金星過境與和太陽系的大小

趙金榮

摘 要：金星過境是當金星與地球和太陽在一條直線上時，人們觀察到的天文現象。在過去的400多年里，每次的金星過境都會讓天文學家、探險家以及對天文知識感興趣的大眾感到興奮。本文利用這樣一個天文現象，說明平面三角學知識對天文學的發展所起的重要意義。

關鍵詞：金星過境；平面三角學；直角三角形；正弦函數

David Sellers曾經說過，幾乎所有的高中學生都知道太陽距地球96百萬英里（或者150百萬公里）。盡管這個數值與我們日常所用的尺度相比，會讓人感覺巨大的無法想象，也可能因為—這類龐大的天文數據很難理解，所以被大多數受過教育的人不加思考地接受。很少人會停一下想一想怎樣測量這樣的一個距離。。。很少人會意識到最早對這些距離進行測量的人為之付出了什么樣的努力。本文用這樣的一個事例來幫助學生體會在科學上、數學上前人在測量方面曾經做過的努力，讓大家體會知識不僅僅是智慧的結晶，也是汗水的濃縮。

金星過境是當金星與地球和太陽在一條直線上時，人們觀察到的天文現象。在過去的400多年里，每次的金星過境都會讓天文學家、探險家以及對天文知識感興趣的大眾感到興奮。從十七世紀到二十一世紀，金星過境分別發生在1631、1639、1761、1769、1874和2004年。2012年發生的進行過境是本世紀中最后一次，在美國西部能夠觀察到。根據埃德蒙德。哈雷 （1656-1742）在1716年提交給皇家科學協會的一篇論文中，可以發現，探險家們到全球各地邊遠的地方去觀察1761和1769年的金星過境。十八世紀，這些著名的探險家們和制圖師們中，查爾斯。曼森和詹姆斯。庫克上校在Tahiti觀察到了1869年的過境現象。當觀測數據進行處理時，太陽系的尺度也被確定為介于8。5和8。9角秒之間。現今的數據是8。794148角秒。

哈雷的方法用到了球面三角學的復雜工具。本文中，我們會看到一個金星過境觀察和一些基礎的平面三角學怎樣用于求太陽系的視差，以及地球到太陽的距離。這樣的課題可以讓學過平面三角學知識，并對此感興趣的學生單人或組成小組完成，小組進行會更有意思，更能讓學生體會學習數學知識，并將知識用于實踐的樂趣，感受團隊精神。

2000多年前，埃拉托色尼計算了地球的周長大約是250，000stade（古希臘羅馬的）賽跑場（長607英尺）。Stade的精確長度人們無法得知，估計大約是160米，由此給出地球周長大約是40，000公里。

練習2 設地球周長是40，000公里，證明地球的半徑大約是6400公里。（現代的數據是6371公里。）

練習3 在1761年和1769年的觀察數據被分析過后，太陽視差的最佳近似值是大約8。7角秒。設 是8。7角秒，使用公式（ⅰ）求地球到太陽的距離。（不要忘記把8。7角秒轉換成度數。）這個計算值與現代數據149，600，000公里比較結果如何？

金星過境是指地球、金星和太陽位于同一條直線上時發生的現象。原因是因為兩顆行星位于與太陽在內的同一個平面內，這樣的景象非常少見，因為金星的軌道平面相對于地球的軌道平面，形成了3。4度的傾斜度。見圖B。只有當三個天體沿如圖B和圖C所示的節線排成一條直線時才會發生金星過境現象。金星過境總是成對出現，大約相隔8年，每世紀大約一次。盡管地球和金星的軌道不是正圓，但在我們的討論中，假設的運行軌道是以太陽為圓心的同心圓；做了這個假設后，三個天體的俯瞰圖類似于圖C。

由于地球和太陽的半徑與二者中心之間的距離相比都非常小，在進行計算時，需要把用于計算地球軌道半徑的幾何信息簡化為圖F中的三角圖像，這里的點與圖D中各點的意思相同。這個簡化表示涉及到了地球和太陽的中心位置位于二者所在弦的中點處，而不是兩個天體作為個體的中心。在計算過程中，誤差的引入是不可避免地。

為了得到從幾何學轉到物理學的另一個等式。需要使用開普勒第三定律（首先發表于1616年，起初作為一個經驗結果，后來使用牛頓的運動定律和引力定律推導得到）。利用假設的圓形軌道，對于兩顆圍繞太陽運行的行星，根據開普勒第三定律，行星運行軌道半徑的比值的三次方等于軌道周期比值的平方。對于地球和金星，這里有

練習7 解方程組（ii）和（iii），比較得到的地球的軌道半徑與練習3中的結果是否一致。

到此為止，利用金星過境觀測數據確定地球和金星的軌道半徑的工作就完成了。

這部分內容可以使用一個歷史筆記總結。經過幾個世紀的觀測，太陽系內的六顆行星的軌道周期被叫做開普勒時間。遵循著等式（ii）的推導結果和開普勒第三定律，如果我們能發現太陽系內介于任意兩顆行星之間的距離的值，那么就能夠得到所有行星的軌道半徑。首先測量到的行星間的距離，從地球到火星（不是到金星）是在早于本文中討論的金星過境100多年進行的。基于1672年“火星視差”測量（以火星為頂點，以地球上相距相當遠的觀察位置為射線組成的角）是由巴黎的Cassini和Rocher在現在法國的Guiana進行的，Cassini確定了地球到太陽的距離是140，000，000公里。100多年后，探險家們對金星過境的觀察極大地改進了這個結果。

參考文獻

[1]Precalculus A Problem-Oriented Approach，Cohen，Lee，6ed，Thomson Learning，Inc。， 2005。