基于遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下條件分位數(shù)的漸近性質(zhì)

陳靈昕， 凌能祥， 王 娟， 楊 艷

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

眾所周知，相比于條件均值，條件分位數(shù)不易受異常值影響，對其統(tǒng)計推斷是非參數(shù)統(tǒng)計的重要問題之一，受到很多學(xué)者的關(guān)注。在解釋變量X取值于半度量空間F，響應(yīng)變量Y取值于R，來自總體（X，Y）的樣本是相互獨立或者某種相依場合下，文獻［1］研究了在一些正則條件下，條件分位數(shù)估計的強相合性和漸近正態(tài)性；文獻［2］在研究條件經(jīng)驗過程中給出了條件分位數(shù)的漸近正態(tài)性及條件分布函數(shù)的置信區(qū)間；文獻［3］研究了基于雙核和局部連續(xù)核方法的2個條件分位數(shù)非參數(shù)估計的相合性和漸近性質(zhì)。

近年來，函數(shù)型數(shù)據(jù)分析已成為數(shù)理統(tǒng)計研究的主要領(lǐng)域之一。函數(shù)型數(shù)據(jù)被看作連續(xù)時間隨機過程的一條樣本軌道，其取值于一個無限維函數(shù)型空間，函數(shù)型數(shù)據(jù)的非參數(shù)估計的理論和方法的研究在近幾年也得到廣泛的發(fā)展，如文獻［4］利用核方法系統(tǒng)地研究了非參數(shù)回歸算子、累積分布函數(shù)等估計量的幾乎完全收斂速度，并在α－混合的相依場合下推廣了上述結(jié)果；文獻［5］研究了函數(shù)型非參數(shù)模型的穩(wěn)健估計，并在i.i.d.場合下給出了非參數(shù)回歸函數(shù)穩(wěn)健估計量的幾乎完全收斂。

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)下分位數(shù)的非參數(shù)估計也引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，文獻［6－7］分別研究樣本在i.i.d.和α－場合下，條件分位數(shù)核估計量的漸近正態(tài)性；文獻［8］采用了推廣的L1方法構(gòu)建樣本在i.i.d.場合下條件分位數(shù)非參數(shù)估計量的相合性以及漸近性質(zhì)；文獻［9］利用N－W雙核估計方法研究了樣本在相依場合下，條件分位數(shù)核估計的LP范數(shù)收斂及收斂速度。

遍歷性假設(shè)是在統(tǒng)計物理學(xué)、熱力學(xué)和信號處理中的基本假設(shè)。盡管α－混合正在最常見的混合條件中是最弱的，但它還不能包括所有的相依結(jié)構(gòu)，另一方面，要驗證一個非線性時間序列是否為α－混合也不是件容易的工作，而時間序列數(shù)據(jù)遍歷性驗證則比較方便，參見文獻［10］；并且遍歷性假設(shè)在實際中也有很重要的應(yīng)用，比如它是統(tǒng)計物理學(xué)中控制關(guān)于氣體、原子、電子、等離子等熱力學(xué)性質(zhì)的基本條件之一。

為了更好地闡述本文內(nèi)容，假設(shè)（Xi，Yi）1≤i≤N為一組平穩(wěn)遍歷函數(shù)型樣本，Yi為取值于實數(shù)空間R的隨機變量，Xi為取值于半度量空間（F，d（·，·））的隨機變量。給定x∈F時y的條件累積分布函數(shù)為：

條件累積分布函數(shù)F（·｜x）的α分位數(shù)為：

根據(jù)文獻［4］得到條件累積分布函數(shù)的N－W雙重核估計為：

則函數(shù)型條件分位數(shù)tα（x）的核估計為：

最近，文獻［11］考慮了在遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)條件下，利用經(jīng)典的N－W核估計方法研究非參數(shù)回歸算子估計量的漸近性質(zhì)，如漸近正態(tài)性、相合性；文獻［12］同樣在遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下利用N－W核估計方法研究非參數(shù)回歸算子估計量的強逐點收斂速度及一致收斂速度；文獻［13］在遍歷條件下利用穩(wěn)健M－估計方法研究非參數(shù)回歸算子估計量的幾乎完全收斂速度；文獻［14］在遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)下利用鞅的中心極限定理研究條件分位數(shù)核估計的漸近性質(zhì)。本文是在現(xiàn)有文獻基礎(chǔ)上，基于遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)，利用雙核估計方法研究條件分位數(shù)估計量的逐點收斂速度，推廣了現(xiàn)有文獻中的結(jié)果。

1 基本假設(shè)和主要結(jié)果

1.1 基本假設(shè)

其中

為了證明本文的主要結(jié)論，給出一些基本假設(shè)。

（3）給定δ－域Ai－1，Γi（y）、Ωi（y）的條件期望只取決于Xi，即E（Γi（y）｜Ai－1）＝E（Γi（y）｜Xi）a.s.，E（Ωi（y）｜Ai－1）＝E（Ωi（y）｜Xi）a.s.，且對?m≥2有：

則有：

其中，l＝1，…，l；C＞0；β1＞0；β2＞0；為嚴(yán)格單調(diào)遞增的分布累積函數(shù)。

（5）?u＞0，P（X∈B（x，u））＝φx（u）＞0。

假設(shè)（1）是研究非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)估計量的一般條件；假設(shè)（2）是遍歷型數(shù)據(jù)的特有條件，此條件參見文獻［12］，滿足條件隨機過程的例子同樣參見文獻［12］；假設(shè)（3）是本文證明過程中所需要的關(guān)鍵條件，此條件參照文獻［12，14］；假設(shè)（4）是研究分布函數(shù)的經(jīng)典條件；假設(shè)（5）是對小球概率的限制。

1.2 主要結(jié)論

定理1 若假設(shè)（1）～假設(shè)（5）成立，并且對?l＝1，…，j，當(dāng)n→∞，且對?p≥2的自然數(shù)有：

那么?x∈F時有：

定理2 假設(shè)函數(shù)（·）在tα（x）處j次連續(xù)可微，且滿足：

核函數(shù)H是j次連續(xù)可微，假設(shè)（1）～ 假設(shè)（5）成立，則有：

2 若干引理及定理的證明

為了證明定理1，先做分解，對?x∈F，有

則有：

引理1 假設(shè)（1）～假設(shè)（4）、（1）式成立，則對?x∈F有：

證明

其中

其中

故

由假設(shè)（4）得：

由文獻［12］中引理2，假設(shè)（2）中的② 、③ 可知E［Δ1（x）｜Hi－1］是有界量，則

由文獻［12］中引理3及分解（4）式得：

引理2 若假設(shè)（1）～假設(shè)（4）、（1）式成立，并且對?l＝1，…，j，?p≥2，則對?x∈F有：

由Jensen不等式得：

對?m≥1，由假設(shè)（3）得：

其中

對于上述m，由Holder不等式得：

由文獻［12］中引理2、假設(shè)（2）中的② 、③，且有核函數(shù)｜K｜≤a1，函數(shù)｜τ0｜≤c0，a1、c0、c1、c2為正實數(shù)，可以得到：

故

當(dāng)n足夠大時，有

根據(jù)文獻［12］中引理1，對?ε0＞0，有

其中，c3為正常數(shù)。當(dāng)ε0足夠大時，可以得到：

故引理得證。

引理3 若假設(shè)（1）～假設(shè)（4）、（1）式成立，對?x∈F有：

證明

根據(jù)引理2得：

由分解（2）式，引理得證。

引理4 若假設(shè)（1）～ 假設(shè)（5）成立，則有：

證明 易知（y）連續(xù)且嚴(yán)格遞增，因此（y）存在且連續(xù)。

則對?ε＞0，?δ（ε）＞0，對?y有：

令y＝（x）有：

對?ε＞0，?δ（ε）＞0有：

則引理得證。

綜合文獻［12］中引理1、引理3、本文引理3和（5）式即可證明定理1；綜合本文引理4、文獻［4］中內(nèi)容即可證明定理2。

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