R ayl e i gh波作用下隧洞襯砌縱向內力的解析解

白少國，張運良

（大連理工大學建設工程學部水利工程學院，遼寧大連116024）

R ayl e i gh波作用下隧洞襯砌縱向內力的解析解

白少國，張運良

（大連理工大學建設工程學部水利工程學院，遼寧大連116024）

土-結構相互作用，R a y l e i g h波入射下隧洞襯砌截面的縱向內力解析解至今比較少見。本文采用擬靜力法，基于彈性半空間及彈性地基梁理論，推導出了R a y l e i g h波任意角度入射情況下均質介質中圓形隧洞襯砌橫截面的縱向內力的閉合解析解。算例表明，當R a y l e i g h波平行于隧洞軸向射入場地時，襯砌橫截面的彎矩、剪力和軸力都將取得最大值；按本文方法計算截面的縱向內力比當前已有方法要大，可使抗震設計偏于安全。

R a y l e i g h波；隧洞；內力；解析解

在距震源較遠的彈性半空間或沉積成層介質中，或在地形起伏如靠近山坡峽谷處的場地中，地震時常發育R a y l e i g h面波，其能量通常比體波顯著。由于R a y l e i g h波能量分布一般僅限于距離半空間自由表面兩倍其波長范圍的巖土層內，因此它對淺埋地下結構的地震反應具有重要影響。

目前，在豎向傳播的SV波以及P波分別作用下，St.J o hn和Z a hr a h（1987）［1］、H a s ha s h（2001，2005）［2］、Y e h（1974）［3］等人對地下結構的地震內力給出了擬靜力法閉合解析解。對于水平傳播的R a y l e i g h波作用下，N e w m a r k［4］（1968），K ue s e l［5］（1969），Y e h［3］（1974）、St.J o hn和Z a hr a h（1987）［1］曾給出了地下結構地震內力過于保守的解答，但沒有考慮應變或內力在時間和空間上的變化。K o ur e t z i s［6］（2011）基于彈性圓柱薄殼理論，考慮了R a y l e i g h波中的壓縮和剪切分量引起的應變在時間和空間上的疊加，給出了埋地管道或隧洞橫截面在R a y l e i g h波作用下的應變解析解，但其理論適用于柔性薄壁地下結構的情況，且沒有考慮土-結構的相互作用。

本文以淺埋隧洞襯砌為對象，在St.J o hn和Z a hr a h［1］（1987）、Wa ng［7］（1993）和K o ur e t z i s［6］（2011）理論的基礎上，采用擬靜力分析方法，考慮了土-結構間的相互作用及內力的時空變化，給出R a y l e i g h波作用下襯砌橫截面縱向內力的解析解，通過算例考察了內力及截面應力的最大值并與文獻結果進行了比較，得出了一些有益的結論。

1 R ayl e i gh波特性及分解

假定地震波為彈性簡諧平面波，當地震波長超過地下結構幾何特征尺寸的三倍時，其動力問題可按擬靜力法進行求解。

如圖1所示，設隧洞中心軸線方向為z軸，橫截面豎向為y軸，水平向為x軸。假定R a y l e i g h波沿著水平z＇軸傳播，與隧洞中心z軸夾角為φ。

圖1 R ayl e i gh波以與隧洞中心軸的夾角φ入射

根據波動理論［8］，R a y l e i g h波引起的近地表處介質粒子的位移可以分解成水平拉壓P波分量和豎向剪切SV波分量Uy。假定R a y l e i g h波為簡諧波，考慮到SV波分量比水平P分量滯后π/2角度，位移分量可寫成：

式中Amax，H和Amax，V分別表示近地表處的水平和豎向位移幅值，滿足如下關系［8］：

式中L為R a y l e i g h波波長，t為時間變量，CR為R a y l e i g h波的傳播速度，CSV、CP分別表示SV波和P波的傳播速度，Vm表示介質的泊松比。實際上，R a y l e i g h波位移幅值均隨深度y而減小。

基于視波概念，分量SV波和P波可沿隧洞中心軸z向及其橫向x進一步分解［6］。由圖1，分量SV波可作以下分解：

上式第一式表示一個沿著隧洞縱向z軸傳播的SV視波，其波長為L/c o s φ，傳播速度為CR/c o s φ，豎向振動振幅為Amax.V，記為SV-1；第二式表示一個沿著隧洞橫向x軸傳播的SV視波，其波長為L/s i n φ，傳播速度為CR/s i nφ，豎向振動振幅為Amax.V，記為SV-2。

類似，分量P波可分解成以下四種視波［6］：

■沿x軸傳播的視波P，記為SH-2

上述各分量視波中，只有沿z軸傳播的視波SV-1、視波SH-1和視波P-2才會引起如圖2所示的隧洞縱向變形和內力。下面僅對這三種視波進行分析。

圖2 隧洞縱向拉壓和彎曲變形

2 隧洞襯砌的縱向內力

在一個無限彈性介質中，先來看一個沿z軸正向傳播的平面波，其波函數可以寫成如下形式：u（z，t）=f（z-c t）（5）其中，t表示時間變量，c表示波的傳播速度。分別對t和z同時求一階和二階偏導數，如下：

2.1 視波S V-1的作用下襯砌的截面內力

當地下結構建在巖石中或者較硬的土層中時，隧洞的剛度小于或者近似等于圍巖介質的剛度，可以認為隧洞和自由場地土的變形相同，此時不需考慮土與結構間的相互作用；當地下結構的剛度大于周圍巖土介質的剛度時，地震作用下二者的變形就不再保持相同，此時需要考慮土與結構間的相互作用。

由于隧洞縱向長度比橫截面尺寸大得多，故可把隧洞襯砌視為彈性地基梁。根據結構力學，襯砌的豎向位移所要滿足的微分方程為：

式中，U＇y表示隧洞襯砌的實際豎向位移，P表示巖土介質與結構間的相互作用力，El和Il分別為襯砌的楊氏彈性模量和慣性矩。

假設土與結構間接觸面的作用力是通過一系列Wi nkl e r彈簧相連接，P可以寫成如下形式：

式中，KV表示襯砌周圍巖土介質的地基模量，表達式為［1］：

式中，Gm和νm分別代表圍巖介質的剪切模量和泊松比，D表示隧洞直徑，L為波長。

將式（9）代入方程（8），可得：

求解微分方程（11），可得：

其中，R1為橫向相互作用系數。

根據式（3）第一式及式（7），可得襯砌沿豎向彎曲的曲率：

式中，表示隧洞豎向彎曲半徑，表示峰值豎向加速度，等于。

由此，隧洞襯砌的縱向彎矩和剪力（圖3）分別為：

2.2 視波SH-1下襯砌的截面內力

視波SH-1的簡諧波動方程為式（4）第一式，表示視波沿隧洞縱向傳播，質點的振動方向垂直于傳播方向，并且是水平橫向振動。考慮到場地假設為均勻各向同性的彈性介質，土與結構間的相互作用力在水平向與豎直向相同，因此，可引入前述的相互作用系數R1計算隧洞的實際水平橫向位移：

圖3 視波S V-1引起的縱向內力示意圖

根據式（4）第一式及式（7），可得襯砌沿水平橫向彎曲的曲率：

式中，ρx表示隧洞沿水平橫向的彎曲半徑，amax，H為水平向峰值加速度，等于

則襯砌縱向（圖4）彎矩和剪力為：

2.3 視波P-2下襯砌的截面內力

視波P-2的簡諧波動方程為式（4）第三式，表示視波沿隧洞縱向傳播，質點的振動方向平行于傳播方向。

式中，U＇Z表示隧洞縱向的實際位移，Ka表示周圍巖土介質沿縱向的地基模量。考慮到圍巖介質的各

圖4 視波SH-1引起的襯砌縱向內力示意圖

向同性，有

求解微分方程（20），可得：

其中，R2為縱向相互作用系數。

根據式（4）第三式及式（7），可得襯砌沿縱向的應變：

式中，υmax，H表示介質水平向峰值速度，等于Amax，H

由廣義胡克定律，可得：

因為視波P-2為沿縱向傳播的平面P波，故εx=0，εy=0，代入上式，有

根據式（26）、式（24）及式（23），可求得隧洞橫截面的縱向軸力Q（圖5）為：

式中，A1是隧洞軸向橫截面面積。

圖5 隧洞縱向軸力的示意圖

2.4 截面內力的合成

前面已經分別求解了R a y l e i g h波的幾個視波分量（視波SV-1，視波SH-1和視波P-2）作用下隧洞襯砌橫截面的縱向內力，則R a y l e i g h波作用下隧洞襯砌橫截面的總彎矩為：

總剪力為

剪力的最大值應不超過襯砌橫截面的允許剪力，即

式中，是剪力安全系數（可取0.85），是混凝土屈服強度，襯砌橫截面有效剪切面積，約等于，如圖6所示。

軸力Q的表達式為式（27），其最大值Qmax不能超過隧洞與周圍巖土介質間最大摩擦力（Qmax）：

式中，f為隧洞與巖土介質的最大摩擦系數。

另外，R a y l e i g h波作用下隧洞襯砌橫截面任一

圖6 襯砌截面的有效剪切面積

點的正應力為：式中，r為隧洞襯砌橫截面上任一點到截面中心O的距離θ為r與水平x軸的夾角（沿逆時針方向為正），如圖7。式（32）右端前兩項表示由彎矩引起的正應力，后一項表示由軸力引起的正應力，并以拉為正，壓為負。

圖7 隧洞橫截面示意圖

綜上所述，在地震、地質條件以及襯砌材料和幾何尺寸已知時，R a y l e i g h波作用下襯砌的橫截面軸力、彎矩及剪力的解析表達式（27）、式（28）和

式（29）均為入射角度φ、截面位置θ和傳播時間t的函數，即在時間和空間上是變化的。因此，在設計計算中估算最大截面內力時，應注意這種時空差異性。

3 算例分析

算例為修建在某一具有深層沉積土山谷中的淺埋隧洞，假定埋深很淺。場地介質土的容重γm= 10.0kN/m3，楊氏彈性模量Em=3.132×105kP a，泊松比υm=0.45。隧洞的直徑D=6m，襯砌的彈性模量E1=24.8×106kP a，截面橫截面慣性矩I1= 21.87m4，泊松比υ1=0.2，厚度=0.3m，橫截面面積A1=5.37m2。R a y l e i g h波的傳播速度CR= 500m/s，傳播周期TR=2s，地表水平向設計加速度amax，H=0.2g。

在R a y l e i g h波為簡諧波的假定下，由式（2）可計算得場地土豎向和水平向振幅的比值Amax.V/ Amax.H=1.739，那么豎向和水平向速度峰值的比值Amax.V/Amax.H=1.739，地表水平向設計速度Vmax，H=

工程設計中一般關心襯砌內力的最大值。現利用Ma t l a b軟件對式（27）、式（28）和式（29）計算最大值。對這些內力表達式執行循環計算，其中φ和θ的步長取0.01（弧度），t的步長取TR/100s。隧洞橫截面縱向內力最大值以及相應的入射角φ和時刻t值，見表1。

表1 襯砌橫截面縱向內力的最大值及相應的入射角和時刻

由表1可知，當R a y l e i g h波平行于隧洞軸向射入場地時，襯砌橫截面的彎矩、剪力和軸力都將取得最大值；最大彎矩和最大剪力都是由R a y l e i g h波的SV波分量產生的，且不同時出現，而最大彎矩值和最大軸力值同時出現。此時，相互作用系數為R1近似等于1，說明在本例中土與結構間的相互作用對彎曲變形的影響很小。

為對本文方法進行驗證和比較，表2給出了分別按本文表達式（32）和按St.J o hn（1987）［1］所給表達式計算的襯砌截面正應力。

表2 襯砌橫截面上的最大正應力

由表2可知，本文方法與St.J o hn方法相比，計算的襯砌截面正應力比較接近，但本文方法所得結果要大，意味著若按本文公式考慮R a y l e i g h波作用效應，可使設計偏于安全。

4 結語

本文將隧洞襯砌視為彈性地基梁，引入縱向與橫向土-結構相互作用系數，采用擬靜力分析方法，考慮時間和空間性質的變化，給出了假定R a y l e i g h波為簡諧平面波作用下襯砌橫截面縱向內力的解析解，通過算例分析取得的結論為：

當初步進行地下結構抗震設計而需考慮R a yl e i g h波作用效應時，襯砌橫截面彎矩、剪力和軸力可分別按式（27）、式（28）和式（29）進行計算，截面正應力按式（32）進行計算。

當R a y l e i g h波平行于隧洞軸向射入場地時，襯砌橫截面的彎矩、剪力和軸力都將取得最大值；最大彎矩和最大剪力都是由R a y l e i g h波的SV波分量產生的，且不同時出現，而最大彎矩值和最大軸力值同時出現。

按本文方法計算截面的縱向內力比當前已有方法要大，如此進行抗震設計偏于安全。

當需要詳細考慮R a y l e i g h波作用效應時，應根據實際場地條件和場地安評結果采用數值方法進行抗震計算。

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T V 314

：A

：1672-2469（2015）06-0062-06

10.3969/j.i s s n.1672-2469.2015.09.021

國家自然科學青年基金（50809013）；中國水利水電科學研究院開放基金（I WH R O 2009019）。

白少國（1988年—），男，碩士研究生。