數學教學中運用數學習題發展學生思維能力略談

數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科，是通過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。

數學有著它自身的特點：（1）高度的抽象性；（2）嚴謹的邏輯性；（3）應用的廣泛性；（4）內涵的辯證性。由此可見，學習數學不僅要有實際生活中的數量關系和空間形式的感性經驗，而且更要有較強的思維能力。以數學知識為載體，通過對思維的激化與調控，有效地提高學生的數學思維，成為當前數學教師在教學中應當高度關注的問題。

挖掘教材，培養學生轉化數學問題能力，形成良好的應用意識

筆者認為要潛心鉆研教材，挖掘教材與生活的結合點，再科學設計教學環節，關鍵是對課堂教學中的預設問題和生成問題都要平等認真地對待。預設問題是教師結合教學經驗預見到的學生可能出現的問題和思維盲點，而生成問題則是學生真切出現的急須解決的問題。

如教學“一次函數與二元一次方程組”一課，我將與學生生活實際密切相關的電話費用問題作為例題，拉近數學與學生生活的距離。

一家電信公司給顧客提供兩種手機收費方式：方式A以每分鐘0.1元的價格按通話時間計費；方式B除收月基費20元外再以每分0.05元的價格按通話時間計費。你會選擇哪種收費方式？為什么？有的學生選A，有的學生選B，并在我的引導下展開研究，最終將實際問題轉化成數學問題研究，并找到了解決問題的方法——用函數觀點分析問題解決問題。一切進行得那么順利，連學生可能出現的問題我都預見到了，自然解決得也很輕松。對例題的分析、講解、書寫，我認為我的示范很到位，所有學生應該都掌握了這個方法，沒想到在請一個基礎扎實的學生板書練習時卻出現了一個我認為不是問題的問題，而這個在我看來不是問題的問題真的就是大多數學生思維的盲點——單位長度不會取，圖像畫不出來，400分鐘在哪找？根據學生出現問題的需要，我及時調整教學重難點。由于是決策類實際問題，橫縱軸的實際意義不同，所以單位長度的選取可以根據實際經驗來確定，橫軸以100分鐘為一個單位長度，縱軸以10分鐘為一個單位長度。再用方程觀點求函數圖像交點，過起點和交點做射線，這樣大部分學生都有章可循地畫出了圖像，并結合圖像給出了正確的決策。解決學生問題的同時更好地完成了教學目標。其實，這個問題也可以更簡單地解決，就是求出起點和交點坐標，畫射線即可，單位長度可以忽略，只不過本節課是初次研究決策類問題，所以我對學生解決問題的各個環節要求得比較細致、嚴謹。這種方法我并沒有在本節課中示范給學生，對于簡單方法的介紹放在了習題課中。

教師在教學時應做個有心人，深挖教材，深研學生，充分利用教材提供的豐富資源，合理、靈活地去運用，在尊重教材的基礎上從學生熟悉的生活情境出發，運用學生關注和感興趣的實例作為認識的背景，激發學生的求知欲，使學生感受到數學就在自己的身邊，與現實世界有緊密聯系。

多角度思考，培養解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神

在實踐與探索中，筆者認為給學生提供開放性的問題，鼓勵學生多角度思考能有效地發展實踐能力與創新精神。策略一，在問題的呈現上，應注重提供適量的信息，而不一定是全部的信息，信息的呈現不一定一次到位，可以分步呈現，或讓學生自主尋求，使每個學生自主尋求，使每個學生都成為提供信息的主體，變以往學生坐著等信息為主動提供，獲取有用的信息；策略二，創設問題，使問題的解不唯一，激發學生探究欲望。

如在講“角的度量”一課，以前進行教學設計時是根據我的經驗將書中的內容講述清楚、學生能夠了解會解題就行了。現在，我在進行教學設計之前都要通過問題反饋單征求學生意見。學生提出了3個共性問題：如何比較兩個角的大小？怎么計算角的和、差？什么是角的平分線？我尊重學生提出的問題并把它們設置為教學的重點難點，站在學生的角度理解他們的思維層次、思維活動方式及學習的障礙點，設計了一個探究活動，就是借助三角板的特殊角拼畫特殊度數的角，并著重研究了15°、75°、165°角的拼畫。在拼畫過程中，學生掌握了如何比較兩個角的大小，理解了角的和、差的計算方法，清楚了什么是角平分線以及它的作用。

大部分學生都按部就班地模仿拼畫出了11個小于平角的特殊度數的角，我任意選出一個角（165°的角）研究它的形成，學生都是按圖2方式3次利用三角板特殊度數的角拼畫的。只有一位學生提出了她不同的看法，就是按照圖1的方式也可以拼畫出165°的角（∠AGE=165°）。當時學生還不能解釋其中的原因，只能用量角器度量，量出是165°。其實，其中運用到的正是下學期所要學的7.2.1三角形的內角、7.2.2三角形的外角的知識。雖然這位同學的拼畫方式不符合我們提出的要求（即用三角板的角拼畫），但我也非常欣賞這位學生精妙的思維，并在全班同學面前鼓勵、表揚了她。

在下學期學習三角形部分知識時，我刻意拿出了當時解釋不了的問題繼續研究。若將兩個三角板ACB（∠A=30°， ∠ABC=60°，∠ACB=90°）和三角板DFE（∠FDE=45°，∠E=45°，∠DFE=90°）按如圖1方式放置，則∠AGE的度數為（ ） 。

學生有的靜靜思考，有的組成研討小組。這道在原來認為很難的題最終被學生解決了，并且是全員性的參與解決，這大大提高了課堂的學習效率。學生自己解決了這個問題，他們開心極了，每個人都體會到了成功的喜悅。同時他們也感受到了老師尊重并重視了他們思維的快樂。

數學具有嚴密的邏輯性，前后知識聯系緊密，某一新知識點往往是前一部分知識的拓展延伸，同時又是以后要學習知識的基礎。因此，學生在學習的過程中必須打牢知識基礎，將整個知識體系融會貫通，這樣才能使自己的思維能力得到提升。

遵循認知規律，培養學生數學思維能力，搭建最近發展區

讓學生自己反思，從而靈活地運用知識解決數學問題，在獨立探索和合作探究的基礎上，讓學生用自己的語言試著闡述自己的探究過程并得出結論，使教師以及學生相互間了解他們真實的思維活動。鼓勵引導學生進行積極的交流和自我檢查、自我反省，逐步體驗成功。堅信學生通過自身的情感體驗和主動參與，必能不斷增強他們的自信。同時，研究信息、主動探究是學生發散思維的過程，為使學生主體的認知結構更趨向穩定和加強，使主體對知識的理解更加透徹和深刻，因此，在充分發散的基礎上，教師應診視學生思維過程中的每一個“成功點”所蘊涵的數學思想及解題策略，并盡可能及時地讓學生表達出來，及時地總結、歸納，使這些數學思想及解題策略及時納入到學生的數學認知結構中去。讓學生運用所理解的知識解決一些實際問題，使學生進一步鞏固對新知識的理解和掌握，同時和原有認知結構中的相關知識相互作用，把新知識納入或整合到已有的認知結構中，從而更利于知識的遷移和運用。

在期末復習階段，學生時常提出一些不會的習題以及這里蘊涵的知識點，可這些并不能引起所有學生的興趣。一次無意中我向學生提起“前幾天我市舉行了教師解題大賽，其中有一些是關于初一新教材的題”，有幾個學生很有興致地問：“老師，考你們老師的題一定很難吧？”我說：“不太難，挺常規的。”“老師，那都考些什么呀？”其實此時的學生并不是對考題感興趣，而是想看一看平時總考他們的老師是怎么被考住的。我憑印象說了一道題：如下圖，一長方體各邊長分別為9，6，3，現要將其分割成3塊大小完全相同的長方體，有多少種不同的分割方法？

說完題后又補充道：“不知道原題是不是這樣，我記得好像是。”第二天，我一進教室，學生問我的第一個問題就是“老師，你把原題帶來了嗎？答案是什么？”我拿出了原題，但沒有說出答案，心想：這個題不太容易想，不可能有人做對，刁難一下他們。學生有的靜靜思考著，有的組成研討小組。一個平時成績并不高的男生最終說出正確答案“有四種”，并且為大家講解。學生們自己解決了這個問題，他們開心極了。此時有些學生給我提出建議，其他題也給他們看看。我順水推舟給他們一些習題，道道有難度，甚至有的題已達到中考難度。可學生卻有初生牛犢不怕虎的精神，認真地鉆研著。我想這就是他們需要的，也恰恰是我應該給予的。數學課上，我沒有按部就班地講練習冊，而是應學生的要求與他們共同研究起這些習題，學生能講明白的題堅決不用我費唇舌，理解起來有困難的題就由我來點撥。這些我認為的難題最終被攻破了，可學生并不覺得特難，還說很有趣。此刻我真的體會到：逼學生學枯燥的、厭煩的知識，不難也難，事倍功半；遵循認知規律，激發學生興趣，培養學生數學思維能力，帶學生學有趣的、需要的知識，難也不難，事半功倍。

這樣，學生從熟知的問題入手，逐步接近問題的終點，每次跳出一小步，最后完成了一大步，不太吃力地體驗到了發現的快樂，增加了學習的興趣和自信心，發展了他們的思維能力。