自由曲面形狀和拓撲聯(lián)合優(yōu)化研究

馬 騰，趙興忠，2，高博青，吳 慧

（1.浙江大學空間結(jié)構(gòu)研究中心，浙江杭州310058；2.中國中元國際工程有限公司，北京100089；3.浙江財經(jīng)大學城鄉(xiāng)規(guī)劃與管理學院，浙江杭州310018）

自由曲面形狀和拓撲聯(lián)合優(yōu)化研究

馬 騰1，趙興忠1，2，高博青1，吳 慧3

（1.浙江大學空間結(jié)構(gòu)研究中心，浙江杭州310058；2.中國中元國際工程有限公司，北京100089；3.浙江財經(jīng)大學城鄉(xiāng)規(guī)劃與管理學院，浙江杭州310018）

為了得到形狀與拓撲這兩大因素共同影響下的自由曲面形狀和拓撲的最優(yōu)解，以結(jié)構(gòu)魯棒性為優(yōu)化目標，將自由曲面的形狀和拓撲同時作為優(yōu)化的變量，采用差分演化算法進行優(yōu)化求解，實現(xiàn)了全局最優(yōu)的曲面形狀和網(wǎng)格拓撲.算例表明，與形狀和拓撲優(yōu)二者分開優(yōu)化相比，優(yōu)化得到的該結(jié)構(gòu)魯棒性更高，結(jié)構(gòu)力學性能更優(yōu)，求得的曲面形狀和網(wǎng)格拓撲能夠有效地抵抗所對應的荷載，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的主要傳力路徑.

自由曲面結(jié)構(gòu)；形狀和拓撲；魯棒性；聯(lián)合優(yōu)化

對于自由曲面結(jié)構(gòu)，影響其力學性能的有2個主要因素，分別是曲面的形狀和拓撲.初始的建筑設計方案，在帶來視覺沖擊的同時，往往難以兼顧結(jié)構(gòu)的受力性能.為了達到建筑形態(tài)與力學性能的協(xié)調(diào)一致，眾多學者從優(yōu)化角度，探討曲面的合理形狀、桿件的合理拓撲.

在自由曲面結(jié)構(gòu)的合理形狀創(chuàng)建方面，崔昌禹等[1]通過桿件節(jié)點坐標的移動，逐步減少結(jié)構(gòu)應變能，獲得受力性能良好的自由曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)形式；武岳等[2]提出曲線變換型自由曲面的形態(tài)創(chuàng)建方法，通過母線沿準線平移、縮放、旋轉(zhuǎn)，創(chuàng)建復雜的網(wǎng)格形式，由于曲線的B樣條控制點相較曲面的離散點數(shù)量大幅降低，提高了優(yōu)化效率；Espath等[3]研究以NURBS的控制點坐標、權(quán)因子、節(jié)點矢量為優(yōu)化變量的曲面優(yōu)化方法；李娜等[4]根據(jù)仿生原理，進行仿扇貝形體的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)創(chuàng)建，并進行形態(tài)優(yōu)化.以上研究均以NURBS曲面形狀構(gòu)建作為理論基礎，已成為找形技術(shù)研究和工程應用領域的主流方法[5].

自由曲面結(jié)構(gòu)的合理拓撲布置是工程設計中的一大難點，一些工程實例的網(wǎng)格生成仍依賴人工操作和經(jīng)驗，如陽光谷工程的網(wǎng)格劃分[6].為了找到結(jié)構(gòu)的合理拓撲，Rasmussen等[7]通過定義節(jié)點與節(jié)點之間是否有桿件連接的方法，探討了析架拓撲優(yōu)化的離散型方法；連續(xù)體拓撲優(yōu)化[8]是尋找結(jié)構(gòu)的力學傳導路徑的優(yōu)化方法，經(jīng)典的方法如均勻化方法、進化結(jié)構(gòu)法、變密度法（SIMP）等，均適用于曲面結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設計；SIMP方法[9]是目前廣泛應用的連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法，它將一般變密度法的0-1離散問題松弛為[0，l]之間的連續(xù)優(yōu)化問題，降低了求解難度.

自由曲面結(jié)構(gòu)同時受到形狀與拓撲這2類變量的影響，而目前的研究多將兩者分開進行.尋找最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形態(tài)，應同時將形狀和拓撲變量作為優(yōu)化變量進行優(yōu)化，但目前研究者甚少.Wang等[10]運用差分調(diào)整NURBS曲面高度進行形狀優(yōu)化，然后在最優(yōu)形狀上運用OC法進行拓撲優(yōu)化，因此該方法是在最優(yōu)形狀基礎上的拓撲優(yōu)化，沒有考慮形狀和拓撲變量的藕合性.Ansola等[11]進行自由曲面形狀與拓撲綜合優(yōu)化研究探索，在迭代中，先進行一次微小的Coons曲面形狀優(yōu)化；然后在優(yōu)化形狀的基礎上，進行一步微小的拓撲優(yōu)化，每一次優(yōu)化均是在前一步優(yōu)化的基礎上進行，如此反復循環(huán)，雖然算法能夠收斂，但是否達到全局最優(yōu)有待檢驗.

本文采用H∞結(jié)構(gòu)魯棒性評價指標[12-13]，該指標能夠較好地反映曲面的形狀和拓撲合理性.以該指標為優(yōu)化目標，取NURBS控制點坐標作為形狀控制變量，取SIMP相對密度作為拓撲優(yōu)化變量，運用DE算法求解自由曲面的形狀和拓撲聯(lián)合優(yōu)化問題.算例表明，DE算法能夠適應不同變量同時存在下的優(yōu)化問題，采用聯(lián)合優(yōu)化設計的自由曲面網(wǎng)殼，相比依次進行形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化，力學性能更加優(yōu)越.

1 自由曲面形狀拓撲聯(lián)合優(yōu)化原理

1.1 NURBS曲面創(chuàng)建原理及SIMP連續(xù)體拓撲優(yōu)化

NURBS是目前自由曲面創(chuàng)建的主流方法，NURBS參數(shù)化的特點十分適用于曲面的創(chuàng)建與修改，曲面創(chuàng)建過程高效穩(wěn)定，具體可以參見文獻[14].

離散型拓撲優(yōu)化本質(zhì)是一種0-1離散變量的組合優(yōu)化問題，0代表材料無，1代表材料保留.直接求解0-1優(yōu)化模型有諸多不便，而采用SIMP模型的思想，將材料有無變化變?yōu)榫鶆蛐宰兓蔀檫B續(xù)優(yōu)化問題.

SIMP拓撲優(yōu)化[15]將單元的相對密度ρ作為設計變量，以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式顯式地表達單元相對密度與材料彈性模量之間的對應關(guān)系.引入懲罰因子對中間密度進行懲罰，使中間密度向0/1兩端聚集，連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型逼近0-1離散變量的優(yōu)化模型.對該模型進行有限元求解時，中間變量對應一個很小的彈性模量，對剛度矩陣的影響變得很小.SIMP采用的彈性模量與相對密度的插值關(guān)系如下：

式中：Ee為第e個單元的插值彈性模量，E0為實際材料的彈性模量；0＜ρe≤1為材料相對密度；p為懲罰參數(shù)，一般取p≥3，本文取3；n為單元數(shù)目.1.2 聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學模型

進行自由曲面形狀拓撲聯(lián)合優(yōu)化的數(shù)學模型如下.

優(yōu)化目標是使結(jié)構(gòu)魯棒性指標IR最小.設計變量ρ=[ρ1，ρ2，…ρn]為單元的材料相對密度向量，Z= [z1，z2，…，zm]為NURBS曲面控制點坐標向量，fr為允許保留的材料體積比，Ve和V0分別為第e個單元的體積和總體積限值.

式（2）的優(yōu)化目標IR為基于H∞魯棒控制理論建立的結(jié)構(gòu)魯棒性評價指標.將結(jié)構(gòu)視為一個輸入輸出系統(tǒng)，則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)即IR.IR可以衡量結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出信號與輸入信號是否相稱，反映結(jié)構(gòu)對各種干擾的敏感性，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的健壯程度，即魯棒性，關(guān)于H∞結(jié)構(gòu)魯棒性理論的詳細研究參考文獻[16]的研究.

式（2）的求解采用差分演化算法（differential evolution）[17].該方法是一種有效的全局最優(yōu)解的搜索算法.對于式（2）的不等式約束，本文采用引入懲罰函數(shù)逐步逼近方法.

對于自由曲面結(jié)構(gòu)，本文采用SIMP法得出以相對剛度為連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型，并按式（2）的優(yōu)化目標，采用DE算法搜索得到最優(yōu)解.

2 算例分析

2.1 聯(lián)合優(yōu)化與單獨形狀、拓撲優(yōu)化對比

通過對比聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)的單獨形狀、拓撲優(yōu)化結(jié)果，驗證聯(lián)合優(yōu)化的合理性.

本例的結(jié)構(gòu)模型為如圖1所示的一單位正方形平面，施加均布荷載q=11k N/m2，求解結(jié)構(gòu)上凸時的最優(yōu)形狀和拓撲.曲面控制點分布、網(wǎng)格數(shù)量20×20分別如圖2、3所示，fr=0.5.基于結(jié)構(gòu)對稱性，控制點取2、3、6、7、8、11、12、13共8個，其余控制坐標由對稱取得，在1/4結(jié)構(gòu)單元中引入SIMP變密度，剩余單元SIMP變密度由對稱取得.

圖1 單位正方形結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Unit square structure model

圖2 曲面控制點分布Fig.2 Distribution of curve control points

圖3 有限元網(wǎng)格劃分Fig.3 Meshing of finite element

本例共進行兩類結(jié)構(gòu)優(yōu)化：1）單獨形狀、拓撲優(yōu)化，即先對結(jié)構(gòu)進行單獨的形狀優(yōu)化，取所有的單元相對密度ρi=1，在此優(yōu)化基礎上進行單獨的拓撲優(yōu)化，如圖4所示為最終的優(yōu)化結(jié)果；2）本文提出的形狀和拓撲的聯(lián)合優(yōu)化，兩類變量同時進行優(yōu)化求解，約束條件同第一類.優(yōu)化結(jié)果如圖5所示.

優(yōu)化結(jié)果的形狀對比：以0.3 m等高線作為對比，采用單獨優(yōu)化的曲面中部突起范圍更廣、更加平坦；兩者最終矢高均達到0.5 m.

優(yōu)化結(jié)果的拓撲對比：兩者的最終拓撲構(gòu)型較接近，略有不同，但聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果較清晰；拓撲構(gòu)型顯示在均布荷載作用下，結(jié)構(gòu)主要通過對角線方向受力；支座部位顏色較深，表明此處對整個結(jié)構(gòu)的魯棒性影響較大，應重點加強.

聯(lián)合優(yōu)化與單獨優(yōu)化的數(shù)據(jù)，列于表1中.表中，IR為魯棒性指標，U為應變能，D為最大位移.

本文采用的優(yōu)化目標為結(jié)構(gòu)魯棒性指標，單獨優(yōu)化時先進行形狀優(yōu)化，然后在形狀優(yōu)化基礎上進行拓撲優(yōu)化，得到的魯棒性指標為5.33×10-3，而聯(lián)合優(yōu)化的魯棒性指標為4.26×10-3，明顯優(yōu)于前述方法，證明了聯(lián)合優(yōu)化對尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)的有效性.結(jié)構(gòu)應變能和最大位移均出現(xiàn)了下降，表明在結(jié)構(gòu)魯棒性提高的同時，結(jié)構(gòu)的剛度變大.

圖5 聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Results of combined optimization

表1 聯(lián)合優(yōu)化與單獨拓撲優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Results of combined optimization and topology optimization

先進行形狀優(yōu)化再進行拓撲優(yōu)化的方法得到的結(jié)構(gòu)，指標劣于聯(lián)合優(yōu)化的原因如下：在單獨進行拓撲優(yōu)化時，結(jié)構(gòu)形狀已經(jīng)確定，故在進行拓撲優(yōu)化時，形狀變量無法改變，不能實現(xiàn)形狀、拓撲變量的藕合影響，最優(yōu)拓撲受到先決形狀的限制.之所以形狀和拓撲變量要聯(lián)合優(yōu)化，是因為兩者對優(yōu)化指標的影響不是線性獨立的，而是非線性藕合的；在尋求最優(yōu)結(jié)構(gòu)時，應采用聯(lián)合優(yōu)化的方法，這樣才能求解出最優(yōu)的形狀和拓撲.

根據(jù)均布荷載作用下聯(lián)合優(yōu)化得到的構(gòu)型，可以設計如圖6所示的曲面（更準確地理解為結(jié)構(gòu)的最優(yōu)傳力路徑）.可以看出，結(jié)構(gòu)總是試圖以最短路徑傳遞荷載，即一個性狀良好的結(jié)構(gòu)，傳力方式總是簡單直接的，這與結(jié)構(gòu)設計的認知是一致的；同時，傳力路徑呈拱形，且傳遞路徑可以分為對角拱和邊界拱，將均布荷載收集傳遞至支座.

圖6 全跨荷載結(jié)構(gòu)主要傳力路徑Fig.6 Main force travelling path of structure under allcross load

2.2 曲面形狀和拓撲聯(lián)合優(yōu)化算例分析

2.2.1 半跨荷載作用下角點支承的自由曲面聯(lián)合優(yōu)化 為了比較荷載形式對優(yōu)化結(jié)果的影響，將圖1改為施加左半邊的均布半跨荷載，由于半跨荷載具有1/2對稱性，控制點取圖4中的2、3、6、7、8、11、12、13、16、17、18、22、23共13個形狀變量，在圖5下半部共10×20=200個單元中引入SIMP變密度模型，其余條件參考例2.1.DE參數(shù)如下：種群NP=500，優(yōu)化步Iter=400.

圖7 優(yōu)化拓撲透視圖Fig.7 Optimized topology perspective

最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形狀和材料布局如圖7、8所示.在半跨荷載施加的位置，結(jié)構(gòu)上凸，最高點達到0.461，而無荷載的半跨，結(jié)構(gòu)較低緩，這是對半跨荷載最有效的抵抗形狀；變密度值的分布集中于左半跨，除了支座部位，右半跨材料較稀疏，單元顏色較深的地方用粗線繪制，單元顏色較淺的地方用細線繪制.可以發(fā)現(xiàn)，從荷載中心附近一點發(fā)出，與支座相連的4條粗線和3條邊界線，是結(jié)構(gòu)的主要傳力路徑，是材料分布的集中區(qū)域.

圖8 半跨荷載結(jié)構(gòu)主要傳力路徑Fig.8 Main force travelling path of structure under semi-cross load

2.2.2 集中荷載作用下四邊中點支承的自由曲面聯(lián)合優(yōu)化 將平面中心位置作用5k N的集中荷載，正方形平面四周邊中點支承，由結(jié)構(gòu)1/4對稱性，取圖4中1、2、6、7、8、12、13共7個控制點作為形狀變量，1/4結(jié)構(gòu)單元的SIMP值作為拓撲變量，共有拓撲變量100個，其余條件參考例2.1.DE算法參數(shù)如下：NP=250，Iter=300.

優(yōu)化完成后，曲面形狀如圖9所示，該曲面的邊界保持不變，中心處形成突起，最高點達到0.37；曲面的拓撲構(gòu)型如圖10所示.可以發(fā)現(xiàn)，荷載傳力路徑呈十字型，材料分布集中于荷載作用處以及4個支座位置.

圖9 優(yōu)化后曲面形狀Fig.9 Surface after optimization

3 結(jié) 論

（1）聯(lián)合優(yōu)化與傳統(tǒng)單獨優(yōu)化的對比結(jié)果表明，形狀和拓撲共同影響自由曲面結(jié)構(gòu)的力學性能，兩者呈非線性藕合關(guān)系.優(yōu)化數(shù)值證明了聯(lián)合優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)是數(shù)學上的全局最優(yōu)解，而單獨優(yōu)化只是特定條件下的局部最優(yōu)解.

圖10 優(yōu)化后拓撲Fig.10 Topology after optimization

（2）本文的聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果為自由曲面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的找形和桿件布置提供了依據(jù).盡管拓撲構(gòu)型不能直接用于實際網(wǎng)格劃分，但為網(wǎng)格布置提供了理論依據(jù)與參考，可以指導自由曲面的網(wǎng)格劃分，明確桿件布置的方向，以滿足力流傳導的需要.

（3）本文所采用的H∞結(jié)構(gòu)魯棒性指標是描述結(jié)構(gòu)力學性能的綜合指標，反映結(jié)構(gòu)抵抗破壞的能力.本文的算例表明，在結(jié)構(gòu)魯棒性提高的同時，結(jié)構(gòu)的應變能下降，即結(jié)構(gòu)的剛度提高.

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Combined shape and topology optimization of free-form structure

MA Teng1，ZHAO Xing-zhong1，2，GAO Bo-qing1，WU Hui3

（1.Space Structures Research Center，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；2.China IPPR International Engineering Corporation，Beijing100089，China；3.College of Urban/Rural Planning and Management，Zhejiang University of Finance and Economics，Hangzhou 310018，China）

Shape and topology of free-form grid structures were simultaneously considered in order to reach the global optimum shapes and topologies.Optimum structural robustness was set to be the objective while parameters to define the structural shape and topology were taken as design variables.A differential evolution algorithm was used to solve the combined optimization problem.Global optimum shapes and topologies of free-form structures were obtained.The obtained results were compared with those achieved by optimizing solely shape or topology.Results showed that more robust structures with better mechanical properties were obtained，which implied the superiority of the method.The optimized structures were more efficient in carrying the load，and the resulted shape and topology clearly revealed the main force transferring paths.

free-form structure；shape and topology；robustness；combined optimization

TU 393

A

1008-973X（2015）10-1946-06

2014-08-22.浙江大學學報（工學版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn/eng

國家自然科學基金面上項目（51378457）；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20120101110023）；浙江省自然科學基金資助項目（Y15E08004）.

馬騰（1988—），男，碩士，從事大跨度空間結(jié)構(gòu)研究.E-mail：mt001mt@163.com

高博青，男，教授.E-mail：bqgao@zju.edu.cn