結構系統可靠度分析的SVC抽樣遷移算法

白 冰， 李 喬， 張清華

（西南交通大學土木工程學院，四川成都610031）

結構系統可靠度分析的SVC抽樣遷移算法

白 冰， 李 喬， 張清華

（西南交通大學土木工程學院，四川成都610031）

為有效避免結構系統可靠度計算過程中復雜的約界分析處理，針對系統可靠度問題多失效模式的固有特點，引入了系統極限狀態曲面的概念，并利用支持向量分類算法（support vector classification，SVC）對該失效曲面進行了直接重構.在此基礎上，結合LHS（Latin hypercube sampling）抽樣遷移策略，提出了計算結構系統可靠度的SVC抽樣遷移算法.通過對比分析兩個典型算例表明：本文算法具有較高的抽樣效率和收斂性能，與傳統Monte Carlo法相比，其抽樣工作量減少87%，計算結果相對誤差不超過1%，且可有效避免現有β約界算法中需要人為假定失效狀態的缺陷，更適用于實際結構可靠度問題的分析求解.

系統可靠度；系統極限狀態方程；支持向量分類機；遷移抽樣；失效模式

現代大型結構及大型橋梁等均為高次超靜定結構系統，其構件組成復雜，部分構件的失效并不一定導致結構整體的最終破壞.因此，采用傳統構件可靠度理論不能對結構整體安全性能進行有效評價.系統可靠性理論作為研究結構整體安全性能的理論方法，其評價結果更為全面合理，是揭示上述復雜結構系統全過程失效機理的重要途徑之一.其理論的發展和完善對于相關規范的制定更新、結構設計以及健全性評估等均具有重要意義.

不同于構件可靠度理論，系統可靠度理論的研究對象為多個構件、多種失效模式的結構整體失效.因此，傳統系統可靠性理論的研究主要包括以下內容：

（1）結構系統主要失效模式的搜尋和識別；

（2）由識別的主要失效模式計算系統的失效概率或其上下界［1］.

針對這兩部分內容的研究已取得了大量研究成果.文獻［2］基于失效樹思想提出了系統失效模式識別的廣義承力比最大準則；文獻［3］提出了β約界法和分枝-約界法，初步建立了系統主要失效模式搜尋的方法體系.在此基礎上，文獻［4］引入了新的全局約界準則，進一步完善并提出了全局β約界法和全局臨界強度分枝-約界法，顯著提高了失效模式的搜尋效率，推動了系統可靠性理論在實際工程中的應用.在系統失效概率分析方面，Ditlevsen基于布爾代數體系推導并考慮了失效模式之間的相關關系，最早提出了2階窄可靠度上下界理論［5］，初步解決了上述概率計算問題.但在很多情況下，其界限范圍仍會因過寬而失去實際意義.針對該問題，文獻［6］從模式極限狀態方程出發，發展了直接計算結構體系失效概率的微分等價遞歸算法.但計算表明，隨著遞歸的進行，其體系失效概率的計算誤差仍會逐漸增大.為克服這一缺陷，文獻［7-8］分別基于經驗公式修正方法，對上述算法進行了改進與修正，有效控制了遞歸誤差的累積，使計算精度得到顯著提高.

上述研究對于結構系統可靠性理論中的各關鍵問題均進行了深入探討，有效推動了其理論框架體系的不斷發展與完善.但是對于現代大型復雜結構系統，現有方法理論仍存在計算量過大和需要人為干預的問題［9］，難以實現系統可靠度問題的自動化求解運算.因此，其應用范圍具有極大的局限性.為解決該問題，在引入系統極限狀態曲面的基礎上，利用支持向量分類算法（support vector classification，SVC）的小樣本優秀分類性能，并結合LHS（Latin hypercube sampling）抽樣遷移策略，基于SVC方法構造了系統失效的極限狀態方程，實現了對于結構系統可靠度問題的直接求解.算例計算結果表明，該算法具有較高的計算效率和較強的穩定性，可為系統可靠度的進一步研究提供新的思路和方法，對于促進該理論的工程應用和發展具有積極意義.

1 基于SVC方法的系統極限狀態曲面重構

1.1 結構系統極限狀態曲面

系統可靠度問題本質上是多個功能函數（極限狀態方程）的結構可靠度問題.每一功能函數均代表結構的某種失效模式，典型多失效模式的系統可靠度問題如圖1所示.以圖1為例，其結構系統具有3種不同的失效模式，各模式的極限狀態方程分別為

式中：Z1＝0對應于極限狀態曲面ADA′；

Z2＝0對應于極限狀態曲面BD′B′；Z3＝0對應于極限狀態曲面CDD′C′.

圖1 多失效模式的系統可靠度問題Fig.1 System reliability problem with multi-failure modes

由于模式失效中并不存在閉合形式的失效域或可靠域，因此，其所對應的各極限狀態曲面均為開口曲面［10］.該特性導致各模式功能函數之間會出現交叉情況，共同組成聯合失效曲面ADD′B′將整個概率空間分隔為系統失效域和系統可靠域兩部分［4，11］.根據概率可靠度理論可知，該失效曲面即可定義為結構的系統極限狀態曲面.

與傳統構件可靠度理論相同，系統失效曲面上同樣存在有一個距離原點最近的設計驗算點（design point）.定義該點所對應的失效模式為結構的首要失效模式，它反映了結構在一階可靠度層面上出現的最重要的失效形態，相應的一階可靠度指標記為βs，form.利用該點并結合Monte Carlo抽樣方法，可以對整個結構系統可靠度指標進行更高精度的求解.

1.2 SVC重構極限狀態曲面原理

根據系統極限狀態曲面的概念，理論上可通過抽樣方法對該失效曲面進行直接重構.但與構件及模式可靠性問題不同，當結構處于系統失效狀態時，由于承載能力喪失，有限元計算將無法提供最終的后處理分析結果.因此，對于系統可靠性問題，此時僅存在兩類不同的布爾輸出：y＝1對應結構計算收斂，系統處于可靠狀態；y＝－1對應結構喪失承載能力，系統失效.由上述輸出特性可知，系統失效曲面的重構問題最終轉變為尋找兩類抽樣點之間的最優分隔面問題.而支持向量機（support vector machine，SVM）作為當前最好的監督學習方法之一，具有優秀的小樣本分類能力，可有效解決該問題.

支持向量機主要包括支持向量分類機（SVC）和支持向量回歸機（support vector regression，SVR）兩類算法［12］.對于具有輸出響應的可靠度問題，當前多采用SVR算法進行研究.文獻［13］利用該算法對于某類型渦輪增壓器的使用壽命Benard概率公式進行了擬合，取得了較好效果.但對于土木工程領域，由于系統失效時無法提供有效的后處理輸出，SVR算法對此并不適用，因此，采用SVC方法進行系統失效曲面的分析重構.

對于線性分類問題，給定結構訓練樣本集為（X1，y1），（X2，y2），…，（Xi，yi），…，（Xm，ym），Xi為結構的第i個抽樣樣本點，yi為表征系統失效與否的結果標簽.則可定義一個超平面函數為

式中：

w為系數向量；

b為常數.

對這兩類樣本點進行分類，使其滿足

但由于“離群樣本點”的存在，訓練樣本并不能總是保證式（3）嚴格成立.考慮到這一情況，引入松弛因子ξi≥0對其進行修正，則式（3）變為

將式（4）進一步變形，可得

則根據結構風險最小化理論，可靠點與失效點之間存在一最優分隔超平面，使所有抽樣點中距其最近的點具有最大的幾何間距，如圖2所示.

圖2 SVC分類示意Fig.2 Schematic of sample classification by SVC

對于線性可分情況（不存在離群點），最優超平面僅與w有關，且使其達到最小值.對于線性不可分情況，還需考慮離群點的影響.則求解最優超平面問題最終轉化為如下的二次規劃問題：

式中：C＞0為事先選定的懲罰因子，用于表征對于離群點的重視程度.

為求解上述最優化問題，構造Lagrange函數：

式中：

αi和γi為Lagrange乘子.

利用KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件將上述問題進一步轉化為其對偶問題，并利用SMO（sequential minimal optimisation）算法［14］最終可得最優分隔超平面的表達式為

對于非線性問題，此時樣本點處于線性不可分狀態，常規線性分隔平面無法有效處理這一情況.為此，可通過核函數（kernel function）K（Xi，X）將原始樣本點映射到高維特征空間中，使之成為線性可分問題，即將式（8）中內積〈Xi·X〉映射為〈φ（Xi）·φ（X）〉，則式（8）變為

常用的核函數有：

（1）多項式核函數：

（2）高斯徑向基（radial basis function，RBF）核函數：

（3）Sigmoid核函數：

高斯徑向基核函數具有優異的非線性逼近能力［15］，可有效解決復雜系統失效曲面的高精度模擬問題，因此采用高斯徑向基核函數對其進行重構求解.

但在優化求解過程中，懲罰因子C和核函數系數g仍需事先確定.其取值合適與否對失效曲面的最終構建結果具有重要影響.為避免陷入局部最優解和獲得更高的分類處理性能，此處采用網格優化算法對于參數C和g進行尋優，使重構的系統失效曲面具有最佳的全局分類效果.

2 基于SVC的抽樣遷移算法

對于設計較為保守的結構，其可靠度指標βsys值較大.常規抽樣方法由于僅考慮了抽樣點的分布情況，忽視了樣本集的整體位置，因此，抽樣點大部分將會落入可靠域內，造成失效樣本過少，訓練集發生“偏斜”，最終導致SVC模擬精度降低.

為解決這一問題，并保證樣本點的全概率覆蓋，采用LHS方法對于結構系統進行抽樣.在此基礎上，通過不斷遷移抽樣中心至計算出的設計驗算點，可使抽樣范圍整體向失效域偏移，從而大大增加了樣本點落入失效域的概率，提高了抽樣的效率和精度.與常規抽樣方法相比，本文提出的算法具有較好的收斂性，能夠有效避免局部優化問題，更適用于結構系統可靠度研究.該算法與常規抽樣方法的對比如圖3所示.

變量分布類型和抽樣范圍的選取，同樣是影響SVC重構系統極限狀態曲面的重要因素.對于各隨機變量，結構失效與否僅與其具體抽樣數值有關，與其分布類型并無關聯.根據這一特性，為進一步縮減抽樣方差，提高變量分布截尾區域的抽樣效率，采用均勻分布U（μ－nσ，μ＋nσ）對于各隨機變量進行抽樣，其中，μ為變量原始分布的均值，σ為標準差.將其映射到標準隨機空間中，抽樣范圍即為一以μ為中心、以2nσ為邊長的矩形框.

隨著抽樣中心不斷遷移，矩形框也不斷地向失效域移動.對于具體抽樣范圍的選取，由于系統可靠度問題具有多個失效模式，其失效曲面較為復雜，為避免遺漏主要失效模式，對于最初幾次抽樣，應根據實際情況，選取一個較大的抽樣范圍.后續抽樣中，為提高抽樣效率，保證設計驗算點附近的擬合精度，矩形框可不斷縮小，直至遷移達到收斂.通過這種動態縮放的反饋抽樣，系統極限狀態曲面可有效地實現全局分類的最優重構，極大提高了結構系統可靠度的計算精度和結果的可信性.

圖3 常規抽樣方法與抽樣遷移算法對比Fig.3 Comparison of traditional Monte Carlo method and migration sampling method

2.2 算法步驟

在獲得系統極限狀態曲面顯式表達式的基礎上，分別利用FORM（first order reliability method）和Monte Carlo法對其進行求解，可最終得到結構的首要失效模式以及系統的最終可靠度指標βsys.

本文算法的主要步驟如下：

步驟1根據問題實際情況，對于所有隨機變量S選定初始抽樣范圍［μ－nσ，μ＋nσ］，并假定初始設計驗算點X0*為其均值點.

觀察組治療有效率為92.00%，對照組為68.00%。與對照組相比，觀察組的治療有效率更高，差異具有統計學意義（P＜0.05）。詳細見（表1）。

步驟2以設計驗算點為中心進行LHS抽樣，獲取樣本點Si.為保證失效曲面的重構精度，建議LHS抽樣間隔一般應小于0.1σ.

步驟3將本次抽樣的所有樣本點帶入有限元模型進行計算.若收斂，則表明結構處于可靠域，賦予其標簽y＝1；若發散，表明結構喪失承載能力，則系統處于失效狀態，賦予其標簽y＝－1.

步驟4利用Rackwitz-Fiessler步驟［16］對各隨機變量進行當量正態化（Si→Xi），然后，將變換后各樣本點（Xi，yi）與之前樣本集合并為（X，y）.以（X，y）為訓練集利用網格優化算法對于參數C和g進行尋優，構建SVC分類模型.

步驟5將SVC模型還原為系統的極限狀態方程，利用一階可靠度算法［17-18］計算結構新的設計驗算點X*i.

步驟6計算X*i和X*

i－1之間距離是否滿足規定的誤差要求.若滿足，則停止迭代遷移，然后利用線抽樣Monte Carlo法［19-21］計算結構的最終可靠度指標βsys；若不滿足，則重新選定抽樣范圍，重復步驟2～6，i＝i＋1，直至計算達到收斂.

3 算法驗證及算例分析

為驗證本文提出算法的有效性，分別對兩個典型標準算例進行系統可靠度計算.并將其計算結果與其他傳統算法進行分析對比，以檢驗其計算效率及精度.

3.1 算例1

圖4所示的雙層雙跨非對稱框架結構為延性結構，對應19個節點有19個可能的塑性鉸截面，各截面抗力及荷載的統計參數見表1和表2.

假定表1和表2中各隨機變量之間均統計獨立，且均服從正態分布［22］.計算圖4的系統可靠度指標.

由于隨機變量數目較多，采用傳統可靠度計算方法工作量較大.為提高計算效率，采用SVC抽樣遷移算法對結構系統進行計算.經過4次迭代遷移，系統首要失效點最終達到收斂，此時結構共進行了1 300次抽樣分析.其迭代遷移歷史如表3所示.

由表3可見，本文算法具有較好的收斂性.首次計算所得到的設計驗算點已接近最終精確解，表明該算法具有較高的計算效率.進一步分析可以發現，當結構處于極限狀態驗算點時，節點j2、j3、j5、j6、j8、j9、j14、j16和j18均已進入完全塑性狀態，節點j1大部分截面此時也已出現屈服，結構整體剛度降低，最終引發結構系統發生大位移破壞.對于該失效模式，荷載值如表4所示.

圖4 雙層非對稱框架結構體系（單位：m）Fig.4 Sketch of the two-story asymmetric rigid frame（unit：m）

表1 框架結構的抗力Tab.1 Resistance of the rigid frame structure

表2 荷載統計參數Tab.2 Statistical characteristics of loadsfor the rigid frame structure

表3 計算迭代遷移歷史Tab.3 History of migration calculation

表4 引起首要失效模式的各荷載數值Tab.4 Loads for the happening of the primary failure mode

由表4可以看出，在引起首要失效模式的各荷載值中，P1和P2占有相對重要的地位，二者的變異性能對于其首要失效模式的產生具有重要影響.在獲取βs，form的基礎上，即可利用線抽樣Monte Carlo法計算系統的最終可靠度指標βsys.經過1 000次抽樣分析，最終可得

βsys＝1.631，

與其他常規算法的結果對比見表5.對比結果表明，相對于其他傳統方法，本文算法具有更高的精度和計算效率，其準確性得到有效驗證.

表5 不同算法計算結果對比Tab.5 Result comparison of different methods

3.2 算例2

某框架結構的結構形式和荷載狀況如圖5所示［3-4］，結構參數見表6.

根據Thoft-Christensen假設：

（1）所有單元采用梁單元模擬，其失效形式為彎曲失效；

（2）節點j1、j2、j7、j8的抗彎彎矩完全相關，即

節點j3、j4、j5、j6的抗彎彎矩完全相關，即

其他節點的抗彎彎矩統計無關；

（3）荷載和節點抗力均服從正態分布，且二者之間統計無關；

（4）荷載和節點抗力的變異系數均為0.10.

荷載F1和F2的均值分別為55和45 kN，材料為理想彈塑性材料，其彈性模量均為210 GPa.

圖5 簡單框架結構（單位：m）Fig.5 Sketch of a simple rigid frame structure（unit：m）

表6 簡單框架結構相關參數Tab.6 Structural parameters of the simple rigid frame structure

首先采用全局β約界算法［4］對于上述結構系統進行分析.其約界準則為

式中：k為失效縱深層數.

經過4輪約界分析，最終可得結構至破壞時的系統主要失效樹，如圖6所示.圖6方框中上方數為失效節點，下方為可靠度指標.

圖6 系統至破壞時結構的主要失效樹Fig.6 Structural fault tree for system failure

由圖6可見，經過全局約界分析，系統最終保留了3個主要失效模式，其中可靠度指標最低的為模式j8→j7→j1→j2.利用微分等價遞歸算法，并結合相應的相關系數矩陣，最終可求得系統完全失效時的結構可靠度指標βsys＝4.19.

為與傳統約界方法進行對比，采用SVC抽樣遷移算法對于結構系統進行重新計算.經過650次抽樣分析，系統設計驗算點最終達到收斂，計算過程中抽樣中心共更新迭代了2次.結構所對應的系統一階可靠度指標βs，form＝4.065.

將上述設計驗算點帶入有限元進行分析，計算結果表明，由于大量塑性鉸的產生，此時結構系統處于極不穩定的狀態，稍有擾動計算即不收斂.βs，form對應的結構首要失效路徑為j8→j7→j1→j4，與之前的全局β約界算法結果不同.為區別二者之間差異，探明結構最終收斂點是否落入局部最優，采用本文算法對全局β約界法中的首要失效模式j8→j7→j1→j2重新進行計算.計算結果表明，該失效模式一階可靠度指標βj8－j7－j1－j2，form＝4.138，大于βs，form值，結構收斂點沒有陷入局部最優，其首要失效模式可確認為j8→j7→j1→j4.在此基礎上，利用線抽樣Monte Carlo法最終可求得結構系統可靠度指標βsys＝3.934，與之前的β約界算法（β＝4.19）相比，其值略小.

由上述計算結果可以看出，兩種算法在失效模式識別以及系統最終可靠度指標計算方面均存在不同.進一步分析兩種算法流程，可以發現其結果差異主要由以下兩種因素引起：

（1）結構計算方法不同.對于全局β約界算法，采用的計算方法為簡化的結構力學形式，結構失效狀態的轉移為釋放節點自由度，并將已進入塑性狀態的節點抗力轉化為外在彎矩施加在結構上.而SVC抽樣遷移算法采用的計算方法為現代有限元數值算法，可有效考慮結構的幾何非線性和材料非線性.系統的失效準則以結構出現大位移、單元整體剛度過低導致計算迭代不收斂為判別依據，更符合結構的實際力學行為特性.

（2）微分等價遞歸算法的誤差影響.對于全局β約界算法，由于該算法以構件可靠度理論為基礎，采用構件→模式→系統的計算路徑，因此在計算過程中，需要對結構構件以及失效模式進行大量的微分等價遞歸運算.由算法原理可知，直接利用該算法進行遞歸計算時，并聯體系失效概率將會偏大，串聯體系失效概率將會偏小［7］.因此隨著遞歸的不斷進行，其誤差將會逐漸累積，最終導致計算結果發生偏離，影響約界的準確判斷.而SVC抽樣遷移算法直接利用結構系統作為問題的研究對象，通過高精度的重構結構系統的最終極限狀態曲面，可直接獲取結構系統的整體失效概率，避免了采用上述算法對結構系統失效曲面進行逐步微分等價遞歸分析，因此，不受這一誤差的影響.

相對于其他傳統算法，SVC抽樣遷移算法具有更高的精度，且可有效避免現有算法的固有缺陷，具有良好的應用前景.

4 結束語

（1）對于系統可靠度問題，提出了一種聯合應用支持向量分類（SVC）和LHS遷移的計算方法.SVC可有效解決結構失效時系統無后處理輸出導致響應面擬合困難的問題，LHS遷移則為結構系統極限狀態方程的高精度重構奠定了重要基礎，二者聯合應用有效克服了既有系統可靠度分析方法計算繁瑣的缺點.

（2）相比其他傳統分析方法，本文算法具有較高的計算精度和收斂性能.算例分析表明：該算法計算結果與Monte Carlo法結果極為接近，且可有效避免既有微分等價遞歸算法在降階時誤差累積的缺點，更適用于實際結構系統的分析研究.

（3）SVC抽樣遷移算法以現代有限元數值算法為計算依據，可有效克服全局β約界算法對于構件失效狀態需事先假定的缺點，計算效率更高，適用范圍更廣泛，具有良好的應用前景.

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（中文編輯：秦萍玲 英文編輯：蘭俊思）

Support Vector Classification Algorithm by Migration Sampling for Structural System Reliability Evaluation

BAI Bing， LI Qiao， ZHANG Qinghua
（School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

In order to avoid the cumbersome bounding operation during system reliability evaluation procedures，a concept of system limit state surface was introduced on account of the characteristic of system multi-failure modes.Employing the support vector classification（SVC）algorithm to divide the security domain and failure domain，reconstitution of the system limit state surface could be achieved.On this basis，a migration sampling strategy using Latin hypercube sampling（LHS）was combined together with the SVC algorithm，finally leading to a new system reliability evaluation method of SVC migration sampling.Two widely used illustrative examples were introduced and analyzed by different methods for comparison.The results show that the SVC migration sampling algorithm possesses good sampling efficiency as well as superior convergence property.Compared with traditional Monte Carlo sampling methods，the algorithm presented can reduce sampling times by 87%with a relative error of less than 1%.The gross assumption of component failure state by β-unzipping method can also be avoided，which is more suitable for practical application to actual structure assessment.

system reliability；system limit state function；support vector classification（SVC）；migration sampling；failure modes

O213.2；TU311.1

：A

0258-2724（2014）06-0987-08

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.009

2014-03-17

國家自然科學基金資助項目（50908192，51178394）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（2682014CX078）

白冰（1989－），男，博士研究生，研究方向為大跨度斜拉橋結構施工全過程可靠度，E-mail：bbai89＠126.com

李喬（1954－），男，教授，博士，研究方向為橋梁結構空間行為及橋梁結構健全性評估，E-mail：ql-ql＠home.swjtu.edu.cn

白冰，李喬，張清華.結構系統可靠度分析的SVC抽樣遷移算法［J］.西南交通大學學報，2014，49（6）：987-994.