結合“理論、實例、文化”，實現線性代數“有效教學”

王發興　鄭瑩

線性代數教學中應合理安排內容的講授順序，在抽象概念和定理講解中引入恰當的生活實例，激發學生的學習興趣，同時應加入線性代數的文化背景和思想內涵，提升整個教學的層次，進而實現真正的“有效教學”。

線性代數理論實例文化有效教學線性代數作為理工科院校的一門必修課程，是學生學習后續專業課程的重要基礎，是培養科技創新能力的載體，也是解決實際問題的有力工具。其特點是概念多、定理多、符號多、運算規律多，內容抽象且相互縱橫交錯、環環相扣。

一、目前線性代數教學存在的問題

本文研究的該課程教學對象是非數學專業的學生，目前，在教學中凸顯的問題主要有：不同版本教材內容編排順序各有特點，有些版本的編排脈絡較混亂，不盡符合知識點積累的自然規律，給教師授課和學生理解造成困難；教學課時客觀上較緊，教師難以在較短時間內完全講透抽象概念；課程內容缺乏具體的應用實例，難以聯系實際理解知識，影響學生的學習積極性；教學中普遍忽略了文化內涵，包括數學的歷史、思想、精神、方法、觀念、語言等人文元素的認知以及數學思維、技能等素質的訓練，一味就概念講概念，缺乏內涵、枯燥乏味，達不到真正的教學目的。

如何讓學生輕松的進入到線性代數的學習中來，了解理論的背景，使課程生動起來、連貫起來，且能在較短時間內掌握核心內容且能熟練應用到現代科技中解決實際問題，是值得所有線性代數教學工作者深思的問題。本文主要論述線性代數的理論、應用、文化特征，并將三方面有機結合，進而在實現該課程的“有效教學”。

有效教學，就是在符合時代和個體積極價值建構的前提下其效率在一定時空內不低于平均水準的教學。有效教學的“有效”，主要是指通過教師在一種先進教學理念指導下經過一段時間的教學之后，使學生獲得具體的進步或發展。“教學”，是指教師引起、維持和促進學生學習的所有行為和策略。它主要包括三個方面：一是引發學生的學習意向、興趣，教師通過激發學生的學習動機，使教學在學生“想學”“愿學”“樂學”的心理基礎上展開；二是明確教學目標，教師要讓學生知道“學什么”和“學到什么程度”；三是采用學生易于理解和接受的教學方式。

二、實現線性代數有效教學的三個方面

1.合理的講授順序使教學內容清晰貫通

目前，工科院校非數學專業線性代數課程內容主要涉及六個板塊：行列式、矩陣、n-維向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。從庫洛什的《高等代數》和我國的《高等代數》（線性代數）的教學內容的安排來看，線性代數中的主要對象、基本理論基本都是按照線性代數的歷史發展的脈絡進行的。但目前各教材內容編排順序各有特點，比如，行列式的概念早于矩陣，有教材先講行列式；Cramer法則早于求解線性方程組的消元變換，有教材也先講Cramer法則；矩陣是線性代數最重要的概念和符號，有教材也先講矩陣。

線性代數獨立作為一門課程，不考慮其發展史，任何一種方式都可以展開講解，但基于該課程的特點，內容順序的安排又顯得至關重要，這直接關系到學生學習的效果。

對于教學對象來講，由于線性代數的概念和思維模式與高中階段有較大的不同，如果“一上來就講n階行列式”，這樣導致的結果是學認為既不好懂，也不知有什么用，況且用行列式解線性方程組也不實用。如果一開始就引入矩陣，雖然簡單，但不知道為何要學這樣一個概念。對于進大學一年級的初學者來講，筆者認為如果通過線性方程組切入則易于理解，且能和高中知識較好銜接。

線性代數的起源也是解線性方程組，方程組作為主線貫穿于線性代數，在引入方程組后，對其解進行初步研究，去掉未知量和一些符號后就可自然的引入矩陣，這是學生容易接受的，進而利用矩陣理論研究向量組的理論，再用向量空間的理論表達方程組解的結構。這種模式用線性關系（相關、無關）、秩等概念描述n維向量和矩陣的某些本質屬性，刻畫線性空間中子空間的關系，揭示線性方程組的解的結構，并將線性方程組、矩陣與線性空間、線性變換緊密聯系起來，就較好的完成了線性代數的公理化結構的構建。在此之后再通過方程組引入行列式，而行列式的定義則可根據不同層次學生的需求給出不同的定義方式，如n！項求和、按行（或列）展開、三角形行列式對角線乘積等等。在充分掌握了基本工具和方法之后，展開特征值與特征向量（相似、對角化）、二次型等知識的講解就會較為輕松，進而也會取得較好的教學效果。

美國近幾十年的線性代數教材在內容安排上基本都是遵循從線性方程組出發的模式。當然，在實施中必須還應該結合學生的實際掌握情況作及時調整，與學生溝通、互動、交流，讓學生學會，這也是教學的主要目的。

2.恰當的生活實例讓抽象理論鮮活生動

線性代數的重要作用主要是能把頭緒紛繁的事物按一定的規則清晰地展現出來，使我們不至于被一些表面看起來雜亂無章的關系迷惑，它還可以恰當的給出事物之間內在的聯系，并通過矩陣的運算或變換來揭示事物之間的內在聯系，是我們求解問題時候“數形結合”的途徑。

教學中，要求教師不單用嚴格的語言、嚴謹的證明論述課程內容，更應將抽象的內容具體化，吸納來自計算機、物理、工程、經濟、生物、航天、航海等學科的實例與知識，以及數學其他分支的知識。在充分激發學習興趣的同時，讓線性代數活起來，將學生帶入課程內容的思考和鉆研當中來，進而能夠掌握扎實的理論功底，且能學以致用。

好的實例可以調節氣氛、明確知識，學生甚至可能因此對這么課產生濃厚的興趣，下面簡要介紹兩個在教學中引入的實例：

（1）用逆矩陣進行保密編譯碼

在講解逆矩陣時，通過密碼破譯問題，可以加深對逆矩陣概念的理解、應用價值的升華。

如在英文中有一種對信息進行保密的措施，就是把英文字母用一個整數來表示，然后傳送這組整數。這種方法是很容易根據數字出現的頻率來破譯。為避免頻率特征，做好保密工作，可以利用逆矩陣來進一步保密。

對照表：

a b c d e f g h i j k l m n o …… x y z 空格

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …… 24 25 26 0

明文： he is in England

密文： 8 5 0 9 19 0 9 14 0 5 14 7 12 1 14 4

為消除頻率特征，可用逆矩陣知識加以保密。

（2）向量組的極大線性無關組解決配藥問題

在講解抽象的向量組的線性相關、無關性以及最大無關組的內容概念時，通過中成藥藥方配制問題可引發興趣且充分理解向量的表示以及向量空間等知識。

例：某藥廠用9種中草藥（A-I），根據不同配比制成了7種藥物，各用量成分見表1（單位：克）。

現在由于3號和6號藥脫銷，問是否可以用其他5種藥配制3號和6號特效藥？

解：把每一種特效藥看成一個九維列向量，記為α1，α2，…α7，分析7個列向量構成向量組的線性相關性，若向量組線性無關，則無法配制脫銷的藥；若向量組線性相關，并且能找到不含α3，α6的一個最大線性無關組，則可以配制3號和6號藥品。

記A為上述表構成的矩陣，A化為如下行最簡矩陣：

A→A1

O4×7， 其中A1=1 0 1 0 0 0 0

0 1 2 0 0 3 0

0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1

從最簡矩陣可以看出，R（A）=5，且可以找到不含α3，α6的一個最大線性無關組，令α3=α1+2α2，α6=3α2+α4+α5，因此可以實現脫銷藥品的配制。

另外，用矩陣知識處理3D圖像數據、航空運輸業航班調度問題，用線性方程組解決經濟學中著名的投入產出模型、化學方程式中的配平、IC集成電路設計中數百萬個集體管的仿真軟件設計、（k，n）門限方案中的應用模型，特征值和特征向量在 Google網頁搜索排序中的應用等方面的實例都可以較好的引入到教學當中。這對于學生開闊眼界，拓寬思路，激發他們學習本門課程的興趣將大有益處，為實現有效教學邁了一大步。

3.博大的數學文化使內涵思想融入生活

線性代數自身的抽象性和抽象程度比一般數學學科要高，學生不但因此感到學習困難，而且感到離現實生活太遠，相當部分學生采取模仿式學習。如果在教學中揭示線性代數的思想內涵、抽象性概念的現實背景，用哲學的高度感受該課程，讓學生體會到線性代數其實是萬變生活的縮影，是現實生活的高度抽象化，它滲透在生活的每一個角落，以此提高學生對數學的理解力，培育學生的精神品質，提升邏輯分析能力。

一般講，數學思想文化應包含：數學自身 、數學教育、數學史、數學的應用（工具性）、數學思維、數學藝術、數學美學及數學的社會效應等。具體講，在數學課的教學中應突出所學概念、定理、公式歷史存在的因由、它們隱含的思想、方法及應用。下面簡要舉例說明如何引入文化教學以及它的重要性。

（1）方程組求解變形“掌握規律，化繁為易”

消元法解線性方程組是1800年左右Gausss用于解決天體計算和后來大地測量計算中的最小平方問題時提出的（中國九章算術中有消元解3 ×3的線性方程組），消去法的重要意義在于，它不僅可以作為線性方程組的普通求解方法，還能以簡短的迭代來表達整個求解過程， 是現代計算方法中一個基本的演算法，完全可用于計算機自動處理，可以認為消元法是計算機科學與數學的結合點。高斯消去法用矩陣表示相當于初等矩陣作用給定矩陣將它化為階梯形矩陣或行最簡形，這是用矩陣語言對線性方程組解法的進一步簡化。從中反應出事物發展的本質過程，讓學生領會透過現象看本質，用簡單的方式解決復雜的問題，進而將矩陣方法應用到現代科技發展中。

（2）向量組最大無關組“變中不變”

在向量組的教學中，向量組的最大無關組作為向量組最本質的部分，也是刻畫向量空間的核心工具，應該在教學中融入“變中有不變”的思想。最大線性無關組當中增加一個向量就線性相關了，減少一個向量就無法刻畫整個向量組。而一個向量組的“最大線性無關組”往往不是唯一的，會有多個甚至無窮多個，這就是“變”。但在這種變中又有一個“不變”的東西，即“最大線性無關組”中向量的個數。這種在事物變換中不變的東西具有某種穩定性，能反應出事物的本質特征。

另外，用矩陣初等變換求方陣的逆矩陣時，通過乘以一個單位矩陣來推導求逆方法，這種“無中生有”方式所體現的“創新思想”，用矩陣對角化求解方陣的n次冪問題中所體現的“化大為小，化未知為已知”的思想等都應該在理論教學之后對學生進行充分的講解，將數學文化思想真正的融入到教學當中。

三、結語

線性代數這門課程教學歷史較短，在我國作為一門獨立課程時間也不長，而近代信息與計算機技術的發展，使得線性代數成為現代科技世界的復雜的多變量控制系統和計算的數學，許多數學軟件都借助于線性代數。未來該課程與現代計算機技術的結合必須實施，也是今后線性代數發展的重要方向，這也給線性代數教育工作者給出了新的啟發和新的研究方向，而真正意義上的“有效教學”的教學必須將“理論、應用、文化”全面融入到教學當中。

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