根據分析結果，篩選銣、鈮、鉭以及其他含量較高的主要元素進行了化學分析，分析結果見表1。由表可知，礦石中達到礦產資源工業利用品位的僅有銣，鈮鉭僅達到邊界品位，其他元素均不具有工業利用價值，所以本次工作主要針對銣的賦存狀態進行研究。

SDRE方法所采用的類線性化過程不同于常規的平衡點線性化，只是對原系統方程進行等價的等式變換，因而可以避免常規線性化帶來的誤差。文獻［9］中指出，狀態相關系數矩陣(A(x)，B(x))的選擇對控制系統性能影響不大，僅要求(A(x)，B(x))逐點可控即可。在此，將(A(e)，B(e))寫成下面的形式:

其中:

式中，動力學系數a1～a7，b1～b7，c1～ c4的定義參見文獻［7］。

針對SDC形式的非線性姿態運動模型式(9)，設計反饋控制器u(e)，使得系統狀態與參考模型狀態的誤差達到最小:

采用線性二次型的思想，對應的反饋控制為:

式中，P(e)為下述方程的唯一正定解。

由于系數矩陣(A(e)，B(e))與狀態量有關，求得的反饋控制也是與狀態相關的，使得控制量和系統的動態特性得到有效折衷。當飛行迎角、滾轉角等狀態快速大幅度機動時，控制系統能夠根據飛行狀態的改變來靈活調節控制信號。而參考模型的引入，使得指令跟蹤過程能夠保持良好的動態特性。由于控制器設計過程中充分保留了系統的非線性特性，模型更加精確，因此控制過程更容易滿足高超聲速飛行過程中的各種約束和要求。

4 仿真結果及分析

選擇高超聲速飛行器在飛行高度54 km、飛行速度Ma=10的高速滑翔條件下進行數學仿真。執行機構的動態特性用一個振蕩環節。三個舵偏限幅±20°，限速率 ± 50(°)/s;初始時刻 α0=15°，β0=2°，φ0=15°。迎角、滾轉角控制指令 αc=5°，φc=0°，Tzm=0.09 s，ξzm=0.9，Txm=0.085 s，ξxm=0.9;氣動參數拉偏±30%;仿真步長0.001 s。在Matlab/Simulink環境下對基于SDRE的模型參考跟蹤控制器以及LQR線性控制器進行仿真，結果如圖1～圖4所示。

圖1 標稱模型下的迎角響應曲線Fig.1 Response of angle of attack of the nominal model

圖2 基于SDRE方法的迎角響應曲線Fig.2 Response of angle of attack using SDRE method

圖3 基于SDRE方法的側滑角響應曲線Fig.3 Response of sideslip angle using SDRE method

圖4 基于SDRE方法的滾轉角響應曲線Fig.4 Response of roll angle using SDRE method

分析兩種控制器作用下的仿真結果，可得到以下結論:

(1)標稱模型下，LQR線性控制器在跟蹤迎角大幅度階躍變化時，存在穩態誤差約10%，并且動態過程緩慢不平滑。而基于SDRE的模型參考跟蹤控制器對迎角的跟蹤精度較高，幾乎沒有穩態誤差，而且動態特性好。

(2)迎角、滾轉角大幅度機動時，在標稱和氣動參數攝動±30%的情況下，基于SDRE的非線性控制器均可以實現迎角、側滑角、滾轉角的精確控制，穩態誤差小于3%，超調較小，說明所設計的控制器有較好的魯棒性和適應性。

綜合以上分析，表明基于SDRE方法設計的模型參考跟蹤控制器在高超聲速飛行器飛行狀態大范圍變化時能夠保持良好的控制效果，跟蹤精度高，動態過程平滑穩定，并且在氣動參數出現大幅攝動時能夠保持較好的魯棒性和適應性。

5 結束語

本文針對高超聲速飛行器非線性強耦合模型，通過引入參考模型，提出基于SDRE的模型參考跟蹤控制系統設計方法。在飛行狀態大幅變化、氣動參數攝動條件下，與LQR線性控制方法進行比較，驗證了基于SDRE的模型參考跟蹤控制器具有良好的控制性能和較強的魯棒性。隨著高超聲速飛行器的迅速發展，基于SDRE的非線性控制律設計方法將會得到更加廣泛的發展和應用。

［1］ Matthew Kuipers，Petros Ioannou.Robust adaptive multiple model controller design for an air-breathing hypersonic vehicle model［R］.AIAA-2008-7142，2008.

［2］ Johnson E N，Calise A J.Reusable launch vehicle adaptive guidance and control using neural networks［R］.AIAA-2001-4381，2001.

［3］ 周鳳歧，王延，周軍，等.高超聲速飛行器耦合系統變結構控制設計［J］.宇航學報，2011，32(1):66-71.

［4］ Cloutier JR.State-dependent Riccati equation techniques:an overview［C］//Proceedings of the American Control Conference.Albuqueqe，New Mexico，1997:932-936.

［5］ Cimen T.State-dependent Riccati equation(SDRE)control:a survey［C］//The 17th World Congress and the International Federation of Automatic Control.Seoul，Korea，2008:3761-3775.

［6］ Keshmiri S，Colgren R.Six DOF nonlinear equations of motion for a generic hypersonic vehicle［C］//AIAA Atmosphere Flight Mechanics Conference and Exhibit.South Carolina，USA，2007:6626-6634.

［7］ 彭冠一.防空導彈制導控制系統設計(上)［M］.北京:宇航出版社，1996:236-240.

［8］ 周軍.不確定性系統的變結構自適應控制理論及其應用［D］.西安:西北工業大學，1993:118-141.

［9］ Hammett K D，Hall C D，Ridgely D B.Controllability issues in nonlinear the state-dependent Riccati equation control［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1988，21(5):767-773.

［10］賈正望，穆玉強，郭志.基于SDRE方法的制導律設計與仿真研究［J］.系統仿真學報，2010，22(1):135-143.