點擊高考中的線性規(guī)劃問題

蔣平

一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題稱為線性規(guī)劃問題.近幾年，線性規(guī)劃問題在各省份的高考卷中頻頻出現(xiàn)，逐漸從簡單的線性規(guī)劃問題向含參數(shù)類的綜合問題轉(zhuǎn)變.以下筆者對各省市高考卷中出現(xiàn)的線性規(guī)劃問題進行歸納和整理，望與讀者共勉.

一、簡單線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃問題的核心思想是數(shù)形結(jié)合，解決此類問題一般分三個步驟：畫（畫出可行域）、移（平移目標(biāo)函數(shù)所得直線）、求（解方程組求最值）.按照約束條件和目標(biāo)函數(shù)的含參情況，現(xiàn)將問題分為以下四類：

1.約束條件和目標(biāo)函數(shù)不含參數(shù)

例1：（2013天津卷）設(shè)變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖1所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=2x+z，平移直線y=2x得過點A時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，將點A（5，3）坐標(biāo)代入z=y-2x得：z■=-7.

圖1

例2：（2011浙江卷）設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖2所示，令z=3x+4y，則y=-■+■，直線x+2y-5=0與直線2x+y-7=0的交點為A（3，1），因為x，y為整數(shù)，所以平移直線y=-■x過點B（4，1）時，z取得最小值16.

圖2

2.目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)

例3：（2013浙江文科卷）設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x，y滿足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實數(shù)k=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖3所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-kx+z，若x=0，與題意矛盾;若k>0，則z=kx+y在點A（4，4）處取得最大值，此時k=2;若k<0，則z=kx+y在點A（4，4）或點B（2，3）處取得最大值，此時k=2或k=■矛盾，綜上，k=2.

圖3

變式：（2013全國大綱卷）記不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面區(qū)域為D，若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖4所示，因為y=a（x+1）過頂點A（-1，0），所以由圖可得，k■

圖4

3.約束條件含參數(shù)

例4：（2013新課標(biāo)II卷）已知a>0，x，y滿足約束條件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值為1，則a=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖5所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x過點A（1，2a）時z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

圖5

例5：（2013北京卷）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，求得m的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖6所示，若平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，則點A（-m，m）在直線x-2y=2的下方，即m<-■.

圖6

變式（2012福建卷）若函數(shù)y=2■圖像上存在點（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，則實數(shù)m的最大值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：如圖7，當(dāng)x=m經(jīng)過直線x+y-3=0和y=2■的交點A（1，2）時，m取得最大值1.

圖7

4.約束條件和目標(biāo)函數(shù)均含參數(shù)

例6（2011湖南卷）設(shè)m>1，在約束條件y≥xy≤mxx+y≤1下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為？搖 ? ? ? ?？搖.

圖8

分析：滿足約束條件的可行域如圖8所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-■+■，因為m>1，由圖可得，z=x+my在點A（■，■）處取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：線性規(guī)劃與其他知識點的結(jié)合

近幾年，線性規(guī)劃問題在高考卷中逐漸走向含參數(shù)類的綜合問題，同時也和其他知識點結(jié)合起來考查，提高了學(xué)生分析問題和解決問題能力的要求.

例7：（2013江蘇卷）拋物線y=x■在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D（包含三角形內(nèi)部和邊界）.若點P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x+2y的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是利用導(dǎo)數(shù)求切線方程與線性規(guī)劃的簡單結(jié)合，拋物線y=x■在x=1處的切線為2x-y-1=0，與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D如圖9所示，令z=x+2y，則y=-■+■，易得x+2y的取值范圍是[2，■].

圖9

例8：（2011福建卷）已知O是坐標(biāo)原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域x+y≥2x≤1y≤2上的一個動點，則■·■的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是向量的數(shù)量積與線性規(guī)劃的簡單結(jié)合，■·■=-x+y，令z=-x+y，則形似向量的問題就轉(zhuǎn)化為簡單線性規(guī)劃問題，易得■·■的取值范圍是[0，2].

一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題稱為線性規(guī)劃問題.近幾年，線性規(guī)劃問題在各省份的高考卷中頻頻出現(xiàn)，逐漸從簡單的線性規(guī)劃問題向含參數(shù)類的綜合問題轉(zhuǎn)變.以下筆者對各省市高考卷中出現(xiàn)的線性規(guī)劃問題進行歸納和整理，望與讀者共勉.

一、簡單線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃問題的核心思想是數(shù)形結(jié)合，解決此類問題一般分三個步驟：畫（畫出可行域）、移（平移目標(biāo)函數(shù)所得直線）、求（解方程組求最值）.按照約束條件和目標(biāo)函數(shù)的含參情況，現(xiàn)將問題分為以下四類：

1.約束條件和目標(biāo)函數(shù)不含參數(shù)

例1：（2013天津卷）設(shè)變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖1所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=2x+z，平移直線y=2x得過點A時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，將點A（5，3）坐標(biāo)代入z=y-2x得：z■=-7.

圖1

例2：（2011浙江卷）設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖2所示，令z=3x+4y，則y=-■+■，直線x+2y-5=0與直線2x+y-7=0的交點為A（3，1），因為x，y為整數(shù)，所以平移直線y=-■x過點B（4，1）時，z取得最小值16.

圖2

2.目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)

例3：（2013浙江文科卷）設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x，y滿足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實數(shù)k=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖3所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-kx+z，若x=0，與題意矛盾;若k>0，則z=kx+y在點A（4，4）處取得最大值，此時k=2;若k<0，則z=kx+y在點A（4，4）或點B（2，3）處取得最大值，此時k=2或k=■矛盾，綜上，k=2.

圖3

變式：（2013全國大綱卷）記不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面區(qū)域為D，若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖4所示，因為y=a（x+1）過頂點A（-1，0），所以由圖可得，k■

圖4

3.約束條件含參數(shù)

例4：（2013新課標(biāo)II卷）已知a>0，x，y滿足約束條件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值為1，則a=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖5所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x過點A（1，2a）時z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

圖5

例5：（2013北京卷）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，求得m的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖6所示，若平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，則點A（-m，m）在直線x-2y=2的下方，即m<-■.

圖6

變式（2012福建卷）若函數(shù)y=2■圖像上存在點（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，則實數(shù)m的最大值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：如圖7，當(dāng)x=m經(jīng)過直線x+y-3=0和y=2■的交點A（1，2）時，m取得最大值1.

圖7

4.約束條件和目標(biāo)函數(shù)均含參數(shù)

例6（2011湖南卷）設(shè)m>1，在約束條件y≥xy≤mxx+y≤1下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為？搖 ? ? ? ?？搖.

圖8

分析：滿足約束條件的可行域如圖8所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-■+■，因為m>1，由圖可得，z=x+my在點A（■，■）處取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：線性規(guī)劃與其他知識點的結(jié)合

近幾年，線性規(guī)劃問題在高考卷中逐漸走向含參數(shù)類的綜合問題，同時也和其他知識點結(jié)合起來考查，提高了學(xué)生分析問題和解決問題能力的要求.

例7：（2013江蘇卷）拋物線y=x■在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D（包含三角形內(nèi)部和邊界）.若點P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x+2y的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是利用導(dǎo)數(shù)求切線方程與線性規(guī)劃的簡單結(jié)合，拋物線y=x■在x=1處的切線為2x-y-1=0，與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D如圖9所示，令z=x+2y，則y=-■+■，易得x+2y的取值范圍是[2，■].

圖9

例8：（2011福建卷）已知O是坐標(biāo)原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域x+y≥2x≤1y≤2上的一個動點，則■·■的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是向量的數(shù)量積與線性規(guī)劃的簡單結(jié)合，■·■=-x+y，令z=-x+y，則形似向量的問題就轉(zhuǎn)化為簡單線性規(guī)劃問題，易得■·■的取值范圍是[0，2].

一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題稱為線性規(guī)劃問題.近幾年，線性規(guī)劃問題在各省份的高考卷中頻頻出現(xiàn)，逐漸從簡單的線性規(guī)劃問題向含參數(shù)類的綜合問題轉(zhuǎn)變.以下筆者對各省市高考卷中出現(xiàn)的線性規(guī)劃問題進行歸納和整理，望與讀者共勉.

一、簡單線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃問題的核心思想是數(shù)形結(jié)合，解決此類問題一般分三個步驟：畫（畫出可行域）、移（平移目標(biāo)函數(shù)所得直線）、求（解方程組求最值）.按照約束條件和目標(biāo)函數(shù)的含參情況，現(xiàn)將問題分為以下四類：

1.約束條件和目標(biāo)函數(shù)不含參數(shù)

例1：（2013天津卷）設(shè)變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖1所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=2x+z，平移直線y=2x得過點A時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，將點A（5，3）坐標(biāo)代入z=y-2x得：z■=-7.

圖1

例2：（2011浙江卷）設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖2所示，令z=3x+4y，則y=-■+■，直線x+2y-5=0與直線2x+y-7=0的交點為A（3，1），因為x，y為整數(shù)，所以平移直線y=-■x過點B（4，1）時，z取得最小值16.

圖2

2.目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)

例3：（2013浙江文科卷）設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x，y滿足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實數(shù)k=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖3所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-kx+z，若x=0，與題意矛盾;若k>0，則z=kx+y在點A（4，4）處取得最大值，此時k=2;若k<0，則z=kx+y在點A（4，4）或點B（2，3）處取得最大值，此時k=2或k=■矛盾，綜上，k=2.

圖3

變式：（2013全國大綱卷）記不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面區(qū)域為D，若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖4所示，因為y=a（x+1）過頂點A（-1，0），所以由圖可得，k■

圖4

3.約束條件含參數(shù)

例4：（2013新課標(biāo)II卷）已知a>0，x，y滿足約束條件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值為1，則a=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖5所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x過點A（1，2a）時z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

圖5

例5：（2013北京卷）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，求得m的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖6所示，若平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，則點A（-m，m）在直線x-2y=2的下方，即m<-■.

圖6

變式（2012福建卷）若函數(shù)y=2■圖像上存在點（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，則實數(shù)m的最大值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：如圖7，當(dāng)x=m經(jīng)過直線x+y-3=0和y=2■的交點A（1，2）時，m取得最大值1.

圖7

4.約束條件和目標(biāo)函數(shù)均含參數(shù)

例6（2011湖南卷）設(shè)m>1，在約束條件y≥xy≤mxx+y≤1下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為？搖 ? ? ? ?？搖.

圖8

分析：滿足約束條件的可行域如圖8所示，將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-■+■，因為m>1，由圖可得，z=x+my在點A（■，■）處取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：線性規(guī)劃與其他知識點的結(jié)合

近幾年，線性規(guī)劃問題在高考卷中逐漸走向含參數(shù)類的綜合問題，同時也和其他知識點結(jié)合起來考查，提高了學(xué)生分析問題和解決問題能力的要求.

例7：（2013江蘇卷）拋物線y=x■在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D（包含三角形內(nèi)部和邊界）.若點P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x+2y的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是利用導(dǎo)數(shù)求切線方程與線性規(guī)劃的簡單結(jié)合，拋物線y=x■在x=1處的切線為2x-y-1=0，與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D如圖9所示，令z=x+2y，則y=-■+■，易得x+2y的取值范圍是[2，■].

圖9

例8：（2011福建卷）已知O是坐標(biāo)原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域x+y≥2x≤1y≤2上的一個動點，則■·■的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是向量的數(shù)量積與線性規(guī)劃的簡單結(jié)合，■·■=-x+y，令z=-x+y，則形似向量的問題就轉(zhuǎn)化為簡單線性規(guī)劃問題，易得■·■的取值范圍是[0，2].