以“形”助明理 以“理”促提升

鐘莉

數學是研究客觀世界的空間形式與數量關系的科學，其中“數”是“形”的抽象概括，“形”是“數”的直觀表現。數學家華羅庚先生曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事休。”這里形象、生動地說明了“數”與“形”的關系，明確、深刻地揭示了數形結合思想的價值。下面以“分數除以整數”一課教學為例，談談如何合理、有效地應用數形結合思想開展教學，引導學生探究所學知識，使他們真正獲得發展。

一、以“數”化“形”，在新知疑惑處嘗試

小學生的抽象邏輯思維能力不強，遇到新學或較難的數學問題時，難免會出現疑惑、困頓。這時，如果能把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，將抽象的“數”轉化為直觀的“形”，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，有效地幫助學生解決數學問題。

教學片斷1：畫圖研究■÷2，大膽嘗試算法。

例題：把一張紙的■平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？

（學生列式為■÷2，一部分學生直接報出結果為■）

師：你們是怎樣算出來的？

生1：我想，分數乘整數就是分子乘整數，分母不變，那■÷2就用分子4除以2，分母不變，得到■。

師：分數除以整數我們還沒有學。除了計算，你還有沒有其他方法獲到結果？

（學生想到畫圖的方法，猜想算法，如下）

■

畫法（1）： 畫法（2）：

生2：從畫法（1）中可以看出，■里面有4個■，平均分成2份，每份就有2個■，即■，所以用■（分子除以整數，分母不變）就可以算出結果是■（如圖A）。

■

圖A 圖B

生3：從畫法（2）中可以看出，最后涂色部分占整張紙的■，化簡后為■。我發現把■平均分成2份，每份就是■的■，■的■可以用乘法■×■計算，所以■÷2=■×■，結果也是■（如圖B）。

……

對于■÷2這道新的分數除以整數的計算題，部分學生能憑直覺和前面所學分數乘整數的經驗，猜出結果是■。然而，對“■是怎樣算出來的”“為什么這樣計算”等問題，學生的認識是混沌的。通過畫圖，還原題目的原始形態，既是研究分數問題的重要途徑，又是嘗試算法的直觀依據。其中，畫法（1）特別形象直觀，一眼就可以看出每份有2個■。課堂教學中，教師借助多媒體課件，可以形象地演示畫法（2）中把■平均分成2份的動態過程，直觀呈現“每份是■的■”，并引導學生用已學的乘法來計算，為他們理解算理與掌握算法打下了扎實的基礎。

二、以“形”明“理”，在探究交流中體驗

“數學思想的形成需要在過程中實現，只有經歷問題解決的過程，才能體會到數學思想的作用，才能理解數學思想的精髓，才能進行知識的有效遷移。”因此，在實際教學中，數形結合思想的感悟與數學活動經驗的積累不能依賴教師簡單的說教，而要通過創設適合的情境、設計恰當的問題和活動，讓學生自己親身經歷數學知識的獲取過程，使他們深刻感悟其中的數學思想。

教學片斷2：結合圖形計算■÷3和■÷4，明晰算理。

師：嘗試用這兩種算法計算■÷3。

生1：用第一種方法計算，分母不變，分子4除以3除不盡;用第二種方法計算，■÷3=■×■=■。

師：看來，第一種算法存在一定的局限性。那第二種算法對不對呢？

生2（出示右圖）：可以畫圖檢驗。把一個長方形平均分成7份，取其中的4份涂色，就表示這個長方形的■;把■像這樣橫著再平均分成3份，取其中的1份涂色，這一份就是■的■，■的■可以用■×■來計算，從圖中可以看出每份是這張紙的■。

師：畫圖研究■÷4，思考怎樣計算，并說一說為什么這樣計算。

生3（出示右圖）：先在長方形中表示出它的■，再把■平均分成4份，取其中的1份涂色，通過畫圖發現這一份就是■的■，可以用乘法■×■計算，所以■÷4=■×■=■。從圖中也可以看出，最后涂色的部分就是這張紙的■。

……

計算教學不是簡單的技能訓練，數的運算之間存在內在的聯系與嚴密的邏輯性，學習數的運算就是發展學生邏輯思維能力的過程。因此，計算教學一定要達到“明算理，會計算”的雙重目標，僅通過教師空洞的說理與枯燥的計算訓練是達不到的。有了前面嘗試用數形結合的方法研究計算■÷2的經驗，在計算■÷3和■÷4這兩道題時，學生主動找“形”來幫忙，利用畫圖來理解算式的含義，自主探索計算方法。通過動手畫圖、課件的動態演示，引導學生親身經歷探尋算理、算法的過程，為學生深入理解算理、切實掌握算法提供了有力支撐，使學生在探究交流中體驗到利用數形結合解決問題的優勢。

三、以“數”概“形”，在歸納推理中領悟

“形”具有形象直觀的優勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢。只有以簡潔的數學描述、形式化的數學模型表達“形”的特性，才能更好地體現數學抽象化與形式化的魅力，使學生更準確地把握“形”。特別是計算教學，必須引導學生從直觀分析中抽象、概括出正確的結論，才能真正提高學生的計算水平，促進學生形象思維能力與邏輯思維能力的協調發展。

教學片斷3：數形結合，歸納推理，總結一般方法。

（回顧探究過程，再次出示前面研究的三幅圖，如下）

■

■

師：你能想象一幅圖，再舉一個這樣的例子嗎？如果把A平均分成B份呢？

生1：每份就是A的■，即A÷B=A×■（B≠0）。

師：你發現了什么？

生2：除以一個整數（0除外）等于乘這個整數的倒數。

……

學生雖然經歷了以“形”助“數”的研究過程，但還只停留在對具體、特殊實例的理解與認識上。上述教學，讓學生在觀察、比較、想象、推理、歸納等活動中，自主總結出分數除以整數的計算方法，結論A÷B=A×■（B≠0）更是對前面直觀形象的探究的抽象概括。至此，學生的學習已從研究具體算式上升為推廣總結一般普遍的方法，實現了從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的跨越。

四、“數”“形”對應，在反思總結中提升

數學思想方法的感悟與活動經驗的積累離不開總結反思的過程，寶貴的學習經驗只有經過概括、內化、提升，才能有效成為學生數學學習與生命發展的內在支撐。因此，數學課堂中的歸納總結不僅要關注學生的基礎知識、基本技能，還應引導學生積極反思、提煉學習過程中應用的方法，以提升對數學思想的認識，提高運用數學思想方法分析、解決問題的能力。

教學片斷4：回顧學習過程，提升對思想方法的認識。

（師結合板書，引領學生回顧“舉例→猜想→驗證→歸納”的研究過程）

師：這節課，我們主要采用什么方法來研究分數除以整數的計算方法？

生：畫圖。

師：研究數的問題，可以找圖形來幫忙，這種借助直觀圖形來理解算式含義的方法，是數學上非常重要的研究方法，叫數形結合。這節課，我們不僅發現了分數除以整數的計算方法，還親身經歷了有價值的學習過程，收獲了數形結合等寶貴的數學思想方法。

……

整節課，教師大量運用幾何直觀，在探究算理的過程中，每道題都運用畫圖的方法來解決，每次計算都結合圖形來明確算理，使學生對數形結合思想的認識依托于具體的實例研究。將“數”與“形”一一對應的板書，既可以幫助學生形象理解算理，牢記算法，提升計算能力，又是對本節課數形結合思想方法的直觀再現，給學生形成了強烈的視覺記憶。課堂教學中，教師在引導學生總結知識的同時，通過更高層次的反思、抽象、概括，使學生將所學內化為自身的學習方法與經驗。

總之，教師要善于挖掘數學知識里蘊藏的數形結合思想，設計有價值的探究活動，調動學生的多種感官，形成對數形結合思想的深刻感悟。久而久之，學生就會主動運用類似的經驗積極應對新問題，逐步發展成為學生數學思維的方式，從而真正提高學生的數學素養，促進其長足發展。

（責編 杜 華）endprint