自由曲面混凝土結構力學特性

崔國勇，崔昌禹，2，涂桂剛

（1.哈爾濱工業大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱150090；2.哈爾濱工業大學結構工程災變與控制教育部重點實驗室，黑龍江哈爾濱150090）

自由曲面混凝土結構力學特性

崔國勇1，崔昌禹1，2，涂桂剛1

（1.哈爾濱工業大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱150090；2.哈爾濱工業大學結構工程災變與控制教育部重點實驗室，黑龍江哈爾濱150090）

為了研究自由曲面混凝土結構的力學性能，合理選取混凝土材料本構方程，利用有限元分析軟件ABAQUS，建立自由曲面混凝土結構的有限元分析模型，通過與相關試驗的對比驗證有限元模型的正確性.研究典型自由曲面結構的內力分布特性、荷載-位移曲線與破壞模式、初始缺陷.結果表明：薄膜第一主應力在負高斯曲率區受拉較大，正高斯曲率區受拉較小；薄膜第二主應力在正高斯曲率區受壓較大，負高斯曲率區受壓較小；上、下表面第一主應力分布模式類似；結構在正、負高斯曲率過渡區的彎曲內力與薄膜內力比值較大，其他位置很小；荷載-位移曲線沒有下降段，結構破壞模式為強度破壞；結構對初始缺陷的影響很小.對2個實際工程進行力學分析，驗證了所歸納力學特性的正確性.

殼體結構；形狀優化；ABAQUS；自由曲面

自由曲面與初等解析曲面（球面型、橢圓面型、圓柱面型、雙曲拋物面型等）不同，它任意性強、形式多樣，具有良好的建筑藝術效果.越來越多的建筑師關注自由曲面的靈活性，試圖利用自由曲面來表現建筑思想，實現建筑意圖.目前，自由曲面結構已成為新的空間結構形式，研究這種曲面結構具有何種普遍的力學性能、具有何種共同的特性，是十分必要的.

初等解析曲面結構是常用的空間結構形式之一，目前通過長期的實踐與系統的研究已基本總結了該類結構的力學性能與特性.祝恩淳等[1]編寫了混凝土薄殼的非線性程序，通過試驗研究圓柱殼的穩定問題，指出初始幾何缺陷對薄殼結構的臨界荷載及屈曲性質有顯著的影響.唐如意等[2-3]對鋼-混凝土組合肋殼進行非線性研究，指出初始缺陷在跨度的1/300范圍內，臨界荷載下降值為27％～36％.何廣乾等[4]推導了考慮非線性彈性穩定的橢圓拋物面殼臨界荷載，指出局部穩定的臨界荷載遠低于總體失穩時的上臨荷載，設計中局部失穩是需要考慮的控制因素，殼體缺陷將大大降低殼體的穩定性，缺陷模型的承載力為無缺陷模型承載力的51％～60％，可見常規殼體對缺陷的影響較敏感.

與傳統曲面不同，自由曲面結構起伏眾多，形狀多樣，力學性能明顯不同于常規曲面.崔昌禹等[5]提出能夠實現結構形狀與力學性能相互協調統一的高度調整法.崔昌禹等[6]針對自由曲面實際工程進行分析，研究初始缺陷對承載力的影響.Isozaki[7]利用“高度調整法”設計了多項自由曲面結構作品，在設計過程中探討了力學性能，但只局限于單個工程項目，沒有系統的研究.

本文以采用高度調整法優化后的典型正負高斯曲率自由曲面為研究對象，研究內力分布特性、荷載-位移曲線特征與破壞模式、初始缺陷的影響.結合實際工程，系統分析自由曲面結構的力學特性.

1 自由曲面模型數值模擬

1.1 本構方程

采用有限元分析軟件ABAQUS塑性損傷模型進行數值模擬.

采用材性受壓試驗的本構方程[8]：

式中：Ec為彈性模量，Ec=2.66×104MPa；fc為立方體抗壓強度，fc=39.0 MPa；ε0為峰值應力所對應的應變.

采用Reinhardt等在1985年提出的混凝土受拉應力應變公式[9]：

式中：ft為混凝土抗拉強度，ft=3.11 MPa；εtu為混凝土極限拉應變，εtu=0.001；c1、c2為回歸系數，本文取c1=9.0，c2=5.0.

1.2 增加收斂手段

混凝土的本構方程復雜，求解混凝土問題時會經常遇到收斂問題，特別是自由曲面形狀復雜，網格不容易劃分，很容易出現數值奇異現象.采用的收斂手段歸納如下.

1）膨脹角采用30°，黏性系數采用0.000 5，打開Discontinuous analysis.

2）由于混凝土模擬難度較大，可以犧牲一些計算精度來達到收斂的目的，采用江見鯨等[10]的建議對力和位移收斂差放寬到2％～3％.

3）輸出單元和積分點在塑性算法中迭代步信息，修改迭代不收斂處網格尺寸的大小，避免網格劃分太稀疏或太密集而不收斂的現象.

1.3 試驗結果對比

圖1 豎向荷載-位移曲線Fig.1 Vertical load-displacement curve

采用文獻[8]的自由曲面結構進行有限元分析，本構方程采用前文所述，采用文獻[8]材性試驗的泊松比ν=0.268.如圖1所示為試驗值和數值計算值的豎向荷載F-位移δ全過程曲線.可以看出：試驗值和數值模擬值的差別較小，彈性段基本重合.結構彈性剛度很大，荷載-位移全過程曲線沒有明顯下降段，與彈性段相比，結構塑性發展段較長.自由曲面殼實測值的最大荷載為780k N，而對理想自由曲面殼的理論計算結果為870k N，兩者相差僅11％.

2 自由曲面結構力學特性分析

盡管自由曲面結構的形式多樣，但可以分解為一系列正負高斯曲率曲面.本文選擇典型自由曲面Ⅰ、Ⅱ來研究自由曲面的力學特性.

如圖2、3所示為典型自由曲面Ⅰ、Ⅱ的側視圖，平面投影均為正方形，邊長均為50 m.周邊鉸接約束，殼體厚度設為0.2 m，材性參數選擇1.1節的本構方程.圖中，“+”表示正高斯曲率區，“-”表示負高斯曲率區，“+-”表示正負高斯曲率過渡區.

圖2 典型自由曲面ⅠFig.2 Typical freeform surface（type I）

圖3 典型自由曲面ⅡFig.3 Typical freeform surface（typeⅡ）

2.1 內力分布特性

圖4 模型I內力分布云圖Fig.4 Contours of internal force model I

2.1.1 薄膜應力分布特性 通過薄膜第一主應力和第二主應力來表達殼體結構內所產生的薄膜應力分布特性.如圖4（a）、5（a）所示分別為模型I、模型II的薄膜第一主應力與其平均值之比.從圖4（a）、5（a）可以看出，結構在負高斯曲率區受拉作用大，與其他位置相比，負高斯曲率區兩側邊受拉作用更明顯.正高斯曲率區次之，而正高斯曲率區兩側邊與其他位置相比受拉作用很小.正負高斯曲率過渡區的第一主應力很小，在模型II中此處受壓.如圖4（b）、5（b）所示分別為模型I、模型II的薄膜第二主應力與其平均值之比.模型I的薄膜第二主應力在正高斯曲率區受壓作用大，與其他位置相比，正高斯曲率區兩側邊受壓作用更明顯.在負高斯曲率區受壓作用較小，與其他位置相比，負高斯曲率區兩側邊受壓作用更小（見圖4（b））.模型II的薄膜第二主應力在高斯曲率過渡區受壓作用最大，正高斯曲率區域次之，負高斯曲率區域與負高斯曲率側邊最小（見圖5（b））.結構在正高斯曲率區可以看成拱的作用，大部分受壓；在負高斯曲率區可以看成懸索作用，大部分受拉.

圖5 模型II內力分布云圖Fig.5 Contours of internal force model II

2.1.2 上、下表面第一主應力分布特性 模型I結構的上、下表面第一主應力在負高斯曲率區都較大，正高斯曲率區域較小，見圖4（c）、（d）.下表面第一主應力除正負高斯曲率過渡區外比同位置上表面第一主應力大，高斯曲率過渡區下表面比上表面小，且上、下表面第一主應力分布和薄膜應力分布相近.模型II上、下表面的第一主應力分布模式幾乎相同，說明結構受彎作用很小，幾乎是純受拉壓結構，見圖5（c）、（d）.結構裂縫發生、發展過程與表面第一主應力的分布模式相關，根據上、下表面第一主應力分布特性可以推測裂縫發生過程.

2.1.3 彎曲內力與薄膜內力比分布特性 為了考察彎曲內力在總內力中所占的比重，定義彎曲內力與薄膜內力比：

式中：σi，j，t為殼體上表面單元應力，σi，j，m為殼體中心面單元應力.

當i=j=1時，β1，1越大，表示結構x向受彎作用越明顯，彎曲內力所占比重越大，結構抵抗荷載的效率越低；反之，則表示結構x向受彎作用越小，彎曲內力所占比重越小，結構抵抗荷載的效率越高.當i=j=2時，表示y向受彎作用；i=1、j=2表示受扭作用.

模型I結構在正、負高斯曲率過渡區彎曲內力與薄膜內力比最大，其他位置很小，見圖4（e）～（g）.模型II與模型I的規律相類似，見圖5（e）～（g）.正高斯曲率區主要受壓，負高斯曲率區主要受拉，因此高斯曲率過渡區為拉壓應力過渡區，結構受彎較明顯.

2.2 荷載-位移曲線與結構破壞模式

在實際工程設計過程中發現，自由曲面結構的破壞形式以強度破壞為主，且缺陷對承載力的影響很小.利用本文的2種典型正負高斯自由曲面進行分析.

圖6、7的均布荷載q-位移曲線沒有下降段，結構破壞模式為強度破壞.與彈性段相比，結構塑性發展段較長.結構破壞荷載相對于彈性段荷載相差不大，說明結構可以充分利用材料的強度.荷載位移曲線的特點和文獻[7]所得的試驗曲線特點相同，結構有很大的剛度，結構在使用荷載作用下，幾乎沒有變形，可以很好地滿足對結構變形和裂縫有很高要求的結構形式.

圖6 不同缺陷下自由曲面Ⅰ的荷載-位移曲線Fig.6 Load-displacement curves of freeform surface I under different imperfection conditions

圖7 不同缺陷下自由曲面Ⅱ的荷載-位移曲線Fig.7 Load-displacement curves of free-form surfaceⅡunder different imperfection conditions

2.3 初始缺陷的影響

高度調整法是通過調整節點坐標使結構應變能最小.當計算收斂時，節點坐標的微小改變對結構的應變能不產生影響，因此，自由曲面結構對缺陷不敏感.

如圖6、7所示分別為結構無缺陷和缺陷為0.1、0.25、0.5 m的荷載-位移全過程曲線，圖6、7和圖1的荷載-位移曲線規律是相同的，結構對缺陷的影響很小.當缺陷為0.5 m時，模型I和模型II的承載力分別比無缺陷承載力下降6.9％和9.4％.在正常設計和施工中可以不考慮缺陷的影響，這對結構的設計者和施工者來說是非常方便的.

3 工程實例分析

在實際工程中，自由曲面形狀更自由多變而且約束條件復雜，因此采用實際工程來驗證結構是否發生強度破壞和是否缺陷對結構影響較小.算例采用筆者提出的高度調整法設計和優化的工程實例來驗證所提觀點.3.1和3.2節算例的材性參數采用1.1節公式且結構承受均布荷載.不同缺陷情況下的荷載-位移全過程分析采用非線性本構方程，內力分布云圖分析采用線彈性本構方程.

3.1 北方生涯學習中心

如圖8所示為北方生涯學習中心（2002年竣工），平面尺寸為40 m×54 m，殼體厚度為15 cm.

在實際工程中，由于約束條件復雜，不是簡單的四周約束，因此分析結構應力時要同時考慮約束條件.如圖9（a）所示為薄膜第一主應力與其均值之比的分布云圖.薄膜第一主應力在結構負高斯曲率區和約束附近處較大，第二主應力與其平均值之比絕對值在負高斯曲率區和約束附近處較小.在約束A 和H之間較大（見圖8（a）），A和H之間為正高斯曲率區，而且兩端約束，形成近似拱作用.上、下表面的第一主應力分布模式類似，均與薄膜第一主應力相近，說明上、中、下表面第一主應力分布類似，從側面說明結構主要受面內應力，彎矩作用較小.彎矩與薄膜內力之比的β1，1、β2，2在約束處較大，β1，2在殼體正高斯曲率區較大.

如圖10所示為結構在無缺陷和缺陷為0.1、0.25、0.5 m時的荷載-位移曲線.當缺陷分別為0.1、0.25、0.5 m時，極限荷載分別是無缺陷荷載時的1.8％、2.6％、6.5％，對初始缺陷的影響很小.結構的最大彈性豎向位移約為6.2 cm.

圖8 北方生涯學習中心Fig.8 Kitagata community center

圖9 北方生涯學習中心內力分布云圖Fig.9 Contours of internal force of Kitagata community center

圖10 不同缺陷下的荷載-位移曲線Fig.10 Load-displacement curves under different imperfection conditions

3.2 日本Kakamigahara殯儀館

如圖11所示為日本Kakamigahara殯儀館（2006年竣工），平面尺寸為77 m×57 m，殼體厚度為15 cm.

如圖12（a）所示為薄膜第一主應力與其均值之比的分布云圖.薄膜第一主應力在負高斯曲率區較大，約束區E內為正高斯曲率區且四周鉸接，相當于四周鉸接的拱作用，第一主應力為負值，受壓.薄膜第二主應力在負高斯曲率區較小，上、下表面第一主應力規律接近，都與薄膜的第一主應力規律相同.由于存在多個點的鉸接約束，彎曲內力與薄膜內力之比的分布規律復雜，但大部分較小.

如圖13所示為結構在無缺陷和缺陷為0.1、0.25、0.5 m時的荷載-位移曲線.當缺陷分別為0.1、0.25、0.5 m時，極限荷載分別是無缺陷荷載時的1％、6.7％、11.8％.結構的最大彈性豎向位移約為2.3 cm.

圖11 Kakamigahara殯儀館Fig.11 Crematorium in Kakamigahara

4 結 論

（1）薄膜第一主應力在負高斯曲率區受拉大，正高斯曲率區小；薄膜第二主應力在正高斯曲率區大，負高斯曲率區小；上、下表面第一主應力的分布模型類似；結構在正、負高斯曲率過渡區彎曲內力與薄膜內力比最大，其他位置很小.

圖12 日本Kakamigahara殯儀館內力云圖Fig.12 Contours of internal force of crematorium in Kakamigahara

圖13 不同缺陷下的荷載-位移曲線Fig.13 Load-displacement curves under different imperfection conditions

（2）自由曲面結構的受力合理、剛度大且有明顯的塑形段，荷載-位移曲線沒有下降段，破壞模式以強度破壞為主.

（3）自由曲面殼體結構對缺陷很不敏感，在正常施工時，可以完全不考慮缺陷的影響，相比常規殼體更適合大跨空間結構.

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）：

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Mechanical property of free-form surface concrete structure

CUI Guo-yong1，CUI Chang-yu1，2，TU Gui-gang1

（1.School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin150090，China；2.Key Laboratory of Structures Dynamic Behavior and Control of China Ministry of Education，Harbin Institute of Technology，Harbin150090，China）

The finite element（FE）model of the free-form surface concrete structure was built using the FE analysis software ABAQUS by rationally selecting the constitute relationship of the concrete in order to study the mechanical properties.The correctness of the FE model was verified compared with the related experiments.Then the distribution characteristic of the internal force of the typical free-form surface structure，load-displacement curves，failure mode and initial imperfection were investigated.Results show that the first principle membrane stress was tensile stress with high value in negative Gauss curvature region while it was tensile stress with small value in positive Gauss curvature region.The second principle membrane stress was compressive stress with high value in positive Gauss curvature region while it was compressive stress with small value in negative Gauss curvature region.The first principle stress of both the top and bottom surface has similar distribution mode.The ratio between bending and membrane internal force is higher in the transition region between the positive and negative Gauss curvature region than the rest region.The loaddisplacement curve has no descent segment，meaning that the failure mode of the structure was strength failure.The initial imperfection has small influence on the structure.The mechanical analysis of two practical projects was performed to verify the correctness of the concluded mechanical properties.

shell structure；shape optimization；ABAQUS；freeform surface

TU 33；TU 311

A

1008-973X（2015）10-1960-07

2014-09-09.浙江大學學報（工學版）網址：www.journals.zju.edu.cn/eng

國家自然科學基金面上項目（50978075）.

崔國勇（1986—），男，博士生，從事自由曲面形狀優化與力學性能的研究.ORCID：0000-0002-4147-9949.

E-mail：guoyonghit@163.com

崔昌禹，男，教授，博導.ORCID：0000-0002-4245-7274.E-mail：cuichangyu1963@aliyun.com