回溯“基點(diǎn)” 展開過程

倪志敏

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。”這里指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供有效的思維線索，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，從而深入理解所學(xué)知識(shí)，獲得更具啟示意義的思維靈感。由此，我認(rèn)為，要發(fā)展“四基”教學(xué)，必須注重過程與結(jié)果的和諧統(tǒng)一。下面，我結(jié)合“用字母表示數(shù)”一課的教學(xué)來談?wù)勛约捍譁\的看法。

“用字母表示數(shù)”是“代數(shù)學(xué)”的一個(gè)基本特點(diǎn)。從用數(shù)字表示數(shù)到用字母表示一定范圍內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，從用數(shù)字算式表示具體的數(shù)量關(guān)系到用含有字母的式子表示一般的數(shù)量關(guān)系，反映了人的思維從特殊到一般、從具體到抽象的飛躍。由于提高了學(xué)生抽象思維能力的要求，所以從學(xué)生的知識(shí)層面上來說，本課教學(xué)無疑顯得格外重要。

一、尋根溯源，探尋字母教學(xué)的“基點(diǎn)”

表示數(shù)的符號(hào)叫做數(shù)字，且我們?cè)缫蚜?xí)慣用0、1、2……這些阿拉伯?dāng)?shù)字來表示數(shù)。有了這些數(shù)字和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，就可以表示出任何一個(gè)自然數(shù)，以及數(shù)概念擴(kuò)展后的其他的數(shù)。那我們?yōu)槭裁催€要學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)呢？仔細(xì)閱讀教材后，我發(fā)現(xiàn)教材以小棒圍圖形為素材，直接類推出用含有字母的式子表示小棒的根數(shù)，但關(guān)于用字母表示數(shù)的可行性，教材中沒有一字說明。

“一個(gè)數(shù)學(xué)教師究竟應(yīng)該有什么樣的數(shù)學(xué)功底，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有什么樣的思想認(rèn)識(shí)……什么樣的數(shù)學(xué)教師才能使學(xué)生懂得并追求嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的規(guī)律或要求呢……要注重對(duì)數(shù)學(xué)的原理、道理、科學(xué)方法、智慧思考的發(fā)掘，并將這些貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，使學(xué)生從數(shù)學(xué)中獲取盡可能多、盡可能大的思想力量。”于是，我決定尋根溯源。查閱一至三年級(jí)教材后，我發(fā)現(xiàn)教材在編排上對(duì)于這一知識(shí)做到了早期蘊(yùn)伏、逐步滲透。如一年級(jí)“求未知數(shù)”一課中的7+（ ）=10，二年級(jí)“用乘法口訣求商”中的□×8=56，三年級(jí)用字母表示長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式，四年級(jí)上冊(cè)用字母表示運(yùn)算律……至此，我心中的疑惑終于得到了解釋，原來教材中的這些蘊(yùn)伏、滲透，除讓學(xué)生逐步感受到數(shù)字外，還可以用某種圖形或符號(hào)表示參與運(yùn)算的數(shù)。既然字母也是一種符號(hào)，為什么不能用字母來表示數(shù)呢？基于以上對(duì)各冊(cè)教材的解讀，我在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時(shí)設(shè)計(jì)如下。

教學(xué)片斷1：

（1）回憶用數(shù)字表示數(shù)。

師（出示）：這表示多少？

師（再出示）：這表示多少？

師（小結(jié)）：看來，同學(xué)們?cè)缇蛯W(xué)會(huì)了用0、1、2……9這些阿拉伯?dāng)?shù)字來表示數(shù)。

（2）回憶用圖形或某種特殊的符號(hào)表示數(shù)。

師[出示7+（ ）=10、△+△=10]：在一二年級(jí)，我們還見過這樣的式子，這里的括號(hào)中填幾？這里的三角形符號(hào)中填幾？你是怎么知道的？

師（小結(jié)）：你們看，圖形或某種特殊的符號(hào)（括號(hào)）也可以表示數(shù)。

（3）回憶用字母表示數(shù)。

師（出示“算24點(diǎn)”的6、7、A、10）：那你們知道字母可以表示數(shù)嗎？這里的A表示1。

師（總結(jié)）：我們不僅可以用數(shù)字、圖形或某種特殊的符號(hào)來表示數(shù)，還可以用字母來表示數(shù)。今天這節(jié)課，我們就一起來研究用字母表示數(shù)。

……

思考：我循著知識(shí)的“基點(diǎn)”，從低年級(jí)的認(rèn)數(shù)到求括號(hào)里的未知數(shù)和圖形所表示的數(shù)再到用撲克牌算24點(diǎn)，揭開了教材中早期蘊(yùn)伏、逐步滲透的用字母表示數(shù)的內(nèi)容的層層面紗，讓學(xué)生在熟悉的場(chǎng)景中喚起記憶，明白用數(shù)字、圖形、符號(hào)、字母都可以表示數(shù)。

二、抽絲剝繭，展現(xiàn)字母教學(xué)的過程

教材中的例1教學(xué)用含有字母的式子表示倍數(shù)關(guān)系，例2教學(xué)用含有字母的式子表示相差關(guān)系。由此可見，“用字母表示數(shù)”一課應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生已經(jīng)理解了四則運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。但是，還有一些細(xì)節(jié)始終縈繞在我的心頭：第一，a個(gè)三角形是教材中出現(xiàn)的，這是一個(gè)已知量和未知量的問題，已知的可以用一個(gè)具體的數(shù)來表示，未知的用什么表示是不是可以由學(xué)生“創(chuàng)造”，而不需要書本“代勞”呢？第二，a在這里代表的是什么數(shù)，教學(xué)中是一帶而過，還是引導(dǎo)學(xué)生細(xì)細(xì)品味？第三，例2不僅教學(xué)用字母表示數(shù)，而且讓學(xué)生體會(huì)用字母表示一個(gè)具體的數(shù)時(shí)，含有字母的式子就有一個(gè)確定的值，這里還蘊(yùn)伏著用字母表示數(shù)從概括到具體的認(rèn)識(shí)過程，該如何引導(dǎo)學(xué)生探究呢？因此，例題的教學(xué)看似簡(jiǎn)單，實(shí)則盤根錯(cuò)節(jié)，在實(shí)際教學(xué)中很容易“眉毛胡子一把抓”，陷入“剪不斷，理還亂”的境地。基于以上三個(gè)問題的思考，我決定依據(jù)“用什么字母表示數(shù)”“用字母表示什么樣的數(shù)”“字母是否能像數(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn)算”三個(gè)問題板塊進(jìn)行教學(xué)。

教學(xué)片斷2：

（1）用26個(gè)字母表示一個(gè)數(shù)。

師（出示一個(gè)儲(chǔ)蓄罐）：老師這兒有一個(gè)儲(chǔ)蓄罐，里面放了一些1元錢，請(qǐng)你們猜一猜里面放了多少錢？（學(xué)生猜測(cè)）

師：你們能確定儲(chǔ)蓄罐里究竟有多少錢嗎？（不能）那我們?cè)撛鯓颖硎緝?chǔ)蓄罐里的錢數(shù)呢？

師：對(duì)你們而言，這里面有多少錢根本不知道，不適合用一個(gè)具體的數(shù)來表示，在這種情況下就需要用到字母來表示。剛才這位同學(xué)用字母n來表示，還可以用別的字母來表示嗎？（生答略）

師：也就是說，26個(gè)英文字母，用哪一個(gè)表示都可以。儲(chǔ)蓄罐里的錢數(shù)，就選用其中的一個(gè)字母n來表示。

（2）用一個(gè)字母表示任意一個(gè)數(shù)。

①師：那么，這個(gè)n究竟代表多少錢呢？有辦法確認(rèn)嗎？

師（把儲(chǔ)蓄罐里的錢倒出來，數(shù)出一共有5元錢）：此時(shí)此刻，n表示幾？我們就說n=5。

②師再往儲(chǔ)蓄罐里放進(jìn)2元錢。

師：此時(shí)此刻，n等于幾？

③師把儲(chǔ)蓄罐里的錢全部倒出來，只放進(jìn)5角錢。

師：此時(shí)此刻，n等于幾？0.5還可以寫成分?jǐn)?shù)，所以n=。看來，字母可以表示整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等。

（3）用含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系。

①加法。

師（課件出示一個(gè)儲(chǔ)蓄罐）：這里面有多少錢？老師也想到了用字母（x）表示數(shù)。

師（課件播放往儲(chǔ)蓄罐里再放入3元錢）：你看到了什么？

師邊說邊出示：儲(chǔ)蓄罐里原有x元錢，又放入3元錢，現(xiàn)在一共有（ ）元錢。

師：你能列出一個(gè)式子嗎？

②減法。

師（課件出示里面有x元錢的儲(chǔ)蓄罐，播放動(dòng)畫，掉出2元錢）：你看到了什么？

師邊說邊出示：儲(chǔ)蓄罐里原有x元錢，拿走2元錢，現(xiàn)在還剩（ ）元錢。

③乘法。

師邊說邊出示：2個(gè)儲(chǔ)蓄罐（分別標(biāo)明里面有x元）里一共有（ ）元，5個(gè)這樣的儲(chǔ)蓄罐里一共有（ ）元錢。

④除法。

師（課件出示里面有x元錢的儲(chǔ)蓄罐）：捐給災(zāi)區(qū)的4個(gè)同學(xué)，平均每個(gè)同學(xué)能分到（ ）元錢。

師（小結(jié)）：我們不知道x是多少元錢，但是我們可以讓x與這些數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除，寫出含有字母的式子。所以，含有字母的式子也可以表示數(shù)。

……

思考：通過猜儲(chǔ)蓄罐里有多少錢，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)未知量用哪一個(gè)具體的數(shù)表示都不合適，可以用26個(gè)字母中的任何一個(gè)字母來表示；再把儲(chǔ)蓄罐里的錢倒出來數(shù)或放入5角錢，向?qū)W生揭示字母可以表示整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等，使學(xué)生明確了字母可以表示的范圍。在第三個(gè)問題板塊中，仍然以一個(gè)不知道多少錢的儲(chǔ)蓄罐為“引子”，既延續(xù)前兩個(gè)問題板塊的情境，又巧妙地利用低年級(jí)圖文結(jié)合解決問題的形式，讓學(xué)生感受到字母不僅和數(shù)一樣可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，而且能組成含有字母的式子，明白含有字母的式子也可以表示數(shù)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思想上的一次新的飛躍。

三、深入淺出，實(shí)現(xiàn)過程和結(jié)果的和諧統(tǒng)一

“用字母表示數(shù)”這節(jié)課的知識(shí)難點(diǎn)不易于學(xué)生理解：用字母既可以表示數(shù)，也可以表示數(shù)量關(guān)系；用字母表示的數(shù)有時(shí)是概括的（變量），有時(shí)又是具體的（常量）；用字母表示數(shù)具有簡(jiǎn)潔性……所有這些知識(shí)難點(diǎn)都蘊(yùn)含在教材中，但未被一一點(diǎn)明。在教學(xué)中，我們只有深入淺出，才能將學(xué)生的思維推向一個(gè)新的高潮。

教學(xué)片斷3：

出示： 小明的年齡 小明爸爸的年齡

a a+30

師：從這個(gè)字母和含有字母的式子中，你能看出小明和他爸爸年齡之間的關(guān)系嗎？（生答略）

師（小結(jié)）：小明和他爸爸之間的年齡關(guān)系，可以從這個(gè)字母和含有字母的式子中能清楚地看出。

師：當(dāng)a=1時(shí)，是什么意思？那么，這時(shí)小明的爸爸多少歲？你是怎樣算的？當(dāng)a=4時(shí)呢？當(dāng)a=10時(shí)呢？那么，a還可以等于多少歲？那時(shí)小明的爸爸多少歲？（學(xué)生舉例略）

師（強(qiáng)調(diào)）：在這里，a一般表示100以內(nèi)的自然數(shù)，當(dāng)然也有特殊情況。

師：10與a都表示小明的年齡，那10與a又有什么不同呢？（生討論交流）

師（小結(jié)）：10只表示小明的一個(gè)年齡，a可以表示小明所有可能的年齡。可見，用字母表示是多么的簡(jiǎn)潔！同樣，10+30表示什么呢？a+30呢？

師（總結(jié)）：用字母可以表示數(shù)，這個(gè)數(shù)可以是變化中的數(shù)。用含有字母的式子也可以表示變化中的數(shù)，還能表示數(shù)量之間的關(guān)系。

……

思考：“講授數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)通過邏輯鏈條以及由淺入深的認(rèn)知路徑，以承前啟后的方式將數(shù)學(xué)新知識(shí)揭示給學(xué)生，這樣才符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的智慧作用。”首先，通過比較10與a、10+30與a+30之間的不同，我有意識(shí)地將學(xué)生的思維推向縱深：用一個(gè)字母能表示小明所有可能的年齡，用一個(gè)含有字母的式子也能表示小明爸爸所有可能的年齡，以“一”代表“所有”，不僅體現(xiàn)了用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)潔性，而且能從含有字母的式子中看出數(shù)量之間的關(guān)系。其次，字母與含有字母的式子在一定程度上和常數(shù)一樣能互相比較、互相運(yùn)算，這就是它們之間的聯(lián)系。這樣教學(xué)，利于讓學(xué)生體驗(yàn)到字母表示數(shù)的現(xiàn)實(shí)性、優(yōu)越性，辨析常量與變量的區(qū)別和聯(lián)系。

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一般都是有意義的學(xué)習(xí)，對(duì)于前人積累的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)必須積極思考，理解每個(gè)符號(hào)、式子所代表的實(shí)際含義，才能真正將所學(xué)內(nèi)化成自己的知識(shí)。因此，教師在教學(xué)中要盡可能地回溯知識(shí)“基點(diǎn)”，展開過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，在豐富教學(xué)價(jià)值的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)過程與結(jié)果的和諧統(tǒng)一。

（責(zé)編 杜 華）endprint