數學素質教育中學生直覺力的培養

覃卓

關于數學素質教育，教師比較一致的看法是：對比能力的培養和基本知識、技能的學習，能力的培養更為重要，其核心在于培養學生的數學邏輯思維，幫助學生以數學的眼光觀察世界和處理問題.

意大利哲學家、美學家克羅齊指出，人的知識來源有兩種：一種是直覺的，一種是邏輯的；前者是“從想象中得來的”，后者是“從理智中得來的”.前蘇聯科學家凱德洛夫說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動.”

直覺是直覺力的具體表現，它以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題，是一種能迅速識別、直接理解和綜合判斷的能力.數學家視直覺力為數學創造的重要工具，法國著名的數學家彭加勒曾經指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具.”因此，在數學素質教育中，強化直覺力的培養尤為重要.狄多涅就告誡學生：“經驗證明，要達到這個目的（指對所要處理的數學對象有一個‘可靠的直覺），只能通過長期與所要學習的教材打交道，并且不斷嘗試從所有可能的角度去了解它……獲得‘直覺的過程，必須經歷一個純形式、表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化.”

在數學素質教育中，要培養學生的創造力，就必須培養學生的直覺力.本文從以下幾個方面談談對學生直覺力的培養.

一、知識經驗積累——培養直覺力的基礎

知識經驗積累是直覺力產生的主要因素之一.學習者利用頭腦里已有的知識或經驗對數學問題作出預期的評估和判斷，這種評估和判斷往往是解決問題思路的關鍵和本質，也是培養直覺力的基礎.

二、數形結合——誘發直覺力的靈感

俗話說：“數離形時少直觀，形離數時少入微.”在數學教學中，教師要引導學生通過由形思數、由數輔形，借助圖形特征的誘發直覺力的靈感.

分析：要善于發現條件的幾何意義，還要根據圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數形結合方法解題.

三、類比聯想——培養直覺力的品質

類比聯想是產生直覺的先導，類比聯想主要通過對不同對象的比較，由此及彼，把抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化、生疏的問題熟悉化，從而達到培養直覺力的品質.

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：x、y、z成等差數列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的結構像一元二次方程的判別式，因此猜想可通過構造符合題意的一元二次方程來解決.構造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判別式為零，可知該方程有兩個相等的實根1，由韋達定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化簡得2y=x+z.

四、強化洞察——培養直覺力的敏銳度

歷史上很多科學發現都是科學家從精心觀察入手，經過對事物長期不懈的深入考察后，充分調動大腦中貯存的知識信息，孕育預感，催生靈感，悟出科學真諦.學生在解題中更少不了洞察，只有洞察才有發現.洞察不是停留在對表象的認識，而是透過表象觸及事物的本質、規律.

【例5】 計算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此題直接求解頗難，難在不易觀察出題中的數量關系：“24=3（32-1）”.若擊破此難點，則易得結果為32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展開式中的常數項.

分析：常規方法是將（x+1x+2）6組合為[（x+1x）+2]6，然后展開求解，但過程較繁瑣.若注意到括號內的常數2=2·x·1x，則有x+1x+2=（x+1）2x.問題轉化為求（x+1）12展開式中x6項的系數.結果為C612.

五、數學美感——培養直覺力的源泉

數學家彭加勒和阿達瑪認為，數學事實間的最佳組合往往是依靠審美直覺找出的，沒有美感的人，就不可能成為數學發明家.審視和挖掘數學美感是直覺力的重要源泉.“簡單”“對稱”“和諧”體現了數學的美感，給人們以美的享受.“簡單美”“對稱美”“和諧美”“奇異美”可能出現在數學的條件、圖形、結論或解題過程中，這種美往往能讓人癡迷于其中.若教師在教學中，能巧妙地運用數學美，適時點撥，有利于培養學生的直覺力.

【例7】 已知a為實數，試解關于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接從x入手，將難以尋求解題思路.然而，把此題看成關于a的一元二次不等式，問題便迎刃而解.

解：將原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a為實數，且首項系數為1>0，則有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，試求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：這里的a，b具有對稱性，可猜想當a=b=12時，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：設a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

顯然，當x=0時，同時使分子取得最小值25，分母取得最大值4，從而a=b=12時，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（責任編輯 鐘偉芳）

關于數學素質教育，教師比較一致的看法是：對比能力的培養和基本知識、技能的學習，能力的培養更為重要，其核心在于培養學生的數學邏輯思維，幫助學生以數學的眼光觀察世界和處理問題.

意大利哲學家、美學家克羅齊指出，人的知識來源有兩種：一種是直覺的，一種是邏輯的；前者是“從想象中得來的”，后者是“從理智中得來的”.前蘇聯科學家凱德洛夫說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動.”

直覺是直覺力的具體表現，它以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題，是一種能迅速識別、直接理解和綜合判斷的能力.數學家視直覺力為數學創造的重要工具，法國著名的數學家彭加勒曾經指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具.”因此，在數學素質教育中，強化直覺力的培養尤為重要.狄多涅就告誡學生：“經驗證明，要達到這個目的（指對所要處理的數學對象有一個‘可靠的直覺），只能通過長期與所要學習的教材打交道，并且不斷嘗試從所有可能的角度去了解它……獲得‘直覺的過程，必須經歷一個純形式、表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化.”

在數學素質教育中，要培養學生的創造力，就必須培養學生的直覺力.本文從以下幾個方面談談對學生直覺力的培養.

一、知識經驗積累——培養直覺力的基礎

知識經驗積累是直覺力產生的主要因素之一.學習者利用頭腦里已有的知識或經驗對數學問題作出預期的評估和判斷，這種評估和判斷往往是解決問題思路的關鍵和本質，也是培養直覺力的基礎.

二、數形結合——誘發直覺力的靈感

俗話說：“數離形時少直觀，形離數時少入微.”在數學教學中，教師要引導學生通過由形思數、由數輔形，借助圖形特征的誘發直覺力的靈感.

分析：要善于發現條件的幾何意義，還要根據圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數形結合方法解題.

三、類比聯想——培養直覺力的品質

類比聯想是產生直覺的先導，類比聯想主要通過對不同對象的比較，由此及彼，把抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化、生疏的問題熟悉化，從而達到培養直覺力的品質.

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：x、y、z成等差數列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的結構像一元二次方程的判別式，因此猜想可通過構造符合題意的一元二次方程來解決.構造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判別式為零，可知該方程有兩個相等的實根1，由韋達定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化簡得2y=x+z.

四、強化洞察——培養直覺力的敏銳度

歷史上很多科學發現都是科學家從精心觀察入手，經過對事物長期不懈的深入考察后，充分調動大腦中貯存的知識信息，孕育預感，催生靈感，悟出科學真諦.學生在解題中更少不了洞察，只有洞察才有發現.洞察不是停留在對表象的認識，而是透過表象觸及事物的本質、規律.

【例5】 計算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此題直接求解頗難，難在不易觀察出題中的數量關系：“24=3（32-1）”.若擊破此難點，則易得結果為32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展開式中的常數項.

分析：常規方法是將（x+1x+2）6組合為[（x+1x）+2]6，然后展開求解，但過程較繁瑣.若注意到括號內的常數2=2·x·1x，則有x+1x+2=（x+1）2x.問題轉化為求（x+1）12展開式中x6項的系數.結果為C612.

五、數學美感——培養直覺力的源泉

數學家彭加勒和阿達瑪認為，數學事實間的最佳組合往往是依靠審美直覺找出的，沒有美感的人，就不可能成為數學發明家.審視和挖掘數學美感是直覺力的重要源泉.“簡單”“對稱”“和諧”體現了數學的美感，給人們以美的享受.“簡單美”“對稱美”“和諧美”“奇異美”可能出現在數學的條件、圖形、結論或解題過程中，這種美往往能讓人癡迷于其中.若教師在教學中，能巧妙地運用數學美，適時點撥，有利于培養學生的直覺力.

【例7】 已知a為實數，試解關于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接從x入手，將難以尋求解題思路.然而，把此題看成關于a的一元二次不等式，問題便迎刃而解.

解：將原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a為實數，且首項系數為1>0，則有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，試求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：這里的a，b具有對稱性，可猜想當a=b=12時，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：設a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

顯然，當x=0時，同時使分子取得最小值25，分母取得最大值4，從而a=b=12時，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（責任編輯 鐘偉芳）

關于數學素質教育，教師比較一致的看法是：對比能力的培養和基本知識、技能的學習，能力的培養更為重要，其核心在于培養學生的數學邏輯思維，幫助學生以數學的眼光觀察世界和處理問題.

意大利哲學家、美學家克羅齊指出，人的知識來源有兩種：一種是直覺的，一種是邏輯的；前者是“從想象中得來的”，后者是“從理智中得來的”.前蘇聯科學家凱德洛夫說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動.”

直覺是直覺力的具體表現，它以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題，是一種能迅速識別、直接理解和綜合判斷的能力.數學家視直覺力為數學創造的重要工具，法國著名的數學家彭加勒曾經指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發明的工具.”因此，在數學素質教育中，強化直覺力的培養尤為重要.狄多涅就告誡學生：“經驗證明，要達到這個目的（指對所要處理的數學對象有一個‘可靠的直覺），只能通過長期與所要學習的教材打交道，并且不斷嘗試從所有可能的角度去了解它……獲得‘直覺的過程，必須經歷一個純形式、表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化.”

在數學素質教育中，要培養學生的創造力，就必須培養學生的直覺力.本文從以下幾個方面談談對學生直覺力的培養.

一、知識經驗積累——培養直覺力的基礎

知識經驗積累是直覺力產生的主要因素之一.學習者利用頭腦里已有的知識或經驗對數學問題作出預期的評估和判斷，這種評估和判斷往往是解決問題思路的關鍵和本質，也是培養直覺力的基礎.

二、數形結合——誘發直覺力的靈感

俗話說：“數離形時少直觀，形離數時少入微.”在數學教學中，教師要引導學生通過由形思數、由數輔形，借助圖形特征的誘發直覺力的靈感.

分析：要善于發現條件的幾何意義，還要根據圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數形結合方法解題.

三、類比聯想——培養直覺力的品質

類比聯想是產生直覺的先導，類比聯想主要通過對不同對象的比較，由此及彼，把抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化、生疏的問題熟悉化，從而達到培養直覺力的品質.

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：x、y、z成等差數列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的結構像一元二次方程的判別式，因此猜想可通過構造符合題意的一元二次方程來解決.構造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判別式為零，可知該方程有兩個相等的實根1，由韋達定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化簡得2y=x+z.

四、強化洞察——培養直覺力的敏銳度

歷史上很多科學發現都是科學家從精心觀察入手，經過對事物長期不懈的深入考察后，充分調動大腦中貯存的知識信息，孕育預感，催生靈感，悟出科學真諦.學生在解題中更少不了洞察，只有洞察才有發現.洞察不是停留在對表象的認識，而是透過表象觸及事物的本質、規律.

【例5】 計算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此題直接求解頗難，難在不易觀察出題中的數量關系：“24=3（32-1）”.若擊破此難點，則易得結果為32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展開式中的常數項.

分析：常規方法是將（x+1x+2）6組合為[（x+1x）+2]6，然后展開求解，但過程較繁瑣.若注意到括號內的常數2=2·x·1x，則有x+1x+2=（x+1）2x.問題轉化為求（x+1）12展開式中x6項的系數.結果為C612.

五、數學美感——培養直覺力的源泉

數學家彭加勒和阿達瑪認為，數學事實間的最佳組合往往是依靠審美直覺找出的，沒有美感的人，就不可能成為數學發明家.審視和挖掘數學美感是直覺力的重要源泉.“簡單”“對稱”“和諧”體現了數學的美感，給人們以美的享受.“簡單美”“對稱美”“和諧美”“奇異美”可能出現在數學的條件、圖形、結論或解題過程中，這種美往往能讓人癡迷于其中.若教師在教學中，能巧妙地運用數學美，適時點撥，有利于培養學生的直覺力.

【例7】 已知a為實數，試解關于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接從x入手，將難以尋求解題思路.然而，把此題看成關于a的一元二次不等式，問題便迎刃而解.

解：將原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a為實數，且首項系數為1>0，則有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，試求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：這里的a，b具有對稱性，可猜想當a=b=12時，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：設a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

顯然，當x=0時，同時使分子取得最小值25，分母取得最大值4，從而a=b=12時，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（責任編輯 鐘偉芳）