“1cm2”到底是如何“多”出來的？

王山祥

有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1所示剪開，再把剪出的4個小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，其面積是65cm2.這樣就出現(xiàn)了“64=65”的奇怪現(xiàn)象！這是可能的嗎？下面我們通過實際操作檢驗一下.

我們先找一張8cm×8cm的正方形紙片，按圖1所示剪開，再按圖2拼合，似乎看不出有什么問題.這就奇怪了，無中不能生有，64cm2的紙片是不可能變成65cm2的，問題究竟出在什么地方呢？這個“多”出的1cm2的面積究竟是如何得來的？看來，我們得仔細研究一下

如圖4，而當我們把圖1中的甲、乙兩小塊按拼合在一起時，線段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因為線段DE比DE′小，所以圖4與圖3并不相同.當線段DE=3cm時，甲、乙兩小塊的拼合并不能構成Rt△ABC，而是構成四邊形ABCE.

如圖5，實際上，我們重新拼合的圖形并不是如圖2所示，而是如圖5所示，即中間有空隙的一個長方形.那么，圖5中的空隙四邊形AECF的面積是否就是“多”出的1cm2呢？下面我們計算一下四邊形AECF的面積.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四邊形AECF是平行四邊形.

（2）如圖6，作EL⊥CF，垂足為L.延長DE交CM于點H，交CF于點G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）計算EG的長度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因為Rt△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通過推理證明，由圖1中的紙片剪開后并不能拼成如圖2所示的圖形，而是拼成一個長為13cm，寬為5cm的中間有空隙的長方形，這個空隙的面積恰好是1cm2，因此重新拼成的圖形的面積并不等于如圖2所示的長方形的面積，新拼成的圖形的面積應該是這個長方形的面積減去中間空隙的面積，即65-1=64cm2.

既然這樣，為什么我們在前面動手剪紙片和拼接的過程中并沒有發(fā)現(xiàn)這個空隙呢？這是因為拼接后的圖形中空隙是十分細小的，空隙平行四邊形AECF的高僅有173cm，

約0.117cm，即1毫米稍微過一點點而已，所以我們在前面動手拼圖時往往發(fā)現(xiàn)不了這個空隙，即使發(fā)現(xiàn)了也以為是我們剪切與拼合時的誤差而忽略掉，這就是我們當初得到“64=65”的原因（而圖4、圖5、圖6中的空隙是為了論述的需要，我們有意地夸大了）.可見，在數(shù)學學習中，我們的直覺并不可靠，如果僅僅靠直覺學習，有時可能會得出錯誤的結論.我們一定要對數(shù)學命題進行嚴密的推理與論證，才能得到正確的結論.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1所示剪開，再把剪出的4個小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，其面積是65cm2.這樣就出現(xiàn)了“64=65”的奇怪現(xiàn)象！這是可能的嗎？下面我們通過實際操作檢驗一下.

我們先找一張8cm×8cm的正方形紙片，按圖1所示剪開，再按圖2拼合，似乎看不出有什么問題.這就奇怪了，無中不能生有，64cm2的紙片是不可能變成65cm2的，問題究竟出在什么地方呢？這個“多”出的1cm2的面積究竟是如何得來的？看來，我們得仔細研究一下

如圖4，而當我們把圖1中的甲、乙兩小塊按拼合在一起時，線段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因為線段DE比DE′小，所以圖4與圖3并不相同.當線段DE=3cm時，甲、乙兩小塊的拼合并不能構成Rt△ABC，而是構成四邊形ABCE.

如圖5，實際上，我們重新拼合的圖形并不是如圖2所示，而是如圖5所示，即中間有空隙的一個長方形.那么，圖5中的空隙四邊形AECF的面積是否就是“多”出的1cm2呢？下面我們計算一下四邊形AECF的面積.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四邊形AECF是平行四邊形.

（2）如圖6，作EL⊥CF，垂足為L.延長DE交CM于點H，交CF于點G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）計算EG的長度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因為Rt△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通過推理證明，由圖1中的紙片剪開后并不能拼成如圖2所示的圖形，而是拼成一個長為13cm，寬為5cm的中間有空隙的長方形，這個空隙的面積恰好是1cm2，因此重新拼成的圖形的面積并不等于如圖2所示的長方形的面積，新拼成的圖形的面積應該是這個長方形的面積減去中間空隙的面積，即65-1=64cm2.

既然這樣，為什么我們在前面動手剪紙片和拼接的過程中并沒有發(fā)現(xiàn)這個空隙呢？這是因為拼接后的圖形中空隙是十分細小的，空隙平行四邊形AECF的高僅有173cm，

約0.117cm，即1毫米稍微過一點點而已，所以我們在前面動手拼圖時往往發(fā)現(xiàn)不了這個空隙，即使發(fā)現(xiàn)了也以為是我們剪切與拼合時的誤差而忽略掉，這就是我們當初得到“64=65”的原因（而圖4、圖5、圖6中的空隙是為了論述的需要，我們有意地夸大了）.可見，在數(shù)學學習中，我們的直覺并不可靠，如果僅僅靠直覺學習，有時可能會得出錯誤的結論.我們一定要對數(shù)學命題進行嚴密的推理與論證，才能得到正確的結論.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1所示剪開，再把剪出的4個小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，其面積是65cm2.這樣就出現(xiàn)了“64=65”的奇怪現(xiàn)象！這是可能的嗎？下面我們通過實際操作檢驗一下.

我們先找一張8cm×8cm的正方形紙片，按圖1所示剪開，再按圖2拼合，似乎看不出有什么問題.這就奇怪了，無中不能生有，64cm2的紙片是不可能變成65cm2的，問題究竟出在什么地方呢？這個“多”出的1cm2的面積究竟是如何得來的？看來，我們得仔細研究一下

如圖4，而當我們把圖1中的甲、乙兩小塊按拼合在一起時，線段DE并不等于3113

cm，而是等于3cm.因為線段DE比DE′小，所以圖4與圖3并不相同.當線段DE=3cm時，甲、乙兩小塊的拼合并不能構成Rt△ABC，而是構成四邊形ABCE.

如圖5，實際上，我們重新拼合的圖形并不是如圖2所示，而是如圖5所示，即中間有空隙的一個長方形.那么，圖5中的空隙四邊形AECF的面積是否就是“多”出的1cm2呢？下面我們計算一下四邊形AECF的面積.

（1）由已知可知，CF=EA，CE=FA，所以，四邊形AECF是平行四邊形.

（2）如圖6，作EL⊥CF，垂足為L.延長DE交CM于點H，交CF于點G，得GH⊥CM，CH=BD=5.DH=BC=5，由于GH⊥CM，所以GH∥FM，所以△CGH∽△CFM，得

CHCM=GHFM，即58=GH3，得CH=178cm.

（3）計算EG的長度：EG=DH-DE-GH=5-3-178=18cm.

（4）在Rt△CFM中，∵CF2=CM2+MF2=82+32=73，∴CF=73cm.

（5）∵∠EGL=∠CGH，∠ELG=∠CHG=90°，∴Rt△EGL∽Rt△CGH，又因為Rt△CGH∽Rt△CFM，∴Rt△EGL∽Rt△CFM，得

EGCF=ELCM，即1873=EL8，∴EL=173cm.

（6）因此，SAECF=CF×EL=73×173=1cm.

通過推理證明，由圖1中的紙片剪開后并不能拼成如圖2所示的圖形，而是拼成一個長為13cm，寬為5cm的中間有空隙的長方形，這個空隙的面積恰好是1cm2，因此重新拼成的圖形的面積并不等于如圖2所示的長方形的面積，新拼成的圖形的面積應該是這個長方形的面積減去中間空隙的面積，即65-1=64cm2.

既然這樣，為什么我們在前面動手剪紙片和拼接的過程中并沒有發(fā)現(xiàn)這個空隙呢？這是因為拼接后的圖形中空隙是十分細小的，空隙平行四邊形AECF的高僅有173cm，

約0.117cm，即1毫米稍微過一點點而已，所以我們在前面動手拼圖時往往發(fā)現(xiàn)不了這個空隙，即使發(fā)現(xiàn)了也以為是我們剪切與拼合時的誤差而忽略掉，這就是我們當初得到“64=65”的原因（而圖4、圖5、圖6中的空隙是為了論述的需要，我們有意地夸大了）.可見，在數(shù)學學習中，我們的直覺并不可靠，如果僅僅靠直覺學習，有時可能會得出錯誤的結論.我們一定要對數(shù)學命題進行嚴密的推理與論證，才能得到正確的結論.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint