引領學生在“數學王國”中培養自己的數學“素養”

李明樹

新課程改革中主張提高學生的數學素養，使不同的學生在數學上有不同的發展，暢游數學王國，領略數學的奧妙與樂趣。

數學思維策略多元拓展阿基米德曾經說過：“給我一個支點，我可以撬動地球”。這位偉大的歷史人物的豪言壯語中體現了“杠桿原理”的重要性，對物理乃至很多學科的領域做出了巨大的貢獻。而真正意義上的“撬動”地球，需要一根足夠長的杠桿和一個合適的支點。在中學數學領域中，培養學生形成自己的解題“策略”，是當下中學教師急需面對的問題。如何在數學問題中找到“足夠長的杠桿”，找到“恰當的支點”呢？筆者認為，中學數學教學中廣泛地培養學生巧妙地運用數學思想方法，不失為“撬動地球”的輕松途徑。

一、調整“支點”的位置和“動力臂的長度”以“四兩撥千斤之力”輕松解決問題

中學數學具有一定的邏輯思維性，解決問題需要不斷地變換，需要一再認識它，重新敘述它，直到最后成功地找到某些有用的東西。

例題：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BA、DC延長線上的點，且AE∥CF，交BC、AD于點G、H.求證：EG=FH.

學生解題思路：先證四邊形AECF是平行四邊形得到AF=CE，再證△AFH≌△CEG。其清晰的思路使問題能夠得以解決，但仔細回顧解題思路不難發現，學生選擇“三角形全等”作為“支點”，而三角形全等的條件是通過多次轉化才能找到，顯然使得“動力臂”在縮短，“阻力臂”在變長，使解題的流暢性受到限制，而且沒有使學生很好的利用平行四邊形的性質和判定巧妙的解題。

教師引導：先證四邊形AECF是平行四邊形得到AE=CF，再證四邊形AGCH是平行四邊形得到AG=CH，從而AE-AG=CF-CH得到EG=CH。顯然，此法解決問題時選擇好了適當的“支點”和“足夠的長的動力臂”，以“四兩撥千斤之力”，輕松地把問題得以轉化。

二、多元拓展數與形的巧妙結合是對傳統數學教學的挑戰

教師在教學中要引起學生的興趣，符合他們的需要，才能有效促使學生的發展。美國圖論學者哈里說過：“千言萬語不及一張圖”。

例題：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內的一點，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數。

學生的思維誤區：題目中的條件涉及到以點P為頂點的三條線段的長度分別是1、2、3，似乎和要解決的問題之間沒有明確的聯系，進而使學生的思維陷入了僵局……教師如何引導學生通過某種手段使問題得以轉化呢？數學問題的轉化可以通過我們比較熟悉的平移，翻折和旋轉來達到。

方法一：圖2中，將△CBP繞著點C順時針旋轉90°，得到△CAP，連接PP，從而利用全等三角形和勾股定理的相關知識解決問題；

方法二：圖3中，將△CAP繞著點C逆時針旋轉90°，得到△CBP，連接PP，從而利用全等三角形和勾股定理的相關知識解決問題。

也許師生探討到這里似乎問題得到了完美的解答，那么為什么圖形旋轉以后點B可以和點A重合呢？像這些細節問題要引導學生理解，才是找到了解決本道題最重要的“支點”，從而順利的“撬動”了地球，使學生既感受了數學的奧秘，又獲得了成功的喜悅，增進了學習數學的熱情，進而提升了學生的整體數學素養。

三、特殊的情形創造一般的精美——一般到特殊

解題時若能注意到問題的特殊性，進而分析考慮有無可能把待解決的問題化為某個特殊問題或極端問題情形，不僅是可行的，也是必要的！

例題：如圖，長方形紙片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK，則對△MNK的敘述正確的個數是：①△MNK一定是等腰三角形；②△MNK可能是鈍角三角形；③△MNK有最小面積且等于4.5；④△MNK有最大面積且等于7.5（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

此題是個選擇題，由于題型的特殊性，教師不妨引導學生“因題施法”，待解決的問題比較多，實際上只要明確軸對稱這一變換的性質是什么？折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，似乎它就不能稱之為“地球”了，只能稱為一個“乒乓球”了，怎樣找到合適的“支點”和足夠長的杠杠呢？不妨引導學生關注問題的問法，△MNK的面積的最大（?。┲祮栴}，學生很容易發現△MNK的高可以看做是矩形的寬即BC的長，所以有了這個巧妙的“杠杠”，“支點”很顯然就放在了三角形的底KN上了，而且KN的值是最合適的“支點”，從而學生的思維很快得到了提升和訓練。如圖2中的KN最小，如圖3中的KN最大，最終把問題轉化到△ADK中利用勾股定理來解決問題。

不重視解題方法的總結和歸納，是許多學生在中考和高考中成績不理想的一個主要原因。教師的使命不是教會學生怎么提高數學成績和分數，而是在不斷地探索和收獲中能夠尋求解決問題的巧妙辦法，從而積累自己的數學經驗，提高自身的數學素養，也是培養思維能力、創造能力的有效途徑，從而推動數學的發展。