熱膜式氣流量傳感器指數過渡分段擬合方法

彭 丹，楊 磊，楊家強

（浙江大學電氣工程學院，浙江杭州310027）

熱膜式氣流量傳感器指數過渡分段擬合方法

彭 丹，楊 磊，楊家強

（浙江大學電氣工程學院，浙江杭州310027）

為了提高應用于高速列車通氣管道監測列車運行狀態的熱膜式氣體流量傳感器輸出特性的曲線擬合精度，在多項式擬合和分段擬合的基礎上，提出指數過渡分段擬合方法.該方法對氣體流量和輸出電壓的關系進行分段擬合，人為選擇一個分界點，利用2組原始數據得到2條擬合曲線，2條擬合曲線相交得到一個交點，利用交點的前一個原始數據點和后一個原始數據點構成過渡區間，使用指數函數修正交點附近的過渡區間，解決了分段擬合不平滑的缺陷，實現了曲線間的光滑過渡.對提出的擬合方法進行實驗驗證，給出并比較了多項式擬合、分段擬合和指數過渡分段擬合的結果.結果表明，提出的指數過渡分段擬合方法具有很高的擬合精度，擬合誤差不大于1.5％，方法簡單、可靠.

氣體流量傳感器；曲線擬合；多項式；分段；自然相交；指數曲線過渡

熱式氣體流量傳感器是在早期熱線風速儀的基礎上發展來的一種直接式氣體質量流量測量儀器，具有壓損低、流量范圍大、精確度高、重復性好、無可動部件以及可用于極低速微小氣流測量等優點，已經廣泛應用到高速火車、航空航天、汽車工業、醫療設備、能源測量以及天然氣管道運輸等工業領域[1-2].氣體流量傳感器在實際應用之前須對它的輸出特性進行標定，得到輸出量電壓或者電流與氣體流量之間的關系.傳感器輸出特性的標定方法主要有如下2種.1）通過理論推導得到傳感器的輸出與氣體流量、溫度、壓強等變量之間的函數關系，再通過測定上述相關變量確定輸出特性，但是由于不同傳感器內部電路結構的不同，函數關系需要單獨推導；2）直接測量一系列不同氣體流量下傳感器的對應輸出數據，對測得的數據進行曲線擬合，因此測量數據的精度與擬合方法的選擇直接關系最終輸出特性的準確性[3].

國內外許多學者研究了指數擬合、多項式擬合等不同數據曲線擬合方法對標定傳感器輸出特性的影響.蔡春麗等[4]采用指數函數對測得的氣體體積流量與傳感器輸出電壓進行曲線擬合，擬合曲線光滑，曲線單調性和延展性與測量數據顯示的趨勢相符.該方法在大流量區間具有很小的擬合誤差，但是在微小流量區間的擬合結果不太理想，擬合誤差較大.趙偉國等[5]使用六次高階多項式進行曲線擬合，改善了文獻[4]中指數函數在小流量區間擬合誤差大的缺點，但是在大流量區間的擬合誤差較大，尤其是對原始流量測量數據范圍外的擬合結果不太理想.Vapnik等[6-9]針對擬合物理量之間關系的非線性性，將神經網絡、支持向量機學習器等基于數理統計的方法引入擬合過程，逐漸形成了一套比較完整的數據處理和擬合系統，使得擬合過程更具系統性、科學性.Vapnik等[6-9]指出這些智能方法的整個過程過于復雜化，會導致實驗系統的可靠性降低，不利于實際應用；這些方法數學模型的參數所代表的物理意義不夠明確，典型的例子如支持向量機方法中的感知器核函數參數β.

針對上述各種擬合方法的不足，本文基于熱式流量傳感器在不同氣體流速范圍內熱量傳遞因素之間的差異，提出指數過渡分段擬合方法.對各段流量區間內的流量和電壓數據進行單獨擬合，通過分段曲線相交得到精確的銜接點，采用指數函數修正了銜接點附近的過渡曲線，從而實現曲線之間的平滑連接.擬合結果表明，指數過渡分段擬合方法具有最高的擬合精度，在每段流量區間內的擬合誤差都不高于1.5％，方法簡單、可靠.

1 熱膜式氣體流量傳感器的基本原理

1.1 流量測量原理

熱式氣體流量傳感器是一種基于氣體熱傳遞原理的傳感器.當氣體流過加熱元件時，會導致元件表面溫度的變化，該變化量與氣體的流速和溫度有關[10-13].工作原理如圖1所示.熱傳遞主要有強迫對流傳熱、自然對流傳熱、導熱傳熱和輻射傳熱4種方式，熱式氣體流量傳感器氣流與加熱元件之間的熱傳遞以強迫對流傳熱為主.

圖1中，2個熱敏電阻RS和RH分別位于惠思頓電橋的兩臂，并置于氣流管道中，分別用于測量氣體的流速和溫度[1，13-14].

根據傳熱學原理可知，提供給加熱元件的電功率與氣流通過強迫對流換熱帶走的熱量相等，可得

式中：IH為加熱元件的電流，RH為加熱元件電阻，h為表面傳熱系數，AS為加熱元件表面積，TH為加熱元件的表面溫度，Tr為氣流的溫度.式（1）中h AS與氣體流量有關，可以表示為

式中：K1和K2為經驗常數，可以通過實驗測定；qm為氣流的質量流量.將式（2）代入式（1），可得

由式（3）可以得出，當Tr一定時，qm是IH和TH的函數.若保持其中一個變量固定，則可以得到qm與另一個變量的函數關系.若保持TH一定，則可以根據測量IH得到qm.這種測量方式稱為氣體流量傳感器的恒溫工作方式.

圖1 熱式流量傳感器的原理圖Fig.1 Schematic diagram of gas flow sensor

1.2 測量電路

氣體流量傳感器采用恒溫方式進行測量，測量電路如圖2所示.

圖2 氣體流量傳感器測量電路Fig.2 Measuring circuit of gas flow sensor

圖2中，溫度測量鉑電阻RH和流速測量鉑電阻RS集成在同一個熱膜探頭上，熱膜探頭的型號為FS5.該熱膜探頭與精密電阻R1、R2、R3、R4共同構成惠思頓電橋兩臂，通過自動校正法實現對氣流測量的溫度補償.在不同氣體流速下，測量電路輸出的對應電壓信號為U1，U1的輸出范圍為2.7～6.0 V.

2 指數曲線過渡分段擬合方法

在氣體流量的測量過程中，氣體流量與傳感器測量電阻之間的熱量傳遞以強迫對流傳熱為主，在處理時通常忽略自然對流傳熱、導熱傳熱和輻射傳熱的熱傳遞方式對氣體流量測量的影響.實際上，當氣體流速較小時，在這段流量范圍內測量電路輸出電壓受氣體流量變化的影響不很明顯，此時相對于強迫對流傳熱，自然對流傳熱、導熱傳熱及輻射傳熱不能忽略；當氣體流速較大時，由式（3）可知，此時輸出電壓受氣體流量的影響較大，其他傳熱方式可以忽略.在不同流量范圍內，氣體流量與電壓輸出數據之間的關系應當分段單獨擬合，從而減小最終擬合曲線與實際特性曲線之間的擬合誤差.

2.1 分段擬合方法的優點和存在的問題

分段曲線擬合具有較多的優點，尤其在測得數據的變化趨勢具有較大變化時，對原始數據進行合理分段擬合可以明顯地降低擬合誤差.分段擬合的主要優點如下.

1）分段擬合可以提高擬合精度.對數據點進行分段處理后，各段范圍內點與點之間的變化將顯得更平緩一致，有利于減小擬合誤差.

2）分段擬合可以簡化每段曲線的擬合方程.對數據點進行分段處理后，每一段的擬合曲線更加趨于線性化，能夠降低曲線擬合的最高次數.

3）分段擬合能夠避免在數據過渡區間的擬合結果出現明顯錯誤.當一組測量數據出現如圖3所示的變化趨勢時，曲線B段快速上升，若直接對整段區間進行曲線擬合，則將不可避免地造成擬合曲線在A、B之間的過渡區間出現低于A的部分.這是由于數據點的變化趨勢以及全段擬合函數不可突變2個因素所決定的，與擬合曲線函數的類型（多項式、指數等）選擇無關.該擬合結果與傳感器數據單調遞增的變化趨勢不相符，采用分段擬合可以有效地避免這一缺陷.

分段擬合雖然有著上述的優點，但是在分段過程中會出現一些明顯的問題，其中最主要的是各段擬合曲線在過渡點的銜接問題.

如圖4（a）、（b）所示分別為曲線分段擬合常見的過渡點銜接示意圖.其中點劃線表示在原始測量數據中人為選定的分界點，分界點兩邊的曲線由分段之后的數據分別擬合得到，qV-A表示前段曲線在分界點處的擬合值，qV-B表示后段曲線在分界點處的擬合值.

圖4（a）所示的擬合結果會造成在某段流量范圍內氣體流量值偏大的情況.圖4（b）所示的擬合結果會造成氣體流量值在某點發生突變的情況.

該分界點分段曲線擬合方法在對精度要求不高的場合中，若分界點處擬合誤差≤ε，即分界點處擬合誤差小于設定偏差ε，則一般認為擬合結果可以接受；否則，需要確定新的分界點，重新分段擬合.

圖3 數據分布變化趨勢示意圖Fig.3 Distribution of measured data

一般取ε為分界點處氣體流量與傳感器測量誤差的乘積，表達式為

圖4 分段擬合常見的銜接示意圖Fig.4 Two normal connection problems of piecewise fitting

式中：qV為分界點處的實測值，e為氣流傳感器所允許的誤差.鑒于工程應用上要求成品傳感器的測量誤差小于5％，在要求不高的場合，可以取ε= qV×5％.

分界點分段曲線擬合方法是一種誤差可控的曲線擬合方法，在一定程度上優于傳統的多項式擬合，但是在各段曲線銜接處往往存在斷點，擬合曲線不光滑，結果不能令人十分滿意，需要進行修正.

2.2 分段擬合數學模型

在分界點分段擬合中，分界點是人為地從原始測量數據點中選取的一個最接近曲線變化趨勢的轉折點，卻不一定是真正意義上的轉折點.嘗試采用一種自然相交分段擬合的方法，找到真正意義上的轉折點，并解決分界點分段擬合不平滑的缺陷，實現分界點分段擬合方法曲線的光滑過渡.

為了實現擬合曲線的自然相交，自然相交分段擬合方法的基本步驟可以分為如下2步.

2）在x∈[x0，∞）上聯立式（5）的2個表達式求解，得到交點（X，qV）.其中，x0表示氣體流量為0時測得的電壓值.這些數據點和擬合曲線的位置關系示意圖如圖5所示.

2.3 指數曲線過渡方法擬合表達式

在上述傳統的分段擬合方法基礎上，提出指數曲線過渡改進措施，使得整個分段擬合方法更加完善，擬合精度也有所提高.

由圖5可知，上述步驟雖然解決了分段擬合不連續的問題，但在分界點處銜接不夠平滑.為了克服該缺點，基于自然相交分段擬合的擬合結果對擬合方法進行改進.當x∈[x0，X＇]時，采用qV1=f1（x）計算氣流量；當x∈[x1，∞）時，采用qV2=f2（x）計算氣流量，其中x1指人為分界點后面的一個實測數據點的電壓.當x∈[X＇，x1）時，采用過渡曲線來改善銜接點處的連接.為了方便敘述，將曲線qV1= f1（x）在x=X＇處對應的數值點（X＇，f1（X＇））稱為A點，將曲線qV2=f2（x）在x=x1處對應的數值點（x1，f2（x1））稱為B點.

圖5 數據點和擬合曲線的位置關系示意圖Fig.5 Position relation between data points and fitting curves

自然系統狀態過渡多以指數形式進行，采用指數表達式來描述過渡曲線，則過渡曲線的表達式為

式中：λ為與x有關的系數，當x從x=X＇逐漸增加到x=x1時，λ從0逐漸增加到1.

記指數項y1=a×ebx，且它滿足以下2個條件.

1）在x=X＇處的擬合值與A點重合；

2）在x=X＇處的導數與式qV1=f1（x）在A點的導數相等，可得

記指數項y2=c×edx，且它滿足以下2個條件.

1）在x=x1處的擬合值與B點重合；

2）在x=x1處的導數與qV2=f2（x）在B點的導數相等，可得

y1、y2都僅僅是一項指數項表達式，也可以增加指數項項數，使y1和y2成為多個指數項相加的形式，即

通過令y1在x=X＇處，y2在x=x1處的高階導數與qV1=f1（x）在A點、qV2=f2（x）在B點的高階導數相等，得到式（9）各項系數a1，a2，…，ak，b1，b2，…，bk，c1，c2，…，ck，d1，d2，…，dk，即

式中：n的取值依次為0，1，2，…，2k-1.考慮到實際工程的需要，y1和y2均取一項指數項.整段曲線的擬合表達式為

3 實驗結果及分析

為了對提出的指數過渡分段擬合方法進行擬合精度的檢驗，設計了一種基于FS5探頭的熱膜式氣體流量傳感器，測量得到氣體流量與對應的輸出電壓的數據.對這些數據點分別進行多項式擬合、傳統分段擬合和指數曲線過渡分段擬合方法對比實驗研究，給出這3種擬合方法的擬合精度.

如圖6所示為本實驗所采用的標定裝置示意圖，主要由風源、閥門、標準流量計、待校流量計及數據處理系統構成.圖中，U為待測流量計5的DSP采樣電壓，由圖2的測量電路輸出電壓U1分壓得到.U和標準流量計4所測得的氣流量共同構成了原始擬合數據.

實驗過程如下：打開鼓風機1和截止閥2；旋轉調節閥3，調節管道的氣流量，使氣體以一定的流量流動；待標準流量計4所測氣流量、待校流量計5所采樣的電壓穩定后，記錄上述數據.

圖6 標定裝置框圖Fig.6 Diagram of calibration device

測得的一組實驗結果數據如下：

x=[0.705，0.801，0.898，0.997，1.089，1.188，1.274，1.336，1.396，1.454，1.506，1.560，1.614，1.629]，qV=[0，0.32，0.93，1.92，3.7，9.2，14.2，20.2，26.7，33.7，39.5，44.6，49.4，53.9].

其中，x為傳感器的輸出電壓.如圖7所示為上述實測數據的二維描點.

圖7 實測數據二維描點Fig.7 Measured data in rectangular coordinate

由圖7可得，實測數據點的走勢大致可以分為2部分，分界點x=1.089.前面部分為低流量段，包含前面5個數據點，即x=[0.705，0.801，0.898，0.997，1.089]；后面部分為高流量段，包括后面10個數據點，即x=[1.089，1.188，1.274，1.336，1.396，1.454，1.506，1.560，1.614，1.629].

3.1 多項式擬合曲線及分析

對以上數據點進行多項式擬合，得到二次、三次以及四次擬合曲線，如圖8～10所示.

由圖8～10的多項式擬合曲線可知，二次和三次多項式的擬合結果相對精確，當多項式次數達到四次時，擬合曲線在x∈（1.629，∞）區間的延展性和預測性變差.此外，二次多項式擬合在氣體流量很低時，出現了曲線遞減的情況，造成部分氣體流量擬合結果小于0的缺陷，如圖8的局部放大圖.這一問題在三次多項式擬合中也存在.

圖8 二次多項式擬合曲線Fig.8 Fitting curve of quadratic polynomial

圖9 三次多項式擬合曲線Fig.9 Fitting curve of cubic polynomial

圖10 四次多項式擬合曲線Fig.10 Fitting curve of quartic polynomial

3.2 分段擬合曲線及分析

對測量的數據不作任何處理，直接進行分界點分段曲線擬合，可有如下4種擬合方式.1）將“分界點”僅作為第一段擬合曲線的擬合點；2）將“分界點”同時作為兩段擬合曲線的擬合點；3）將“分界點”不作為任何擬合曲線的擬合點；4）將“分界點”僅作為第二段擬合曲線的擬合點.采用前3種分段擬合方式具有相似的擬合結果，可以用圖11表示.

由圖11可知，分界點分段曲線擬合的前3種擬合方式都存在在銜接點處不連續的問題，與圖4（a）的情況相同，擬合結果不夠理想.

如圖12所示為采用分界點分段擬合第4種擬合方式所得到的分段擬合結果.可見，擬合方式4）的結果相對精確，雖然銜接點處存在不連續的問題，但在銜接點處沒有明顯的偏差.

圖11 擬合方式1）～3）的分段擬合曲線Fig.11 Piecewise fitting curve of model1）-3）

圖12 擬合方式4）的分段擬合曲線Fig.12 Piecewise fitting curve of model 4）

經實際計算得到第一段曲線在“分界點”x=1.089處所對應的氣流量qV-A為3.125 6L/s，第二段曲線在“分界點”x=1.089處所對應的氣流量qV-B為3.1024L/s，兩者差為0.0232L/s.前者略大于后者，但考慮到氣流傳感器所允許的誤差ε=3.2×5％=0.185＞0.0232，可以認為在誤差的允許范圍之內.

3.3 指數過渡分段擬合曲線及分析

對測量的數據不作任何處理，采用上述的自然相交分段曲線法進行分段曲線擬合.對前部分數據點x=[0.705，0.801，0.898，0.997，1.089]、qV= [0，0.32，0.93，1.92，3.7]進行二次多項式擬合，可得

對后部分數據點x=[1.089，1.188，1.274，1.336，1.396，1.454，1.506，1.560，1.614，1.629]，qV=[3.7，9.2，14.2，20.2，26.7，33.7，39.5，44.6，49.4，53.9]進行二次多項式擬合，可得

聯立式（12）、（13），求得2條曲線的交點坐標為（1.103 64，3.916 87），即當x∈[0.705，1.103 64] 時，采用式（12）計算氣流量；當x∈（1.103 64，∞）時，采用式（13）計算氣流量，因此，最終的擬合曲線表達式為

如圖13所示為由式（14）所得的分段擬合曲線.由圖13可知，兩段擬合曲線在銜接處不夠平滑.利用提出的指數過渡曲線方法可以對銜接處進行修正，由式（8）、（9）求得指數項表達式如下：

圖13 無過渡曲線分段擬合曲線Fig.13 Piecewise fitting curve without transition curve

在式（11）表示的過渡曲線表達式中，λ為與x有關的系數，當x從x=X＇逐漸增加到x=x1時，λ 從0逐漸增加到1.

取λ的表達式為

將式（15）、（16）代入式（6），可得實測數據的過渡曲線表達式：

綜合式（14）、（16），可以得到整條實測數據的擬合曲線表達式為

如圖14所示為使用上述自然相交分段擬合方法，并經指數過渡曲線修正的擬合曲線.可以看出，在修正后的自然相交分段擬合結果中，各段曲線之間光滑銜接.

為了比較上述3種擬合方法的擬合結果，圖15給出對同一組實測數據采用不同方式的擬合結果.可知，在曲線變化趨勢及擬合精度等方面，指數過渡分段擬合優于傳統多項式擬合.

圖14 指數過渡曲線修正分段擬合曲線Fig.14 Piecewise fitting curve with exponentialcurve-transition

圖15 3種方法的擬合曲線比較Fig.15 Fitting curves of three fitting methods

如表1所示為采用上述3種擬合方式所對應的擬合值及擬合誤差.表1的結果顯示，除了序號為8 和14的2個數據點外，分段擬合法的另外12個點分段擬合曲線的誤差均小于傳統的二次多項式擬合曲線的誤差.計算3種擬合法的擬合方差，結果依次為：17.139 53、10.178178、9.862219.指數過渡分段擬合曲線的擬合精度最高，二次多項式曲線的擬合精度最低.

4 結 論

（1）多項式擬合在低流量范圍內會出現單調遞減的情況，造成擬合值對應的氣體流量小于0.若增加多項式階數，則會造成整條擬合曲線的延展性差，對原始數據范圍外的預測值可信度降低.

（2）分段擬合往往難以達到“完美銜接”，在銜接點處常會出現較大的偏差，但在工程應用中，只要2段曲線在銜接點處的差值小于設定偏差，就可以滿足精度要求.

（3）分段擬合具有較高的擬合精度，但會出現銜接點附近不光滑的情況，可以通過指數過渡曲線的修正來實現光滑處理.

表1 3種擬合方法的結果對比Tab.1 Comparison of results of three fitting methodp L·s-1

（4）本文提出的分段擬合方法可以看作是一種介于無數據分析與處理的初步擬合方法與神經網絡、支持向量機學習器方法這一類系統擬合方法之間的過渡方法，它結合了兩者的優點.

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Curve piecewise fitting method with exponential-curve-transition of hot-film gas flow sensors

PENG Dan，YANG Lei，YANG Jia-qiang

（College of Electrical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

A simple and new piecewise fitting method was proposed based on polynomial fitting and piecewise fitting methods in order to improve fitting accuracy of the output curve of a hot-film gas flow sensor which is applied to air duct of a high speed train to monitor the motion state of the high speed train.An exponential curve was used as the transition interval between the dividing parts.A dividing point was artificially chosen from the raw data，which means that the raw data was divided into two parts and two fitting curves were subsequently obtained.An intersection point was got with the two fitting curves.The transition area was formed between the two points of the raw data prior to and next to the intersection point.After the processing steps mentioned above，the transition area was corrected with an exponential curve so that a problem of unsmooth connection was solved.Fitting results of polynomial fitting，piecewise fitting based on dividing point and the proposed fitting were given and compared in order to verify the proposed curve fitting method.Results show that the proposed fitting method has the highest accuracy and its curve fitting errors are within1.5％for all intervals.

gas flow sensor；curve fitting；polynomial；subsection；natural-intersection；exponentialcurve-transition

TP212

A

1008-973X（2015）10-1990-09

2014-11-12.浙江大學學報（工學版）網址：www.journals.zju.edu.cn/eng

彭丹（1985—），男，碩士，從事飛輪儲能系統控制、智能傳感器的研究.ORCID：0000-0001-6502-1345.

E-mail：pengdan-85@163.com

楊家強，男，副教授.ORCID：0000-0002-3822-3301.E-mail：yjq1998@163.com