讓學生提出數學問題的幾種方法

摘 要：“學起于思，思源于疑.”怎樣讓學生發現和提出問題是探討的主要內容.提出問題的方法有：直接提問初始條件法、拓展初始條件法、否定初始條件法.

關鍵詞：提出問題；初始條件；否定假設法

提問者通過對情境的探索產生新問題，或在解決問題過程中對問題的再闡述就是提出問題.在數學教學中，對學生提出問題能力的培養，不僅要以數學情境的精心創設為前提，而且還要把挖掘數學情境與數學問題的內在聯系作為教學的基本出發點.

在實際教學中，處理情境中的基本要素有很多方式，按照這些方式的不同，提出問題的方法有以下幾種：

一、直接提問初始條件法

提問者對情境中的初始條件，以直接采用信息的方式提出數學問題的方法就是直接提問初始條件法.

如圖1，S3、S4、S5、S6分別表示三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和，那么n邊形（凸多邊形）的內角和Sn是多少.

要直接解決“n邊形的內角和Sn是多少”有一定的困難.這個情境中的初始條件為三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和.S3、S4、S5、S6是Sn的特殊情況，對它們的研究有助于學生探究出一般情況即：n邊形的內角和Sn.由此通過直接提問初始條件可產生以下問題：

S3、S4、S5、S6分別是多少？——關于多邊形內角和計算的問題.

S4比S3大多少、S6比S4大多少？——關于多邊形內角和大小比較的問題.

以上問題都是圍繞情境中的初始條件直接提問得出的.

二、拓展初始條件法

通過拓展情境中的初始條件提出數學問題的方法叫做拓展初始條件法.當學生解決了S3、S4、S5、S6之后，對多邊形內角和的大小和變化規律會產生不同的問題，這些問題包含的條件可以超越情境中的初始條件.例如：

七邊形的內角和S7是多少？——拓展了情境中多邊形的邊數.

S3、S4、S5、S6、S7大小變化有何規律？——體現提問者對邊數與內角和變化關系的思考.

多邊形內角和Sn與邊數n有何關系？——體現提問者對邊數與內角和關系的思考.

每個提問者對初始條件的拓展都不相同，這取決于個人的數學思維水平.要求提問者具有對信息的分析和處理能力，具有豐富的想象力和創造力.

三、否定初始條件法

否定初始條件的方法也叫否定假設法，被美國學者布朗和沃爾特看作是一種很有用的提出問題的基本方法.他們在《The Art of Problem Posing》一書中，闡述了否定假設法的基本原則：

（1）確定出發點，這可以是已知的命題、問題或概念；

（2）對所確定的對象進行分析，列舉出它的各個“屬性”；

（3）就所列舉的每一“屬性”進行思考：“如果這一屬性不是這樣的話，那它可能是什么？”

（4）依據上述對于各種屬性的分析提出新的問題；

（5）對所提出的新問題進行選擇.

例如：已知實數a、b滿足a-3+b-4=0，求a、b的值.

分析：原問題主要考查了絕對值的非負性.幾個非負數和為0，那么這幾個數只能同時為0.原問題有這樣幾個屬性：①兩個實數a、b；②兩個絕對值；③求a、b；④一個等式；⑤右邊為0.

改變屬性①：如果實數個數不是兩個，那么可能是什么？

問題1：已知實數a、b、c滿足a-3+b-4+2c-5=0，求a、b、c的值.

問題2：已知實數a、b滿足（a-3）2+（b+4）2=0，求a、b的值.

改變屬性③：如果不是求a、b的值，那么可能是什么？

問題3：已知實數a、b滿足a-3+b-4=0，求ab的值.

改變屬性④：如果不是等式，那么可能是什么？

問題4：已知實數a、b滿足a-3+b-4≤0，求a、b的值.

改變屬性⑤：如果右邊為不是0，那么可能是什么？

問題5：已知實數a、b、c滿足a-3+b-4=-c2+2c-1，求a、b、c的值.

在這5個問題基礎上，我們又可以使用否定假設法得出更多的新問題，例如

問題6：已知實數a滿足a-3+a-4=7，求a的取值范圍.

問題7：已知實數a，求代數式a-3+a-4+a+5的最小值.

問題8：已知實數a、b，求代數式4a2-4a+2b+5+b2的最小值.

由此可見，通過“否定初始條件”可以產生一些新問題.在獲得了幾個新問題之后，可以將新問題作為出發點并再次利用“否定初始條件”去得出更多的新問題，這一過程可以無限繼續下去.當然我們并不是列舉出所有新問題，而是要選擇出有價值的、好的數學問題，有利于鍛煉學生數學思維的問題.

對于什么是“好問題”，美國著名的數學問題解決專家匈菲爾德給出了“好問題”的五條原則：

（1）問題容易接近；（2）有多種解題方法；（3）蘊含重要數學思想；（4）不故意設陷阱；（5）可以拓展和一般化.

第一條原則，所謂“容易接近”的問題，是指在切入點處不需要多少背景、特殊知識或方法，這樣做的原因在于學生不會被復雜的背景所限制.

第二條原則，“多解”問題允許我們向學生指出用多種途徑去解剖一道數學題，不僅僅是簡單得到一個答案，而是去發現數學的思想.當你發現有多種途徑可以去解決這個問題，而其中只有一部分可行時，就有機會讓你學會“控制”：你將選擇哪一條思路？再轉向其他思路之前要考慮多久？

第三、四兩條原則是密切相關的.這些問題能夠把學生引向真正的、誠實的、有價值的數學.而且解決問題涉及的推理模式同樣也是有價值的.它既反映一般的、有用的數學思維模式，也能為運用特殊的探索策略提供良好的素材.此外也可以避開陷阱題.

第五條原則，也是最重要的一條，就是問題應該成為豐富的數學探究活動的起點，目的是給學生“做數學”的機會.

參考文獻：

[1]夏小剛，汪秉彝.數學情境的創設與數學問題的提出[J].數學教育學報，2003，12（1）：29-31.

[2]鄭毓信.努力培養學生提出問題的能力[J].數學教學通訊，2006（1）：1-4.

作者簡介：奚雯燕，女，1983年2月出生，教育碩士，就職于江蘇省蘇州市立達中學校，研究方向：中學數學教學。

編輯 馬燕萍endprint

摘 要：“學起于思，思源于疑.”怎樣讓學生發現和提出問題是探討的主要內容.提出問題的方法有：直接提問初始條件法、拓展初始條件法、否定初始條件法.

關鍵詞：提出問題；初始條件；否定假設法

提問者通過對情境的探索產生新問題，或在解決問題過程中對問題的再闡述就是提出問題.在數學教學中，對學生提出問題能力的培養，不僅要以數學情境的精心創設為前提，而且還要把挖掘數學情境與數學問題的內在聯系作為教學的基本出發點.

在實際教學中，處理情境中的基本要素有很多方式，按照這些方式的不同，提出問題的方法有以下幾種：

一、直接提問初始條件法

提問者對情境中的初始條件，以直接采用信息的方式提出數學問題的方法就是直接提問初始條件法.

如圖1，S3、S4、S5、S6分別表示三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和，那么n邊形（凸多邊形）的內角和Sn是多少.

要直接解決“n邊形的內角和Sn是多少”有一定的困難.這個情境中的初始條件為三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和.S3、S4、S5、S6是Sn的特殊情況，對它們的研究有助于學生探究出一般情況即：n邊形的內角和Sn.由此通過直接提問初始條件可產生以下問題：

S3、S4、S5、S6分別是多少？——關于多邊形內角和計算的問題.

S4比S3大多少、S6比S4大多少？——關于多邊形內角和大小比較的問題.

以上問題都是圍繞情境中的初始條件直接提問得出的.

二、拓展初始條件法

通過拓展情境中的初始條件提出數學問題的方法叫做拓展初始條件法.當學生解決了S3、S4、S5、S6之后，對多邊形內角和的大小和變化規律會產生不同的問題，這些問題包含的條件可以超越情境中的初始條件.例如：

七邊形的內角和S7是多少？——拓展了情境中多邊形的邊數.

S3、S4、S5、S6、S7大小變化有何規律？——體現提問者對邊數與內角和變化關系的思考.

多邊形內角和Sn與邊數n有何關系？——體現提問者對邊數與內角和關系的思考.

每個提問者對初始條件的拓展都不相同，這取決于個人的數學思維水平.要求提問者具有對信息的分析和處理能力，具有豐富的想象力和創造力.

三、否定初始條件法

否定初始條件的方法也叫否定假設法，被美國學者布朗和沃爾特看作是一種很有用的提出問題的基本方法.他們在《The Art of Problem Posing》一書中，闡述了否定假設法的基本原則：

（1）確定出發點，這可以是已知的命題、問題或概念；

（2）對所確定的對象進行分析，列舉出它的各個“屬性”；

（3）就所列舉的每一“屬性”進行思考：“如果這一屬性不是這樣的話，那它可能是什么？”

（4）依據上述對于各種屬性的分析提出新的問題；

（5）對所提出的新問題進行選擇.

例如：已知實數a、b滿足a-3+b-4=0，求a、b的值.

分析：原問題主要考查了絕對值的非負性.幾個非負數和為0，那么這幾個數只能同時為0.原問題有這樣幾個屬性：①兩個實數a、b；②兩個絕對值；③求a、b；④一個等式；⑤右邊為0.

改變屬性①：如果實數個數不是兩個，那么可能是什么？

問題1：已知實數a、b、c滿足a-3+b-4+2c-5=0，求a、b、c的值.

問題2：已知實數a、b滿足（a-3）2+（b+4）2=0，求a、b的值.

改變屬性③：如果不是求a、b的值，那么可能是什么？

問題3：已知實數a、b滿足a-3+b-4=0，求ab的值.

改變屬性④：如果不是等式，那么可能是什么？

問題4：已知實數a、b滿足a-3+b-4≤0，求a、b的值.

改變屬性⑤：如果右邊為不是0，那么可能是什么？

問題5：已知實數a、b、c滿足a-3+b-4=-c2+2c-1，求a、b、c的值.

在這5個問題基礎上，我們又可以使用否定假設法得出更多的新問題，例如

問題6：已知實數a滿足a-3+a-4=7，求a的取值范圍.

問題7：已知實數a，求代數式a-3+a-4+a+5的最小值.

問題8：已知實數a、b，求代數式4a2-4a+2b+5+b2的最小值.

由此可見，通過“否定初始條件”可以產生一些新問題.在獲得了幾個新問題之后，可以將新問題作為出發點并再次利用“否定初始條件”去得出更多的新問題，這一過程可以無限繼續下去.當然我們并不是列舉出所有新問題，而是要選擇出有價值的、好的數學問題，有利于鍛煉學生數學思維的問題.

對于什么是“好問題”，美國著名的數學問題解決專家匈菲爾德給出了“好問題”的五條原則：

（1）問題容易接近；（2）有多種解題方法；（3）蘊含重要數學思想；（4）不故意設陷阱；（5）可以拓展和一般化.

第一條原則，所謂“容易接近”的問題，是指在切入點處不需要多少背景、特殊知識或方法，這樣做的原因在于學生不會被復雜的背景所限制.

第二條原則，“多解”問題允許我們向學生指出用多種途徑去解剖一道數學題，不僅僅是簡單得到一個答案，而是去發現數學的思想.當你發現有多種途徑可以去解決這個問題，而其中只有一部分可行時，就有機會讓你學會“控制”：你將選擇哪一條思路？再轉向其他思路之前要考慮多久？

第三、四兩條原則是密切相關的.這些問題能夠把學生引向真正的、誠實的、有價值的數學.而且解決問題涉及的推理模式同樣也是有價值的.它既反映一般的、有用的數學思維模式，也能為運用特殊的探索策略提供良好的素材.此外也可以避開陷阱題.

第五條原則，也是最重要的一條，就是問題應該成為豐富的數學探究活動的起點，目的是給學生“做數學”的機會.

參考文獻：

[1]夏小剛，汪秉彝.數學情境的創設與數學問題的提出[J].數學教育學報，2003，12（1）：29-31.

[2]鄭毓信.努力培養學生提出問題的能力[J].數學教學通訊，2006（1）：1-4.

作者簡介：奚雯燕，女，1983年2月出生，教育碩士，就職于江蘇省蘇州市立達中學校，研究方向：中學數學教學。

編輯 馬燕萍endprint

摘 要：“學起于思，思源于疑.”怎樣讓學生發現和提出問題是探討的主要內容.提出問題的方法有：直接提問初始條件法、拓展初始條件法、否定初始條件法.

關鍵詞：提出問題；初始條件；否定假設法

提問者通過對情境的探索產生新問題，或在解決問題過程中對問題的再闡述就是提出問題.在數學教學中，對學生提出問題能力的培養，不僅要以數學情境的精心創設為前提，而且還要把挖掘數學情境與數學問題的內在聯系作為教學的基本出發點.

在實際教學中，處理情境中的基本要素有很多方式，按照這些方式的不同，提出問題的方法有以下幾種：

一、直接提問初始條件法

提問者對情境中的初始條件，以直接采用信息的方式提出數學問題的方法就是直接提問初始條件法.

如圖1，S3、S4、S5、S6分別表示三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和，那么n邊形（凸多邊形）的內角和Sn是多少.

要直接解決“n邊形的內角和Sn是多少”有一定的困難.這個情境中的初始條件為三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和.S3、S4、S5、S6是Sn的特殊情況，對它們的研究有助于學生探究出一般情況即：n邊形的內角和Sn.由此通過直接提問初始條件可產生以下問題：

S3、S4、S5、S6分別是多少？——關于多邊形內角和計算的問題.

S4比S3大多少、S6比S4大多少？——關于多邊形內角和大小比較的問題.

以上問題都是圍繞情境中的初始條件直接提問得出的.

二、拓展初始條件法

通過拓展情境中的初始條件提出數學問題的方法叫做拓展初始條件法.當學生解決了S3、S4、S5、S6之后，對多邊形內角和的大小和變化規律會產生不同的問題，這些問題包含的條件可以超越情境中的初始條件.例如：

七邊形的內角和S7是多少？——拓展了情境中多邊形的邊數.

S3、S4、S5、S6、S7大小變化有何規律？——體現提問者對邊數與內角和變化關系的思考.

多邊形內角和Sn與邊數n有何關系？——體現提問者對邊數與內角和關系的思考.

每個提問者對初始條件的拓展都不相同，這取決于個人的數學思維水平.要求提問者具有對信息的分析和處理能力，具有豐富的想象力和創造力.

三、否定初始條件法

否定初始條件的方法也叫否定假設法，被美國學者布朗和沃爾特看作是一種很有用的提出問題的基本方法.他們在《The Art of Problem Posing》一書中，闡述了否定假設法的基本原則：

（1）確定出發點，這可以是已知的命題、問題或概念；

（2）對所確定的對象進行分析，列舉出它的各個“屬性”；

（3）就所列舉的每一“屬性”進行思考：“如果這一屬性不是這樣的話，那它可能是什么？”

（4）依據上述對于各種屬性的分析提出新的問題；

（5）對所提出的新問題進行選擇.

例如：已知實數a、b滿足a-3+b-4=0，求a、b的值.

分析：原問題主要考查了絕對值的非負性.幾個非負數和為0，那么這幾個數只能同時為0.原問題有這樣幾個屬性：①兩個實數a、b；②兩個絕對值；③求a、b；④一個等式；⑤右邊為0.

改變屬性①：如果實數個數不是兩個，那么可能是什么？

問題1：已知實數a、b、c滿足a-3+b-4+2c-5=0，求a、b、c的值.

問題2：已知實數a、b滿足（a-3）2+（b+4）2=0，求a、b的值.

改變屬性③：如果不是求a、b的值，那么可能是什么？

問題3：已知實數a、b滿足a-3+b-4=0，求ab的值.

改變屬性④：如果不是等式，那么可能是什么？

問題4：已知實數a、b滿足a-3+b-4≤0，求a、b的值.

改變屬性⑤：如果右邊為不是0，那么可能是什么？

問題5：已知實數a、b、c滿足a-3+b-4=-c2+2c-1，求a、b、c的值.

在這5個問題基礎上，我們又可以使用否定假設法得出更多的新問題，例如

問題6：已知實數a滿足a-3+a-4=7，求a的取值范圍.

問題7：已知實數a，求代數式a-3+a-4+a+5的最小值.

問題8：已知實數a、b，求代數式4a2-4a+2b+5+b2的最小值.

由此可見，通過“否定初始條件”可以產生一些新問題.在獲得了幾個新問題之后，可以將新問題作為出發點并再次利用“否定初始條件”去得出更多的新問題，這一過程可以無限繼續下去.當然我們并不是列舉出所有新問題，而是要選擇出有價值的、好的數學問題，有利于鍛煉學生數學思維的問題.

對于什么是“好問題”，美國著名的數學問題解決專家匈菲爾德給出了“好問題”的五條原則：

（1）問題容易接近；（2）有多種解題方法；（3）蘊含重要數學思想；（4）不故意設陷阱；（5）可以拓展和一般化.

第一條原則，所謂“容易接近”的問題，是指在切入點處不需要多少背景、特殊知識或方法，這樣做的原因在于學生不會被復雜的背景所限制.

第二條原則，“多解”問題允許我們向學生指出用多種途徑去解剖一道數學題，不僅僅是簡單得到一個答案，而是去發現數學的思想.當你發現有多種途徑可以去解決這個問題，而其中只有一部分可行時，就有機會讓你學會“控制”：你將選擇哪一條思路？再轉向其他思路之前要考慮多久？

第三、四兩條原則是密切相關的.這些問題能夠把學生引向真正的、誠實的、有價值的數學.而且解決問題涉及的推理模式同樣也是有價值的.它既反映一般的、有用的數學思維模式，也能為運用特殊的探索策略提供良好的素材.此外也可以避開陷阱題.

第五條原則，也是最重要的一條，就是問題應該成為豐富的數學探究活動的起點，目的是給學生“做數學”的機會.

參考文獻：

[1]夏小剛，汪秉彝.數學情境的創設與數學問題的提出[J].數學教育學報，2003，12（1）：29-31.

[2]鄭毓信.努力培養學生提出問題的能力[J].數學教學通訊，2006（1）：1-4.

作者簡介：奚雯燕，女，1983年2月出生，教育碩士，就職于江蘇省蘇州市立達中學校，研究方向：中學數學教學。

編輯 馬燕萍endprint