提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)有效性的探究

黃文生

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中心工作，只有學(xué)生的解題效率提高了，學(xué)生的解題能力才能得到有效的提升，教學(xué)質(zhì)量才能真正得到提高.筆者根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，就如何提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性談一些粗淺的看法.

一、拓展學(xué)生的思維

1.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程

（1）歸納梳理

①求過(guò)兩條直線的交點(diǎn)的直線方程時(shí)，一般是先通過(guò)解方程組，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件，求出直線方程.

②求過(guò)兩條直線的交點(diǎn)且與某直線平行或垂直的直線方程時(shí)，可利用直線系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求經(jīng)過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)，且與直線3x+y-1=0平行的直線的方程.

4.運(yùn)用解析法證明平面幾何問(wèn)題

（1）歸納梳理

用解析法解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形的性質(zhì)、特征建立平面直角坐標(biāo)系.建立平面直角坐標(biāo)系的原則有兩個(gè)：①要盡可能多地將已知點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上，這樣便于運(yùn)算；②如果條件中有互相垂直的兩條直線，那么要考慮將其建為坐標(biāo)軸；如果圖形具有中心對(duì)稱性，那么可以考慮將圖形中心建為原點(diǎn)；如果具有軸對(duì)稱性，那么可以考慮將對(duì)稱軸建立為坐標(biāo)軸.

（2）典例精析

【例2】 如圖1所示，已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求證AM=12BC.

證明：以Rt△ABC的直角邊AB、AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

二、注重學(xué)生能力遷移

“遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響.”按其效果可以分為正遷移（一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用）和負(fù)遷移（一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的干擾作用）兩種類型，我們所說(shuō)的遷移一般都是指正遷移.知識(shí)遷移能力是將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到新的情境中，解決新問(wèn)題時(shí)所體現(xiàn)出的一種素質(zhì)和能力，包含對(duì)新情境的感知和處理能力、舊知識(shí)與新情境的鏈接能力、對(duì)新問(wèn)題的認(rèn)知和解決能力等層次.形成知識(shí)的廣泛遷移能力可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)事件的本質(zhì)和規(guī)律，提高解決問(wèn)題的靈活性和有效性.

【例3】 求過(guò)兩直線l1：x=-2與l2：2x+y+3=0的交點(diǎn)P，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

分析：先根據(jù)題意求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再進(jìn)行分類討論；也可以利用直線系方程求解.

解法一：

由方程組x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，1）.

根據(jù)題意知，當(dāng)截距不等于0時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為xa+yb=1，

根據(jù)題意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直線l的方程為x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

當(dāng)截距均為0時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直線l的方程為y=-12x，即x+2y=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

設(shè)所求直線的方程為x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

當(dāng)3λ+2=0，即λ=-23時(shí)，

所求直線l的方程為

-13x-23y=0，即x+2y=0符合題意.

當(dāng)3λ+2≠0，即λ≠-23時(shí)，

所求直線l的方程滿足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直線l的方程為x+y+1=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+2y=0或x+y+1=0.

三、加強(qiáng)變式訓(xùn)練

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本知識(shí)領(lǐng)域里，而是讓學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)舉一反三.應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問(wèn)題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.

【例4】 已知點(diǎn)A（a，-5）與B（0，10）間的距離是17，求a的值.

變式：已知點(diǎn)A（1，2），B（3，4），C（5，0），求證：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三邊長(zhǎng)，比較三邊長(zhǎng)的大小即可.

證明：因?yàn)?/p>

又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，

所以△ABC是等腰三角形.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們廣大數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，深入研究新教材，并根據(jù)自己學(xué)生的特點(diǎn)，注意做好以上幾個(gè)方面的教學(xué)工作，就一定能夠?qū)崿F(xiàn)提高解題教學(xué)有效性的目標(biāo)，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中心工作，只有學(xué)生的解題效率提高了，學(xué)生的解題能力才能得到有效的提升，教學(xué)質(zhì)量才能真正得到提高.筆者根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，就如何提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性談一些粗淺的看法.

一、拓展學(xué)生的思維

1.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程

（1）歸納梳理

①求過(guò)兩條直線的交點(diǎn)的直線方程時(shí)，一般是先通過(guò)解方程組，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件，求出直線方程.

②求過(guò)兩條直線的交點(diǎn)且與某直線平行或垂直的直線方程時(shí)，可利用直線系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求經(jīng)過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)，且與直線3x+y-1=0平行的直線的方程.

4.運(yùn)用解析法證明平面幾何問(wèn)題

（1）歸納梳理

用解析法解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形的性質(zhì)、特征建立平面直角坐標(biāo)系.建立平面直角坐標(biāo)系的原則有兩個(gè)：①要盡可能多地將已知點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上，這樣便于運(yùn)算；②如果條件中有互相垂直的兩條直線，那么要考慮將其建為坐標(biāo)軸；如果圖形具有中心對(duì)稱性，那么可以考慮將圖形中心建為原點(diǎn)；如果具有軸對(duì)稱性，那么可以考慮將對(duì)稱軸建立為坐標(biāo)軸.

（2）典例精析

【例2】 如圖1所示，已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求證AM=12BC.

證明：以Rt△ABC的直角邊AB、AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

二、注重學(xué)生能力遷移

“遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響.”按其效果可以分為正遷移（一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用）和負(fù)遷移（一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的干擾作用）兩種類型，我們所說(shuō)的遷移一般都是指正遷移.知識(shí)遷移能力是將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到新的情境中，解決新問(wèn)題時(shí)所體現(xiàn)出的一種素質(zhì)和能力，包含對(duì)新情境的感知和處理能力、舊知識(shí)與新情境的鏈接能力、對(duì)新問(wèn)題的認(rèn)知和解決能力等層次.形成知識(shí)的廣泛遷移能力可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)事件的本質(zhì)和規(guī)律，提高解決問(wèn)題的靈活性和有效性.

【例3】 求過(guò)兩直線l1：x=-2與l2：2x+y+3=0的交點(diǎn)P，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

分析：先根據(jù)題意求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再進(jìn)行分類討論；也可以利用直線系方程求解.

解法一：

由方程組x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，1）.

根據(jù)題意知，當(dāng)截距不等于0時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為xa+yb=1，

根據(jù)題意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直線l的方程為x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

當(dāng)截距均為0時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直線l的方程為y=-12x，即x+2y=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

設(shè)所求直線的方程為x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

當(dāng)3λ+2=0，即λ=-23時(shí)，

所求直線l的方程為

-13x-23y=0，即x+2y=0符合題意.

當(dāng)3λ+2≠0，即λ≠-23時(shí)，

所求直線l的方程滿足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直線l的方程為x+y+1=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+2y=0或x+y+1=0.

三、加強(qiáng)變式訓(xùn)練

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本知識(shí)領(lǐng)域里，而是讓學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)舉一反三.應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問(wèn)題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.

【例4】 已知點(diǎn)A（a，-5）與B（0，10）間的距離是17，求a的值.

變式：已知點(diǎn)A（1，2），B（3，4），C（5，0），求證：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三邊長(zhǎng)，比較三邊長(zhǎng)的大小即可.

證明：因?yàn)?/p>

又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，

所以△ABC是等腰三角形.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們廣大數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，深入研究新教材，并根據(jù)自己學(xué)生的特點(diǎn)，注意做好以上幾個(gè)方面的教學(xué)工作，就一定能夠?qū)崿F(xiàn)提高解題教學(xué)有效性的目標(biāo)，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中心工作，只有學(xué)生的解題效率提高了，學(xué)生的解題能力才能得到有效的提升，教學(xué)質(zhì)量才能真正得到提高.筆者根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，就如何提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性談一些粗淺的看法.

一、拓展學(xué)生的思維

1.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程

（1）歸納梳理

①求過(guò)兩條直線的交點(diǎn)的直線方程時(shí)，一般是先通過(guò)解方程組，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件，求出直線方程.

②求過(guò)兩條直線的交點(diǎn)且與某直線平行或垂直的直線方程時(shí)，可利用直線系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求經(jīng)過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)，且與直線3x+y-1=0平行的直線的方程.

4.運(yùn)用解析法證明平面幾何問(wèn)題

（1）歸納梳理

用解析法解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形的性質(zhì)、特征建立平面直角坐標(biāo)系.建立平面直角坐標(biāo)系的原則有兩個(gè)：①要盡可能多地將已知點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上，這樣便于運(yùn)算；②如果條件中有互相垂直的兩條直線，那么要考慮將其建為坐標(biāo)軸；如果圖形具有中心對(duì)稱性，那么可以考慮將圖形中心建為原點(diǎn)；如果具有軸對(duì)稱性，那么可以考慮將對(duì)稱軸建立為坐標(biāo)軸.

（2）典例精析

【例2】 如圖1所示，已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求證AM=12BC.

證明：以Rt△ABC的直角邊AB、AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

二、注重學(xué)生能力遷移

“遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響.”按其效果可以分為正遷移（一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用）和負(fù)遷移（一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的干擾作用）兩種類型，我們所說(shuō)的遷移一般都是指正遷移.知識(shí)遷移能力是將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到新的情境中，解決新問(wèn)題時(shí)所體現(xiàn)出的一種素質(zhì)和能力，包含對(duì)新情境的感知和處理能力、舊知識(shí)與新情境的鏈接能力、對(duì)新問(wèn)題的認(rèn)知和解決能力等層次.形成知識(shí)的廣泛遷移能力可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)事件的本質(zhì)和規(guī)律，提高解決問(wèn)題的靈活性和有效性.

【例3】 求過(guò)兩直線l1：x=-2與l2：2x+y+3=0的交點(diǎn)P，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

分析：先根據(jù)題意求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再進(jìn)行分類討論；也可以利用直線系方程求解.

解法一：

由方程組x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，1）.

根據(jù)題意知，當(dāng)截距不等于0時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為xa+yb=1，

根據(jù)題意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直線l的方程為x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

當(dāng)截距均為0時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直線l的方程為y=-12x，即x+2y=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

設(shè)所求直線的方程為x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

當(dāng)3λ+2=0，即λ=-23時(shí)，

所求直線l的方程為

-13x-23y=0，即x+2y=0符合題意.

當(dāng)3λ+2≠0，即λ≠-23時(shí)，

所求直線l的方程滿足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直線l的方程為x+y+1=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+2y=0或x+y+1=0.

三、加強(qiáng)變式訓(xùn)練

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本知識(shí)領(lǐng)域里，而是讓學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)舉一反三.應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問(wèn)題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.

【例4】 已知點(diǎn)A（a，-5）與B（0，10）間的距離是17，求a的值.

變式：已知點(diǎn)A（1，2），B（3，4），C（5，0），求證：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三邊長(zhǎng)，比較三邊長(zhǎng)的大小即可.

證明：因?yàn)?/p>

又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，

所以△ABC是等腰三角形.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們廣大數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，深入研究新教材，并根據(jù)自己學(xué)生的特點(diǎn)，注意做好以上幾個(gè)方面的教學(xué)工作，就一定能夠?qū)崿F(xiàn)提高解題教學(xué)有效性的目標(biāo)，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）