淺談在分數混合運算的解決問題教學中如何解決“單位1”

趙永恒

【摘 要】分數混合運算的解決問題是小學高年級數學教學內容的重點教學內容。

【關鍵詞】已知乘未知除；多加少減；量率對應

在西師版六年級數學的分數混合運算的解決問題教學中，找單位“1”這類型的題目是學生常遇到的難點問題，教會學生如何正確解答這類題就顯得十分重要。只有在教學中引導學生找準單位“1”，相關的問題就會迎刃而解。解答時一定要讀準題目的關鍵詞或關鍵句，找準單位“1”，然后根據題意，采用“已知乘未知除，多加少減，量率對應”，有關單位“1”的解決問題，就會輕松應對。筆者認為可以從以下幾方面進行具體教學：

一、怎么找準單位“1”

1.抓“關鍵詞”

分數應用題常常出現一些比較熟悉的關鍵詞，如“是”、“比”、“占”、“相當于”……一般這些關鍵詞后面的數量就是單位“1”的量，這樣學生就可以抓住這些關鍵詞很快找出單位“1”。

例如，甲是乙的3/4。在這關鍵句中，很明顯是以乙為標準，甲和乙相比較，也就是說乙是單位“1”。

又如，數學書的數量相當于英語書的數量5/2倍。那么“相當于”后面的“英語書的數量”就是標準量，也就是單位“1”。

男老師占女老師的八分之三，女老師是單位 “1”。三好學生是全班學生的八分之一，全班學生是單位“1”。

再如，六年級學生比五年級學生多 1/3，五年級學生是單位“1”。

2.理解局部和整體的關系

所有的分數應用題都有關鍵詞嗎？并不是這樣，這時沒有關鍵詞怎么辦呢？在同一整體中，部分數和總數作比較關系時，部分數通常作為比較量。而總數則作為標準量，也就是單位“1”。

例如，小張家有30千克面粉，吃了2/7，吃了多少千克？很容易看出，小張家面粉的“總面粉的重量”是總數，“吃掉的面粉量”是部分數，所以30千克面粉就是單位“1”。由此可看出解答這類分數應用題時，如果我們找準部分數和總數，那么很容易確定單位“1”了。

3.對關鍵句理解消化，找出原來的量

如果我們遇到既沒關鍵詞，又沒總數作為單位“1”，這個時候又怎么辦呢？這類分數應用題的單位“1”也不難找，只要找出關鍵句，理解關鍵句解題就好辦了。

例如，水結成冰后體積增加了1/11，冰融化成水后，體積減少了1/10。像這樣的水和冰兩種數量到底誰作為單位“1”？兩句關鍵句的單位“1”是不是相同呢？用上面講過的兩種方法不容易找出單位“1”。其實我們只要看，原來的數量是誰？這個原來的數量就是單位“1”！例如水結成冰，原來的數量就是水，那么水的體積就是單位“1”；冰融化成水，原來的數量是冰，所以冰的體積就是單位“1”。

二、對單位“1”的巧用

1.已知乘未知除

找準單位“1”后，看看單位“1”所代表的數量，已知還是未知。單位“1”所代表的數量已知就用乘法，單位“1”所代表的數量未知，就用除法。都是數量在前，分數或百分數在后。

例如，

（1）桃樹是蘋果樹的1/3，桃樹有90棵，蘋果樹有多少棵？

（2）桃樹是蘋果樹的1/3，蘋果樹有90棵，桃樹有多少棵？

這兩道題中，非常明顯，單位“1”都 是蘋果樹，而（1）題中的單位“1” 蘋果樹未知，所以就用90除以1/3得270棵；而（2）題中的單位“1” 蘋果樹已知，所以就用90乘以1/3得30棵。

2.多加少減

找準單位“1”后，比單位“1”所代表的數量多就用1加多的分數或百分數； 比單位“1”所代表的數量少就用1減少的分數或百分數；再用“已知乘未知除”的妙法，就能輕而易舉的解決這類問題。

例如，

（1）榮昌縣大建中心校六年級同學開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的冬瓜比南瓜多1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

（2）榮昌縣大建中心校六年級同學開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的冬瓜比南瓜少1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

（3）榮昌縣大建中心校六年級同學開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的南瓜比冬瓜多1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

（4）榮昌縣大建中心校六年級同學開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的南瓜比冬瓜少1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

對于這四道題，（1）題“多1/3”就是“1加1/3”， 南瓜是單位“1”， 已知，用乘法，所以列式為：600×（1+1/3）；（2）題“少1/3”就是“1減1/3”， 南瓜是單位“1”， 已知，用乘法，所以列式為：600×（1-1/3）；（3）題“多1/3”就是“1加1/3”， 冬瓜是單位“1”， 未知，用除法，所以列式為：600 ÷（1+1/3）； （4）題“少1/3”就是“1減1/3”， 冬瓜是單位“1”，未知，用除法，所以列式為：600 ÷（1-1/3）。

妙法一、二結合，問題就是這樣簡單。

3.量率對應

學生在解答復雜的分數應用題時，常因量率不對應而導致出錯。我們所說的“量率對應”，就是在部分數和總數的關系中，部分數的數量，一定要與表示部分數的分數相對應。然后，用數量初一分率，就可以了，這就是量率對應原則。運用這個原則，解題思路非常清晰，解題方法非常簡便，學生非常容易理解、掌握。

例如，

（1）一桶油，用去它的3/5，用去了18千克，這桶油重多少千克？

這里的單位“1”是一桶油，用去的部分用分數表示是3/5，用數量表示是18千克，它們是表示對應的相同的一部分，將就用“量”除以“率”。列式：18÷3/5=30（千克）。

（2）六年級二班參加興趣小組的人數占全班人數的40%，有30名同學沒有參加，開學后又有18名同學參加了興趣小組，現在參加興趣小組的人數占全班的百分之幾？endprint

題中告訴我們原來參加興趣小組的人數占全班人數的40%，而30人沒有參加，由此我們就可以求出原來沒有參加興趣小組人數占全班的（1-40%），根據已知的量和對應的分率，那就可以求出全班人數，我們迎來了“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的喜人結果，那問題的解決就輕而易舉了。其實，本題的突破口還是圍繞著求總人數來展開的，那我們就要能注重量與對應分率的探求。

解答：30÷（1-40%）

=50（人） ……全班人數

50-30+18=38（人） ……現在參加興趣小組人數

38÷50=76%

答：現在參加興趣小組的人數占全班的76%。

有一袋面粉，第一周吃了60%，第二周吃了15千克，還剩9千克，這袋面粉原重多少千克？

這里的單位“1”是一袋面粉的整體。60%這個“率”，既不與“15千克”對應，也不與“9千克”對應，更不與它們的和對應。只能找“15千克”與“9千克”的和相對應的“率”，

就是單位“1”減去吃了的60%。根據“量率對應”原則，列式應該是：（15+9）÷（1-60%）=60（千克）

4.工程問題

在工作總量不是具體數量的問題中，常常把工作總量看作單位“1”，用單位“1”除以完成全部工作的時間，表示工作效率。緊緊抓住工作時間、工作效率、工作總量之間的關系來解題，既方便又準確。

例如：（1）一批零件，王師傅做要20天，徒弟做要30天，師徒合做要多少天？

這里是把工作總量“做一批零件”看作單位“1”， 王師傅的工作效率就是1/20，徒弟的工作效率就是1/30，效率和就是1/20+1/30。根據“工作總量÷工作效率=工作時間”，列式應為：1÷（1/20+1/30）=12（天）

又比如：（2）一條公路，甲工程隊單獨修，需要8天完成；乙工程隊單獨修需要12天完成，兩隊合修4天后，剩下的任務由甲工程隊單獨修，還要幾天完成？

這里是把工作總量“修一條公路”看作單位“1”， 甲的工作效率就是1/8，乙的工作效率就是1/12，效率和就是1/8+1/12，但是剩下的工作量已經不是單位“1”全部，而是剩下的部分，1-4×（1/8+1/12），故列式為：[1-4×（1/8+1/12）]÷1/8=4/3（天）

分數混合運算解決問題種類繁多，正確找準單位“1”，是解答分數（百分數）應用題的關鍵，從關鍵句中找準單位“1”問題就解決了一半，我覺得除了從以上這些方面進行考慮外，還要對各類題型進行強化訓練，做到具體問題具體分析，讓學生真正理解掌握。

參考文獻：

[1]華東師范大學出版社《可以這樣教數學》

[2]人民教育出版社《數學新課程標準》endprint