以一道2014年高考題為例談解析幾何復習

黃力江

解析幾何是高中數學的主干知識，每年高考都重點考查該知識點，但每年解析幾何的得分率都不高.原因是考生在學習解析幾何時有畏懼心理，認為解析幾何很難，考試時不敢做，放棄解析幾何大題.新課改這幾年，解析幾何的命題趨勢相對穩定.下面，筆者以2014年高考廣東卷理科第20題為例，談一談解析幾何復習.

【例】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一個焦點為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外的一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

本題的解答過程省略，下面筆者證明一個一般性的結論.

結論：已知曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若動點P（x0，y0）為曲線C外的一點，且點P到曲線C的兩條切線相互垂直，則點P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析：（1）當其中一條切線的斜率不存在時，則另一條切線的斜率為零，此時點P的坐標為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）當切線的斜率存在時，則斜率亦不為零，此種情況為本結論證明的關鍵，下面筆者用以下幾種方法來解決這個問題.

方法一：設切線方程為y-y0=k（x-x0），聯立方程組

方法二：設其中一條切線的方程為y-y0=k（x-x0），則另一條切線的方程為y-y0=-1k（x-x0）

，聯立方程組

方法三：設兩條切線分別為l1，l2切線l1與橢圓C的切點為A（x1，y1），切線l2與橢圓C的切點為B（x2，y2），則l1的方程為x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，從而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直線AB的方程為

x0xa2+y0yb2=1

.聯立方程組

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

將③④代入⑤化簡后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又點P在橢圓外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，從而x2+y2=a2+b2.

又點P的坐標為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦滿足x2+y2=a2+b2.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析幾何對學生的分析理解能力、運算求解能力以及邏輯思維能力要求較高.一位優秀的教師應注重對解題方法的總結，這也是有效教學的一個重要措施.教師在總結解題方法時不應只停留在題目的表面，更應針對題目的內涵進行剖析，這樣才能使高三復習達到事半功倍的效果.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

解析幾何是高中數學的主干知識，每年高考都重點考查該知識點，但每年解析幾何的得分率都不高.原因是考生在學習解析幾何時有畏懼心理，認為解析幾何很難，考試時不敢做，放棄解析幾何大題.新課改這幾年，解析幾何的命題趨勢相對穩定.下面，筆者以2014年高考廣東卷理科第20題為例，談一談解析幾何復習.

【例】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一個焦點為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外的一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

本題的解答過程省略，下面筆者證明一個一般性的結論.

結論：已知曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若動點P（x0，y0）為曲線C外的一點，且點P到曲線C的兩條切線相互垂直，則點P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析：（1）當其中一條切線的斜率不存在時，則另一條切線的斜率為零，此時點P的坐標為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）當切線的斜率存在時，則斜率亦不為零，此種情況為本結論證明的關鍵，下面筆者用以下幾種方法來解決這個問題.

方法一：設切線方程為y-y0=k（x-x0），聯立方程組

方法二：設其中一條切線的方程為y-y0=k（x-x0），則另一條切線的方程為y-y0=-1k（x-x0）

，聯立方程組

方法三：設兩條切線分別為l1，l2切線l1與橢圓C的切點為A（x1，y1），切線l2與橢圓C的切點為B（x2，y2），則l1的方程為x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，從而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直線AB的方程為

x0xa2+y0yb2=1

.聯立方程組

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

將③④代入⑤化簡后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又點P在橢圓外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，從而x2+y2=a2+b2.

又點P的坐標為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦滿足x2+y2=a2+b2.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析幾何對學生的分析理解能力、運算求解能力以及邏輯思維能力要求較高.一位優秀的教師應注重對解題方法的總結，這也是有效教學的一個重要措施.教師在總結解題方法時不應只停留在題目的表面，更應針對題目的內涵進行剖析，這樣才能使高三復習達到事半功倍的效果.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

解析幾何是高中數學的主干知識，每年高考都重點考查該知識點，但每年解析幾何的得分率都不高.原因是考生在學習解析幾何時有畏懼心理，認為解析幾何很難，考試時不敢做，放棄解析幾何大題.新課改這幾年，解析幾何的命題趨勢相對穩定.下面，筆者以2014年高考廣東卷理科第20題為例，談一談解析幾何復習.

【例】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一個焦點為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外的一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

本題的解答過程省略，下面筆者證明一個一般性的結論.

結論：已知曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若動點P（x0，y0）為曲線C外的一點，且點P到曲線C的兩條切線相互垂直，則點P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析：（1）當其中一條切線的斜率不存在時，則另一條切線的斜率為零，此時點P的坐標為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）當切線的斜率存在時，則斜率亦不為零，此種情況為本結論證明的關鍵，下面筆者用以下幾種方法來解決這個問題.

方法一：設切線方程為y-y0=k（x-x0），聯立方程組

方法二：設其中一條切線的方程為y-y0=k（x-x0），則另一條切線的方程為y-y0=-1k（x-x0）

，聯立方程組

方法三：設兩條切線分別為l1，l2切線l1與橢圓C的切點為A（x1，y1），切線l2與橢圓C的切點為B（x2，y2），則l1的方程為x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，從而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直線AB的方程為

x0xa2+y0yb2=1

.聯立方程組

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

將③④代入⑤化簡后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又點P在橢圓外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，從而x2+y2=a2+b2.

又點P的坐標為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦滿足x2+y2=a2+b2.

綜上所述，點P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析幾何對學生的分析理解能力、運算求解能力以及邏輯思維能力要求較高.一位優秀的教師應注重對解題方法的總結，這也是有效教學的一個重要措施.教師在總結解題方法時不應只停留在題目的表面，更應針對題目的內涵進行剖析，這樣才能使高三復習達到事半功倍的效果.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint