重視培養學生歸納推理，讓歸納和演繹比翼雙飛

李嶠

什么是“數學的基本思想”？史寧中教授認為：數學思想不僅包括學習數學知識所涉及的思想，比如，等量代換、數形結合、遞歸、轉換等，還包括解數學題所涉及的合并同類項、配方法、換元法等?！盎舅枷搿敝饕侵秆堇[和歸納，在具體的問題中，會涉及數學抽象、數學模型、等量代換、數形結合等數學思想，但最上位的思想還是演繹和歸納。演繹推理是根據概念、定理等按照規則進行的推理，是一種由一般到特殊的推理，它的主要功能在于驗證結論。歸納推理正好與演繹推理相反，它是一種從特殊到一般的推理，包括枚舉、歸納、類比、統計推斷、因果分析以及觀察實驗、比較分類、綜合分析等，它的主要功能在于發現新的真理。

從筆者長期處于教學第一線的體會來看，教師往往更注重演繹推理的滲透，而忽略歸納推理（也叫合情推理）能力的培養。的確，在教學面積、體積公式的推導，運算定律，比的基本性質，等等內容時，教師可能都會讓學生嘗試先猜測再驗證。有些教師就認為這已經是向學生滲透猜測驗證的思想方法，但是，從根本上講，歸納推理作為與演繹推理同等重要的基本數學思想，也僅僅是在學習新課的過程中給學生滲透而已，而一旦新課講完，開始練習，歸納推理就基本“拜拜”了。也就是說，不管是教學，還是作業考試，其實根本上還是清一色的演繹推理。因此筆者針對此現象做了思考與教學實踐。

一、學生與生俱來的歸納推理的“火苗”不應該被扼殺

【案例1】數學興趣小組一共有15名同學，其中男生有9名，女生有多少名？

學生列式“9+6=15”，然后給出答案：女生有6名。面對這樣的算式，很多教師往往是粗暴地判錯了事。

筆者認為，我們應該充分肯定和保護學生這樣的想法甚至書寫方法。我們有時為了追求一些外在的東西，而用格式、規定等去扼殺了很多有創意的東西，其實這樣寫又有何不可呢？從思維上講，是考慮9名男生和幾名女生才能湊成15人，這是多好的代數思想的萌芽呀！學生在頭腦中可能經歷了9+4、9+5等過程，這又何嘗不可呢？有人要問：“15-9=6要不要教？”要教，但是兩者并不矛盾，因為這是兩種不同的想法和解題方法。

二、在練習中培養學生歸納推理的能力

有的教師注意在新課環節滲透歸納思想，但是一旦新課學完，練習就成為對知識點的反復鞏固，最后的落腳點仍然在知識點上。筆者認為這樣是不夠的，事實上學生從練習中汲取的營養甚至會多過新課環節。練習時，學生經歷比較獨立的讀題審題、思考嘗試的過程，對于這個過程中所經歷的東西會有更深刻的理解和感悟。所以，教師應該在這個環節提供給他們感受歸納推理的平臺。

1.重視歸納的過程而非結果

在小學階段，很多練習題中可以總結歸納出一些規律性的東西，教師會引導學生去歸納，但更多的是讓學生去記憶這些結論性的東西，以應對考試。實際上死記硬背既費力且沒什么效果，如果不能理解，就算背得好都不會用，而要想理解得更好，就應該在歸納的過程下更多工夫。

例如人教版五年級上冊P24第3題和P25第8題：

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這兩題很顯然都是要讓學生總結并發現規律，教師肯定也是這樣做的。但這里要強調的是，應該給予學生足夠的時間，并在方法上指導他們，讓他們自己去嘗試歸納總結出規律，而不是教師迅速地拋出規律，讓學生去記憶，然后不停地使用規律去練習。這樣的例子在人教版的教材中非常多見。

2.突出歸納推理的優點

教材中有些內容可用多種方法呈現，這時教師就可以從多方面制定教學目標，譬如選擇某些內容為載體，有意識地、刻意地突出和體現重要的歸納推理的思想方法。

例如人教版六年級上冊數學廣角的“雞兔同籠”，教材呈現了表格法、假設法、代數法（“你知道嗎”還介紹了“抬腳法”），那么教師在教學時就可以根據自己的教學目標去進行取舍。

經過教學實踐的檢驗，假設法是解決這類問題比較巧妙的方法，但是假設法有它的局限性，并且學生不易理解，學過之后就忘了，最后就只剩下列方程的一般代數法。代數法具有很強的一般性，但是作為數學廣角的內容，如果簡單地用代數法去處理，教材的編寫者把它放到用方程解決問題單元豈不是更好？這顯然就和“數學廣角”的設計思想不符。到底是什么方法更有一般性，適用范圍更廣泛，更能體現數學的基本思想？基于這樣的思考和教學實踐，教師應該讓學生通過列舉的方法進行嘗試，在嘗試的過程中不斷猜測并發現規律，從而優化探索的過程。這種嘗試、列舉、驗證的方法就是解決很多問題經常采用的方法，是數學中最樸素并且廣泛應用的方法，也滲透了最基本的數學思想。

因此歸納推理成為這堂課學生最需要感受的思想。于是筆者引導學生先隨意猜測雞和兔的只數，然后驗算出此時雞和兔的腳數，再與實際的腳數進行對比。學生會發現，腳數少了就應該增加兔的只數，腳數多了就應該增加雞的只數，從而調整他們的猜測。這個層次的內容，從筆者近四年的教學實際情況來看，幾乎100%的學生都能掌握運用。而有部分思維好的學生，會進一步發現：可以把第一次猜測的腳數與實際腳數進行比較，用相差的總腳數去除以一只雞和一只兔相差的2只腳，從而一次性找到應該如何調整雞和兔的只數的方法。這樣的教學過程，強烈地改變了學生的認知，拓寬了他們解決問題的方法。筆者是在六年級接手一個班的教學，剛開始的時候學生一遇到問題，只會想如何去列式計算，而經過這個內容的教學，至少有超過一半的學生對于歸納推理有了更深刻的認識，并能恰當地去應用。

例如：畫一個周長為32cm，長和寬的比是3∶5的長方形。

以前學生只會按部就班地用按比分配的方法去求出長方形的長和寬，然后再畫圖?，F在很多學生會從3∶5這個條件出發，（3+5）×2=16，（6+10）×2=32，從而找到答案。這種認識上的進步是令人欣慰的。

例如：（1）畫一個面積為48cm，長和寬的比是3∶4的長方形。endprint

（2）做一個底面積為36平方厘米、高為5厘米的長方體框架需要多少厘米的鐵絲？

這樣的題目以前是學習的難點，而現在學生自然就會想到用合情推理的方法去解決問題，這些問題也就成為絕大多數學生都能夠解決的問題。這應該就是歸納推理發揮作用的體現吧！

3.鼓勵學生用歸納推理的方式去解決問題

有了教師的引導和鼓勵，學生的思維也打開了，他們做題時不再局限于演繹推理的方法，作業中大量地出現歸納推理的思想方法。例如：

1.中國農歷中的“夏至”是一年中白晝最長、黑夜最短的一天。這一天，北京的白晝時間與黑夜時間的比是5∶3，白晝和黑夜分別為多少小時？

5∶3=10∶6=15∶9，

5+3=8，10+6=16，15+9=24。

答：白晝有15個小時，黑夜有9個小時。

2.做一個底面積是36cm2，高為4.5cm的長方體框架，至少需要多少厘米長的鐵絲？

1+36=37，2+18=20，3+12=15，

4+9=13，6+6=12。

因為12最小，所以（6+6+4.5）×4=66（cm）。

答：至少需要66cm。

3.一個正方體的容器中（如下圖所示）恰好能裝入一個側面積是12.56dm2的圓柱，這個容器的容積有多大？

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12.56÷3.14=4（dm2），

2×2=4，

4×2=8（dm3）。

答：容積為8dm3。

4.東莞市某加工廠的甲、乙兩個生產組承租了2010年廣州亞運會吉祥物——“祥和如意樂洋洋”的一部分加工任務。甲組每天可加工200套，乙組每天可加工250套。甲組先加工了400套后，乙組才開始加工，乙組加工多少天后與甲組加工的同樣多？

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答：乙組加工8天后與甲組加工的同樣多。

這些解題的方法，貌似離經叛道、不合規矩，但筆者不這樣認為。作為與演繹推理同等重要的歸納推理，作為能培養創造性思維的重要思想方法，它值得起教師去“縱容和提倡”。更何況，這樣去解決問題有理有據，思維過程清晰，答案準確，有什么理由去否定它們呢？

三、歸納與演繹并重更能促進學生思維的發展

歸納推理的核心，區別于演繹推理的最明顯地方，就是要大膽地做出一些猜測和嘗試，從錯誤中去分析推理，進而找到正確的結果或得出正確的結論。通過觀察發現，女生回答問題，往往是確定或者至少自己認為是正確的才會舉手發言，而有相當部分男生，想到什么就敢于表達什么。做題也是一樣，從整體上看，男生更敢于動筆去嘗試一些方法，因此涂涂改改也比較多;而女生更喜歡想清楚了再動筆，卷面清爽整潔。這里不談其他，就從敢于嘗試，從失敗中得到啟示這個角度去看，確實男生性格上的特點決定了男生在歸納推理方面能力更強，所以在創造性方面，很顯然男生是領先于女生的。當然，這只是筆者就自己短短十來年教學過程中的觀察而得出的思考，缺乏科學性，但歸納與演繹并重更能促進學生思維的發展應該是一個比較顯而易見的結論。

小學都已全面使用新教材了。新教材是在2011版課程標準的基礎上編排的，必將更有利于教師完成從“雙基”到“四基”的轉變。筆者特別希望的是，教師能夠從觀念上、從根本上更加重視與演繹推理同等重要的歸納推理，并且在學生的學習過程中去全方位地滲透，讓學生能夠有足夠的機會感受歸納推理的“魅力”，會恰當地使用歸納推理去解決問題。

（責編 金 鈴）endprint