n階非齊次線性微分方程通解結構的判定

段素芳

(青島理工大學琴島學院，山東青島266106)

目前關于求非齊次線性微分方程的通解，主要是求一、二階非齊次線性微分方程的通解(或特解)［1］，還有的求三階(常系數)非齊次線性微分方程的通解［2］，本文推廣以后得到n階非齊次線性微分方程通解的結構與一、二階方程通解的結構相同.

1 一階非齊次線性微分方程通解的結構

首先，利用分離變量再積分的方法得齊次方程(2)的通解為 y=ce-∫p(x)dx，c為任意常數.

其次，利用常數變易法得非齊次方程(1)的通解

而方程(2)的通解為Y(x)=ce-∫p(x)dx

故一階非齊次線性微分方程通解的結構為

2 二階非齊次線性微分方程通解的結構

關于二階非齊次線性微分方程的通解有如下定理

定理［3］設y*(x)是二階非齊次線性微分方程(3)的特解，Y(x)是對應齊次方程(4)的通解，則y=Y(x)+y*(x)是方程(3)的通解.

注:以上定理對二階常系數非齊次線性微分方程同樣成立.

3 定理及證明

由一、二階常系數非齊次線性微分方程通解的結構推廣到n階常系數非齊次線性微分方程，得如下結論

定理n階常系數非齊次線性微分方程為

設Y(x)是n階常系數齊次線性微分方程

的通解，y*(x)是方程(6)的特解，則n階常系數非齊次線性微分方程(5)的通解為

其中方程(6)的通解為Y(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn，y1，y2，…yn是方程(6)的n個線性無關的特解.

證明:設y* 是方程(5)的特解，y1，y2，…yn是對應齊次方程(6)的n個線性無關的特解，則齊次方程(6)的通解為Y(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn

又設方程(5)的任意一個解為y，則y-y* 是對應齊次方程(6)的一個解，

于是存在不全為零的n個數c1，c2，…，cn使得y-y* =c1y1+c2y2+…+cnyn

即y=y* +c1y1+c2y2+…+cnyn

上式即為n階常系數非齊次線性微分方程(5)的通解.

4 舉例說明

例1 求方程y?-4y″+4y′=(2x+1)e2x的通解.

解:對應齊次方程:y?-4y″+4y′=0

特征方程:r3-4r2+4r=0

特征根:r1=0，r2=r3=2

由題意知Pm(x)=x+2(m=1)λ=2

因為λ=2是特征方程的二重根，故可設原方程特解y* =x2(ax+b)e2x

例2求方程y?+2y″-2y′-4y=excosx的通解

解:特征方程:r3+2r2-2r-4=0

要求原方程一個特解，先求方程y?+2y″-2y′-4y=ex(cosx+isinx)=e(1+i)x的特解

令 Q=a，Q′=Q″=Q?=0，φ(λ)= λ3+2λ2-2λ-4

且φ(1+i)=4i-8

故原方程得通解為:y=Y(x)+y*

5 結語

一、二階非齊次線性微分方程通解的結構為對應齊次方程的通解加上非齊次方程自身的一個特解，以此類推得到n階非齊次線性微分方程通解的結構也與之相同，同時在例2的計算過程中公式使得傳統的待定系數法更加簡單.

［1］陳華喜.二階常系數線性非齊次微分方程特解的若干求法［J］.長沙大學學報，2010，(5):1－2.

［2］吳檀.三階常系數非齊次線性微分方程的通解［J］.北京科技大學學報，1994，(2):2－5.

［3］同濟大學數學系.高等數學(第6版)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］鄧云輝.線性常系數非齊次微分方程的特解公式［J］.數學的實踐與認識，2009，(5):2－3.