運(yùn)用同倫攝動(dòng)法結(jié)合參數(shù)展開(kāi)法求解強(qiáng)非線性問(wèn)題

閆曉芳，陳 頌

(永城職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，河南永城476600)

當(dāng)前，同倫理論已經(jīng)成為研究不含有小參數(shù)的強(qiáng)非線性系統(tǒng)解的一種有效的解析方法，何吉?dú)g結(jié)合同倫理論和攝動(dòng)法提出了同倫攝動(dòng)法(HPM).最近又發(fā)展了一系列新的攝動(dòng)理論，并得到了進(jìn)一步的發(fā)展，如人工參數(shù)法、參化攝動(dòng)方法、改進(jìn)的Lindsted－Poincare法的參數(shù)展開(kāi)法等.這些方法都不將方程中的參數(shù)作為攝動(dòng)參數(shù)，而是通過(guò)一定的方法(如人為地引進(jìn)一個(gè)攝動(dòng)參數(shù)，同倫技術(shù)，線性變換).而對(duì)于一些方程，傳統(tǒng)的攝動(dòng)理論已不再適用，因此本文主要將同倫攝動(dòng)法(HPM)和改進(jìn)的 Lindsted－Poincare 法［1，2］的參數(shù)展開(kāi)法有效結(jié)合，求解一些強(qiáng)非線性振動(dòng)問(wèn)題的近似解，所得結(jié)果與精確解比較，來(lái)驗(yàn)證方法的有效性.

1 同倫攝動(dòng)法結(jié)合參數(shù)展開(kāi)法概述

考慮如下一般方程［3］

式中β，ε為參數(shù)且有0≤ε＜∞對(duì)此類方程我們還可以有如下解法:

首先，構(gòu)造同倫如下:

其中p為小參數(shù).其次方程的解u及參數(shù)β分別可以展開(kāi)成p的冪級(jí)數(shù)，

將式(3)、(4)分別代入方程(2)，并比較等式兩端p的同次冪可得到兩個(gè)二階線性微分方程，從而易求出其解.

2 方法運(yùn)用

運(yùn)用同倫法結(jié)合參數(shù)展開(kāi)法求解如下方程

其中0＜ε＜∞.同倫攝動(dòng)法已經(jīng)解決不了上述方程，把方程(5)構(gòu)造同倫重新寫(xiě)成如下形式

其中p∈(0，1).當(dāng)p=0時(shí)，方程(6)變?yōu)橐痪€性方程，當(dāng)p=1時(shí)，方程(6)變?yōu)樵匠?1).

其次將方程的解u及參數(shù)0展開(kāi)如下:

將式(7)，(8)代入式(6)并比較等式兩端p的同次冪系數(shù)可得

解方程(9)我們可以得到

將其代入式(10)得到

消除長(zhǎng)期項(xiàng)可得

若方程只需要求到一階近似解，則由(8)式得

解出

從而他的近似周期可以寫(xiě)成

而此方程的精確周期用其他方法已求出［4］:

顯然他們有很高的近似度.

現(xiàn)在考慮另一非線性系統(tǒng)方程［5］

應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)，方程(17)可重新展開(kāi)成如下形式

對(duì)上式構(gòu)造同倫如下

將方程的解u及參數(shù)1展開(kāi)如下

將式(20)、(21)帶入方程(19)并等式兩端p的同次冪次數(shù)可得到兩個(gè)二階線性微分方程

解方程(22)可得u0=Acosωt，將其代入式(23)可得

應(yīng)用三角恒等式

將其代入式(24)并另含有cosωt項(xiàng)的系數(shù)為0可得

3 結(jié)論

本文主要將同倫攝動(dòng)法和改進(jìn)的Lindsted－Poincare法的參數(shù)展開(kāi)法有效結(jié)合來(lái)求解一些強(qiáng)非線性振動(dòng)問(wèn)題的近似解，所得兩個(gè)非線性系統(tǒng)的近似周期與精確周期比較，顯示了很好的近似度.

［1］He J.Modified Lindsted－Poincare methods for some strongly nonlinear oscillations，Part I:Expansion of a constant［J］.Int J Nonlinear Mechanics，2002，(2):315－320.

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