靜中求動，極限“顯靈”

廖支斌

對于立體幾何選擇題，由于其涉及的知識點多、推理復雜、運算量大，學生感到較難掌握.學生在解立體幾何選擇題時，如果解題思想方法不當，很容易影響解題速度及正常發揮.若學生能沖破思維定式，則可走出“山重水盡”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面筆者從動態的角度出發，對極限的思想就兩個方面進行例談.

一、在圖形形狀的變化中運用極限思想

立體幾何中的柱、錐、臺之間有千絲萬縷的聯系，無論是定義，還是面積、體積公式，無不體現著極限思想.因此，在解答上述圖形問題時，為了避免復雜計算，可運用極限思想去解決.

【例1】 已知圓錐的底面半徑為R，高為h，在其內部放一高為x的內接正n棱柱，當棱柱的側面積取得最大值時，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：將正n棱柱視為圓柱，這時S圓柱側=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，當且僅當h-x=x，即x=h2時，圓柱側面積最大.

【例2】 一棱臺的上下底面積之比為1∶4，則以棱臺中截面為底面，以棱臺的側棱延長線的交點為頂點的棱錐與該棱臺的體積之比為（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：將棱臺視為圓臺時，棱錐則可視為圓錐，由條件可得，上下底半徑為1∶2.設頂點O到上底面的距離為x，圓臺的高為y，則易求得xx+y=12，

∴x=y，進而求得兩體積之比為27∶56，選A.

【例3】 過棱臺高的三等分點作兩個平行于底面的截面，則夾在兩截面間的幾何體的體積與原棱臺體積的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能確定

解：此題可考慮棱臺形狀的變化，當棱臺趨于棱柱時，兩體積之比為1∶3，當棱臺趨于棱錐時，兩體積之比為7∶27，因此只能選D.

二、在圖形的點、位置的變化中運用極限思想

【例4】 空間四邊形ABCD的對角線AC=12，BD=10，截面MNRS與兩對角線AC、BD平行，則截面四邊形MNRS的周長的取值范圍是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值與AB、CD的長有關

分析：若用常規方法，則要用到線面平行、線段成比例等性質才能解決，運算麻煩.若運用極限思想，則簡捷明了.

解：如圖1，易知截面為平行四邊形，當MN→AC，即MN→12時，MS→0，∴截面MNRS的周長→24，同樣，當MS→BD，即MS→10時，截面MNSR的周長→20，故選C.

【例5】 如圖2，設正三棱錐P—ABC的底面△ABC的中心為O，過O點的動平面與三條側棱或其延長線分別交于Q、R、S，則1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一個常數

練習題：1.已知三棱錐S—ABC的頂點在底面的射影在△ABC內，則∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范圍是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：當頂點S→無窮遠處，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，頂點S→底面時，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故選D.

2.由半徑為R的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：當PC→球面相切時，PC→0，而面PAB→過球心，AB→2R，則PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；當PB、PC→球面相切時，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故選D.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

對于立體幾何選擇題，由于其涉及的知識點多、推理復雜、運算量大，學生感到較難掌握.學生在解立體幾何選擇題時，如果解題思想方法不當，很容易影響解題速度及正常發揮.若學生能沖破思維定式，則可走出“山重水盡”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面筆者從動態的角度出發，對極限的思想就兩個方面進行例談.

一、在圖形形狀的變化中運用極限思想

立體幾何中的柱、錐、臺之間有千絲萬縷的聯系，無論是定義，還是面積、體積公式，無不體現著極限思想.因此，在解答上述圖形問題時，為了避免復雜計算，可運用極限思想去解決.

【例1】 已知圓錐的底面半徑為R，高為h，在其內部放一高為x的內接正n棱柱，當棱柱的側面積取得最大值時，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：將正n棱柱視為圓柱，這時S圓柱側=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，當且僅當h-x=x，即x=h2時，圓柱側面積最大.

【例2】 一棱臺的上下底面積之比為1∶4，則以棱臺中截面為底面，以棱臺的側棱延長線的交點為頂點的棱錐與該棱臺的體積之比為（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：將棱臺視為圓臺時，棱錐則可視為圓錐，由條件可得，上下底半徑為1∶2.設頂點O到上底面的距離為x，圓臺的高為y，則易求得xx+y=12，

∴x=y，進而求得兩體積之比為27∶56，選A.

【例3】 過棱臺高的三等分點作兩個平行于底面的截面，則夾在兩截面間的幾何體的體積與原棱臺體積的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能確定

解：此題可考慮棱臺形狀的變化，當棱臺趨于棱柱時，兩體積之比為1∶3，當棱臺趨于棱錐時，兩體積之比為7∶27，因此只能選D.

二、在圖形的點、位置的變化中運用極限思想

【例4】 空間四邊形ABCD的對角線AC=12，BD=10，截面MNRS與兩對角線AC、BD平行，則截面四邊形MNRS的周長的取值范圍是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值與AB、CD的長有關

分析：若用常規方法，則要用到線面平行、線段成比例等性質才能解決，運算麻煩.若運用極限思想，則簡捷明了.

解：如圖1，易知截面為平行四邊形，當MN→AC，即MN→12時，MS→0，∴截面MNRS的周長→24，同樣，當MS→BD，即MS→10時，截面MNSR的周長→20，故選C.

【例5】 如圖2，設正三棱錐P—ABC的底面△ABC的中心為O，過O點的動平面與三條側棱或其延長線分別交于Q、R、S，則1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一個常數

練習題：1.已知三棱錐S—ABC的頂點在底面的射影在△ABC內，則∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范圍是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：當頂點S→無窮遠處，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，頂點S→底面時，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故選D.

2.由半徑為R的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：當PC→球面相切時，PC→0，而面PAB→過球心，AB→2R，則PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；當PB、PC→球面相切時，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故選D.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

對于立體幾何選擇題，由于其涉及的知識點多、推理復雜、運算量大，學生感到較難掌握.學生在解立體幾何選擇題時，如果解題思想方法不當，很容易影響解題速度及正常發揮.若學生能沖破思維定式，則可走出“山重水盡”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面筆者從動態的角度出發，對極限的思想就兩個方面進行例談.

一、在圖形形狀的變化中運用極限思想

立體幾何中的柱、錐、臺之間有千絲萬縷的聯系，無論是定義，還是面積、體積公式，無不體現著極限思想.因此，在解答上述圖形問題時，為了避免復雜計算，可運用極限思想去解決.

【例1】 已知圓錐的底面半徑為R，高為h，在其內部放一高為x的內接正n棱柱，當棱柱的側面積取得最大值時，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：將正n棱柱視為圓柱，這時S圓柱側=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，當且僅當h-x=x，即x=h2時，圓柱側面積最大.

【例2】 一棱臺的上下底面積之比為1∶4，則以棱臺中截面為底面，以棱臺的側棱延長線的交點為頂點的棱錐與該棱臺的體積之比為（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：將棱臺視為圓臺時，棱錐則可視為圓錐，由條件可得，上下底半徑為1∶2.設頂點O到上底面的距離為x，圓臺的高為y，則易求得xx+y=12，

∴x=y，進而求得兩體積之比為27∶56，選A.

【例3】 過棱臺高的三等分點作兩個平行于底面的截面，則夾在兩截面間的幾何體的體積與原棱臺體積的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能確定

解：此題可考慮棱臺形狀的變化，當棱臺趨于棱柱時，兩體積之比為1∶3，當棱臺趨于棱錐時，兩體積之比為7∶27，因此只能選D.

二、在圖形的點、位置的變化中運用極限思想

【例4】 空間四邊形ABCD的對角線AC=12，BD=10，截面MNRS與兩對角線AC、BD平行，則截面四邊形MNRS的周長的取值范圍是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值與AB、CD的長有關

分析：若用常規方法，則要用到線面平行、線段成比例等性質才能解決，運算麻煩.若運用極限思想，則簡捷明了.

解：如圖1，易知截面為平行四邊形，當MN→AC，即MN→12時，MS→0，∴截面MNRS的周長→24，同樣，當MS→BD，即MS→10時，截面MNSR的周長→20，故選C.

【例5】 如圖2，設正三棱錐P—ABC的底面△ABC的中心為O，過O點的動平面與三條側棱或其延長線分別交于Q、R、S，則1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一個常數

練習題：1.已知三棱錐S—ABC的頂點在底面的射影在△ABC內，則∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范圍是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：當頂點S→無窮遠處，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，頂點S→底面時，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故選D.

2.由半徑為R的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：當PC→球面相切時，PC→0，而面PAB→過球心，AB→2R，則PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；當PB、PC→球面相切時，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故選D.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint