基于平均駐留時間方法的牛鞭效應穩定化控制

仇 翔，宋海裕，俞 立

（1.浙江工業大學信息工程學院，浙江杭州310023；2.浙江財經大學信息學院，浙江杭州310018）

基于平均駐留時間方法的牛鞭效應穩定化控制

仇 翔1，宋海裕2，俞 立1

（1.浙江工業大學信息工程學院，浙江杭州310023；2.浙江財經大學信息學院，浙江杭州310018）

研究供應鏈庫存系統中的牛鞭效應抑制問題.針對實際生產中訂單波動補償決策信息的可獲得和不可獲得2種情況，把對供應鏈庫存系統中牛鞭效應的抑制轉化為一類含有2個子系統的切換系統穩定化控制問題.采用平均駐留時間方法，給出一個充分條件，使所得的供應鏈庫存波動切換系統指數穩定.通過求解一組線性矩陣不等式，給出訂單補償控制增益和庫存波動信息權重矩陣的設計方法.通過仿真算例驗證了所得的訂單補償控制策略能夠有效地抑制供應鏈庫存網絡系統中的牛鞭效應.

牛鞭效應；穩定化控制；切換系統；平均駐留時間

在全球經濟一體化背景下，單個企業的發展與其所在供應鏈中上、下游成員的發展緊密聯系在一起，這迫使企業從整個供應鏈的角度來關注競爭力的提高.Bendiner[1]指出，有效的供應鏈管理方法使得企業的成本、交貨率和生產周期等指標得到改善.牛鞭效應是供應鏈運作過程中的需求波動增大現象，它造成了供應鏈效率的低下，是供應鏈管理中的重點與難點.造成牛鞭效應的主要成因在于不能有效地獲知需求波動信息.Croson等[2]從庫存信息共享的角度對牛鞭效應進行分析研究.Dejonckheere 等[3]指出，在不同的庫存補充策略下信息共享的效果不同，但都能夠有效地降低多階供應鏈中上游節點的訂單波動.汪傳旭等[4]指出在不同的需求自回歸系數作用下，需求信息延遲會造成完全不同的牛鞭效應效果.隨著不同學科交叉研究的深入，系統控制理論開始被應用到了牛鞭效應的抑制中[5-6].唐亮等[7]研究供應鏈系統運作中存在不確定擾動時的牛鞭效應抑制問題，設計了H∞魯棒控制策略來減小客戶不確定需求引起的生產、訂貨和庫存波動.針對信息共享受限的情況，李翀等[8-9]運用系統穩定性理論和線性矩陣不等式方法給出庫存控制策略的設計方法.針對供應鏈系統中存在不確定性和時滯的情形，提出魯棒庫存控制方法來抑制供應鏈中的牛鞭效應[10].Garcia等[11]提出一種切換控制方法來對供應鏈中的庫存進行管理.Fu等[12]采用分散式和集中式模型預測控制方法來減小供應鏈系統中的牛鞭效應.

在供應鏈系統的實際運作中，由于庫存狀態信息的未及時更新、決策過程和企業之間信息交互的不及時性，訂單波動補償決策信息不一定在每個生產周期內都可獲得.決策信息的不可獲得，意味著牛鞭效應將不受控制.當供應鏈庫存系統中存在決策信息不可獲得的情形時，設計一個訂單補償控制策略，使牛鞭效應仍能得到抑制顯得極為關鍵.顯然地，當決策信息一直都不可獲得時，牛鞭效應必定無法被抑制；因此，確定牛鞭效應可以得到控制時決策信息應滿足的可獲得率條件成為另一個重要問題.

在上述針對牛鞭效應的文獻中，盡管給了諸多定性或定量分析，但是均忽略了決策信息的可獲得率在控制策略設計中的影響.本文將訂單波動補償信息可獲得和不可獲得兩類情況分別建模成一個切換系統中的兩個子系統，從而使牛鞭效應的抑制問題轉化為所得庫存波動切換系統的穩定性問題.針對存在不穩定子系統的切換系統控制問題，Hespanha等[13]提出平均駐留時間概念，指出只要系統駐留在每一個子系統上的平均時間足夠大，則切換系統指數穩定.近年來，平均駐留時間方法在一些網絡化控制和估計問題中得到了諸多應用[14-16].本文通過引入平均駐留時間的概念，把訂單補償決策信息的可獲得率轉化為切換系統中子系統的平均駐留時間.通過對所得的庫存波動切換系統進行穩定性分析，給出一個訂單補償控制策略的設計方法.

1 問題描述與建模

在供應鏈庫存管理系統中，多個企業同時扮演著上游供應商和下游訂貨商的角色.供與求的動態變化直接影響著整個供應鏈系統的穩定運行.當消費需求波動超過整個供應鏈系統能夠穩定運行的波動范圍時，將會造成庫存的波動，從而引發牛鞭效應.考慮一個由n個企業構成的供應鏈庫存系統，每個企業分別以1，2，…，n進行編號.針對企業i，記Si和Ti分別為上游供應商和下游訂貨商的集合.在第k個生產周期中，設dli（k）為企業i發送給上游供應商l的原料訂單，sli（k）為企業i從供應商l處實際收到的貨物量；dij（k）為企業i從下游訂貨商j處收到的原料訂單，sij（k）為企業i實際發給企業j的貨物量.令hi（k）為企業i在第k個生產周期中由于庫存短缺而未及時處理的訂單量，則企業i累積的訂單量有如下關系：

設xi（k）為企業i在第k個生產周期中的真實庫存水平，則庫存與收貨量和發貨量之間有如下關系：

由于庫存和訂單總量的限制，企業i的發貨量滿足：

當庫存量充足時，企業i的庫存有如下動態平衡：

式中：aij為給定的預測比例系數.記企業因為市場需求變化而在本企業處進行的訂單調整量總和為ui（k），則由式（5）、（6）可得

記

由式（4）可知，訂單量和收貨量的波動直接影響企業庫存的變化.設（k）為第k個生產周期中市場需求穩定時企業i的標準庫存量（k）為實際庫存與標準庫存的偏差，則有

則式（7）可以改寫成如下矩陣形式：

式中：A為預測比例系數矩陣，A=[aij]n×n.

從式（8）可以看出，整個供應鏈系統的庫存波動除了受到上一生產周期庫存波動的影響外，還受到上一生產周期中企業訂單量變化的影響.可以通過調節各企業的訂單量來抑制甚至消除牛鞭效應，即可以基于企業的庫存波動信息設計合理的u（k），使得動態系統（8）趨于穩定.

結合實際情況，庫存信息的獲得可以由如下的輸出方程描述：

式中：C為已知輸出矩陣.特別地，當C為單位陣時，表示可以獲得所有企業的庫存信息.基于這些獲得的庫存信息，可以采用如下的訂單補償控制量：

式中：K為訂單波動控制增益，即基于庫存變化信息制定的訂單調整決策系數（k）為在第k個生產周期內對供應鏈系統中企業庫存波動水平的估計值，可由如下估計模型獲得：

式中：L為庫存波動信息權重矩陣.

在實際市場運作中，由于庫存狀態信息的未及時更新、決策過程和企業之間信息交互的不及時性，u（k）不一定在每個生產周期內都可獲得.當第k生產周期中的訂單補償量不可獲得時，則可以用前一生產周期內的控制量來進行補償，即

定義供應鏈庫存波動水平的估計誤差：

并記

則有

1）當訂單補償決策量可獲知時，整個供應鏈庫存波動系統具有如下動態模型：

式中：

2）當訂單補償決策量不可獲知時，供應鏈庫存波動系統的動態模型為

式中：

根據訂單補償決策信息是否可獲得，可以將整個供應鏈庫存波動系統看成是一個由子系統（12）和子系統（13）構成的切換系統.為此，引入一切換信號σ（k）∈{1，2}，其中σ（k）=1表示訂單補償決策信息可獲得，即對應子系統（12）；σ（k）=2表示訂單補償決策信息不可獲得，對應子系統（13）.式（12）、（13）可以統一寫成如下切換系統模型：

存在決策信息不可獲得的供應鏈庫存波動系統可以描述為形如式（14）的具有2個子系統的切換系統模型.對牛鞭效應的抑制問題等價轉化為通過設計合理的訂單補償控制增益K和庫存波動信息權重矩陣L，使得切換系統（14）穩定.為了使牛鞭效應能夠以較快的速率被抑制，引入如下指數穩定的定義.

定義1考慮切換系統（14），若存在正常數c 和λ，使得對于任意給定的初始條件，系統（14）的解滿足

子系統（13）是一個不穩定系統，換言之，當訂單補償決策信息不可獲知時，牛鞭效應會一直存在.特別地，若訂貨量是以擴大的形式被預測時（即矩陣A中的預測比例系數大于零），則牛鞭效應會愈演愈烈.當訂單補償決策信息可知時，則可以通過設計的K和L，使得子系統（12）穩定，從而抑制牛鞭效應直至消除.顯然，即使設計好了K和L，也無法保證整個供應鏈庫存系統可以穩定運行（特別地，若庫存波動狀態水平一直無法獲得，則牛鞭效應將越來越嚴重）.因此，研究的關鍵在于確定訂單補償決策信息在怎樣的可被獲知程度下可以使系統（14）穩定.引入如下平均駐留時間的定義.

定義2［17］對于任意的τ2＞τ1＞0，令Nσ（τ1，τ2）表示切換信號σ（t）在間隔[τ1，τ2）內的切換次數.若存在τa＞0和N0≥0，使得不等式Nσ（τ1，τ2）≤N0+（τ2-τ1）/τa成立，則稱τa為切換信號σ（t）的平均駐留時間，其中N0為抖動界.

不失一般性，本文取抖動界N0=0.從上面建立的模型可知，當訂單補償決策信息可獲得時，切換系統（14）中的子系統1激活；當訂單補償決策信息不可獲得時，子系統2激活.記每個生產周期的時間跨度為M，將k個生產周期的時間間隔[0，k M ）簡記為[0，k）.記[0，k）內子系統1和2被激活的次數分別為n1和n2，則有n1+n2=k.子系統1和2的被激活率分別為r1=n1/k和r2=n2/k.本文的目標可以歸結如下：設計K和L使得切換系統（14）指數穩定，同時確定訂單補償決策信息可被獲得和不可被獲得的最小平均駐留時間以及r1和r2應滿足的條件.

2 訂單補償控制策略設計

本文基于切換系統的平均駐留時間方法，對供應鏈庫存波動系統（14）進行穩定性分析，給出訂單補償控制器增益和庫存波動信息權重矩陣的設計方法.

定理1給定庫存波動系統（14）的子系統激活率r1和r2以及標量ε1、ε2和λ＞1，若存在對稱正定矩陣Pi（i=1，2），使得以下線性矩陣不等式組

成立，則庫存波動系統（14）指數穩定并具有指數衰減率λρ，其中，r1+r2=1，

選取Lyapunov函數：

則

式中：Ωi=由條件（15）和Schur補引理可知，Ωi＜0.對于任意的φ（k）≠0，有Wi（k+1）＜Wi（k），因此，Wi（k）＜Wi（k0）.

為系統（14）選取如下Lyapunov函數：

令k1，k2，…，kl為系統（14）在間隔[0，k）內的切換點，且0＜k1＜k2＜…＜kl＜k，l≥1.對于任意的子系統i∈{1，2}，有

由式（23）可得

利用條件（16），有

利用式（24）和（25），可得

由條件（17）可知，

結合式（26）和（27），有

由于

由條件（18）可知，ρ＞0.同時由λ＞1可知，λρ＞1，從而庫存波動系統（14）指數穩定并具有定義1中的指數衰減率λρ.證畢.

定理1給出庫存波動系統（14）具有指數穩定的訂單波動補償增益和庫存波動信息權重矩陣存在性充分條件.基于該充分條件，下面將提出訂單波動補償增益和庫存波動信息權重矩陣的設計方法.

定理2給定庫存波動系統（14）的子系統激活率r1和r2以及標量ε1、ε2和λ＞1，若存在矩陣K、L和正定對稱矩陣（i=1，2），使得以下不等式組

成立，則庫存波動系統（14）指數穩定.對應的訂單波動補償增益和庫存波動信息權重矩陣為K和L.同時，系統（14）的2個子系統滿足的平均駐留時間為

利用不等式Pi＞2I-，當

3 供應鏈管理系統案例仿真

某制衣有限公司為了拓展市場，在4個縣級市分設了4個加工批發分部.分部之間根據各自規模可從鄰近分部或總部進行貨物訂購，以補償分部自身生產不足.具體的訂購關系如圖1所示.圖中，a0j為總部對分部j的訂單預測比例系數，aij為分部i對分部j的訂單預測比例系數，因此，

總部和4個分部構成了一個典型的供應鏈庫存系統，有如式（14）的庫存波動方程.選取ε1=1.2和ε2=0.55，各分部對來自總部或其他分部的訂單波動補償決策信息的可獲得率和不可獲得率分別為r1=0.9和r2=0.1，則有=1.109 9.根據式（33）取符合條件的λ=1.1，并取μ=1.2，則可以求得應滿足的最小平均駐留時間為=lnμ/（2l nλ）=0.956 5.在50個生產周期內，訂單波動補償決策信息可獲得的次數為n1=50r1=45，不可獲得的次數為n2=50r2=5.因此，對應的切換系統最多切換10次，即最小平均駐留時間為5，滿足定理2中的平均駐留時間條件，同時系統的指數衰減率為

圖1 訂購關系圖Fig.1 Figure of order relation

和庫存波動信息權重矩陣

選取總部和4個分部對應的庫存波動系統（14）的初始信息為

圖2 訂單補償決策信息可獲得和不可獲得發生序列Fig.2 Occurrence sequence of available and unavailable decision information for order compensating

設各分部訂單補償決策信息的可獲得和不可獲得發生序列如圖2所示.圖中，k為生產周期.可以算得該切換序列中訂單波動決策信息可獲得率和不可獲得率分別為90％和10％.取庫存波動輸出矩陣C=diag[1，0，1，0，1]，即只量測總部，分部2和分部4的庫存波動狀況.利用MATLAB的LMI工具箱對式（31）和（32）進行求解，可得訂單波動補償控制增益庫存量的單位為百件.當訂單補償決策信息不可獲得時，對應的庫存波動水平軌跡如圖3所示.可以看出，由于訂單一直無法受到補償調整，隨著生產的進行，總部和各分部的牛鞭效應愈演愈烈.當訂單補償決策信息具有90％的獲得率時，對應的庫存波動水平軌跡如圖4所示.圖中，Tr為庫存.可以看出，根據定理2的設計方法得到的訂單波動補償控制策略很好地抑制了該制衣有限公司供應鏈系統中的牛鞭效應.對比圖3和4可以發現，盡管訂單補償決策信息不能一直被獲得，但是如果獲得率得到保證，則可以有效地抑制牛鞭效應.通過仿真結果的對比分析可以看出，當供應鏈庫存管理系統中決策信息無法一直獲得時，本文所給的訂單補償控制策略可以有效地抑制牛鞭效應.

圖3 訂單補償決策信息不可獲得時的庫存波動軌跡圖Fig.3 Trajectories of inventory when decision information for order compensating is unavailable

圖4 訂單補償決策信息獲得率為90％時的庫存波動軌跡圖Fig.4 Trajectories of inventory when available rate of decision information for order compensating is 90％

4 結 語

在供應鏈庫存管理系統中，由于庫存狀態的未及時更新、決策過程和企業之間信息交互的不及時性，使得訂單波動決策信息無法在每個生產周期內都能被獲得.通過對訂單補償控制信息的可獲得和不可獲得2種情況進行分別建模，本文將供應鏈庫存系統中的牛鞭效應抑制問題轉化為了一類含有2個子系統的切換系統穩定化控制問題.基于平均駐留時間方法，通過求解一組線性矩陣不等式給出訂單補償控制增益和庫存波動信息權重矩陣的設計方法.仿真結果表明：當訂單補償決策信息不可獲得時，企業的牛鞭效應會愈演愈烈；當訂單補償決策信息的可獲得率得到保證時，則可以通過所設計的訂單補償控制方法有效地抑制牛鞭效應.在供應鏈實際運作中，企業之間的交互信息會存在不確定性，同時庫存調度過程中會受到時間滯后的影響.因此，進一步的研究可以考慮具有信息交互不確定性和調度時延的供應鏈牛鞭效應抑制問題.

（

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Bullwhip effect control based on average dwell time method

QIU Xiang1，SONG Hai-yu2，YU Li1

（1.College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China；2.College of Information，Zhejiang University of Finance and Economics，Hangzhou 310018，China）

The bullwhip effect control problem was analyzed for the supply chain system.Considering the fact that the decision information for order compensating may be lost or not，the bullwhip effect control problem of the supply chain systems was converted to a stabilization problem of a class of switched systems with two subsystems.A sufficient condition was provided by using the average dwell time method in order to ensure that the supply chain inventory system is exponentially stable.The order compensation controller and the weighted matrix of the inventory fluctuation were designed by solving a set of linear matrix inequalities.An illustrative example was provided to demonstrate the effectiveness of the proposed order compensation control strategy in controlling the bullwhip effect for supply chain systems.

bullwhip effect；stability control；switched system；average dwell time

TP273

A

1008-973X（2015）10-1909-07

2014-11-03.浙江大學學報（工學版）網址：www.journals.zju.edu.cn/eng

國家自然科學基金資助項目（61273117）.

仇翔（1980—），男，講師，博士生，從事先進控制理論、供應鏈優化技術等的研究.ORCID：0000-0001-9925-856X.

E-mail：qiuxiang@zjut.edu.cn