一無所有并非一無所用

龔兵

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）24-0236-01

在集合的大家庭里，有一個重要的成員——空集。空集的定義是不含任何元素的集合。空集沒有任何元素，而且又被稱為空集，可以說是一無所有，那一無所有的空集是不是一無所用呢？當然不。

空集雖然沒有內部的元素，但他卻有集合的外衣。就像是一個裝元素的袋子，袋子里雖是空的，而袋子是存在的。空集其實并不像白紙那樣明了，忽略了這個一個所有的袋子那你很可能就已經掉進它的陷阱之中了。空集不含任何元素，卻將它歸為有限集的行列當中。 空集是任意集合的子集，按子集的定義是：每個屬于的元素都在集合A中，雖然中沒有元素，因而這條性質顯得沒有意義。但從另一個角度來說，中沒有一個元素不在集合A中，所以也可以說空集是任何集合的子集了。這條性質的應用十分廣泛，在做任何關于集合的題目時，都要謹防空集的出現。

例如下面這個題：

若集合A={x|x2-2x-15=0}，B={x|ax-3=0}，且A∩B=B，求實數a組成的集合C。

錯解：由A={x|x2-2x-15=0}，

解得A={-3，5}.

因為A∩B=B，所以B包含于A，

從而B={-3}或B={5}。

當B={-3}時，

由a×（-3）-3=0，解的a=-1;

當B={5}時，

由a×5-3=0，解的a=3/5.

故由實數a組成的集合 C={-1，5}.

剖析：因為任何集合都有A∩ ==，所以錯解又忽視了B=時的情況。

正解：由A={x|x2-2x-15=0}，

解得A={-3，5}.

當a=0時，ax-3=0無實數根，B=，滿足題意

當a10時，

因為A∩B=B，所以B包含于A，

從而B={-3}或B={5}。

當B={-3}時，

由a×（-3）-3=0，解的a=-1;

當B={5}時，

由a×5-3=0，解的a=3/5.

所以，實數a組成的集合C={-1，0，3/5}。

這個題中空集的存在常常被忘掉，因此要小心空集設下的陷阱。

綜上所述，空集并不像其名字那樣空空如也，反而，它的內容豐富多彩。這些內容只有真正與空集接觸時，感受才最真切。